黄金卷07（上海专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 【赢在中考黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 参考答案 题号 1 2 4 5 6 答案 D D B D 7.3(x2+4x+2(x-2) 8.x25 9.2 10.2 1.612日 13.代码 14.3 15. 31- 2-20 16.517.0sR≤36 18.号04 1-p号--g ）.3分 =1-2-5-1-2-5 46分 =1-2+5-1-2-√3.8分 =-4.10分 x2+x9-2y2=0① 20. x2+6y+9y2=4② 解：由①得 (x-yj川x+2y）=0, :x-y=0或x+2y=0, 3分 由②得 (x+3y)=4 x+3y=2或+3y=-2,3分 [x-y=0,或 -y=0 x+3y=2现1x+3y=-2 99 x+3y=-2 (x-1 1 x= 解得1或或 x=-4 x=4 1/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 1 x= x=- x=-4 x=4 :原方程组的解为 2 2 或 或 1 y=2域y=-21 .10分 y-2 y= 2 21.(1)解：100÷20%=500，即调查中样本容量为500. 故答案为：500. 2分 (2)解：食堂外卖的人数为：500×30%=150人. 补全条形统计图如下： 木人数 200 150 100 5分 50 0自带食堂食堂 午餐方式 堂食外卖 (3)解：A套餐所占的百分比为1-50%-30%=20%，6分 由题意可得： 5000×30%×20%×15+5000×30%×50%×20+5000×30%×30%×307分 =300×15+750×20+450×30 =4500+15000+13500 =33000元.410分 22.(1)证明：连接OA、OD,作ON⊥AB交AB于N,如图 B E :△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点 A0⊥BC,A0平分∠BAC :AC与半圆O相切于点D OD⊥AC 由：ON⊥AB 2/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 .0N=0D AC是半圆0的切线5分 (2)解：由(1)可知A0⊥BC,0D⊥AC ∠A0C=90°，∠0DC=90 ∠0AC+∠0CA=180°-∠A0C=90°，∠C0D+∠0CA=180°-∠0DC=90 :ZOAC=ZCOD sin∠OAC=sin∠Cop=CD OC 又：OF=OD,CF=2 ·在Rt△0DC中，CD=4,OC=OF+FC=0D+2 “0C2=CD2+0D2, :(0D+2)2=4+0D2 解得：OD=3 sim∠oAC=sim2CoD=CD=CD。44 0C0D+23+255分 23.(1)证明：EB2=FE·EA 伊® EB EA :∠FEB=∠BEA, .△FEB∽△BEA, .∠ABE=∠BFE, ZABE ZBDC, ·∠BFE=∠BDC, AE∥DC, :AD∥BC, 四边形AECD是平行四边形；6分 (2)证明：四边形AECD是平行四边形， :AD CE, :AD∥BC, .△ADF∽△EBF, 、EFBF FA FD 3/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 EF BF EA BD' ,△FEBn△BEA, .△ADF∽△EAB, 团 AFAD AFEB AD EA AD CE, AF EB EC EA AF2 EB ECEA' EB2=FE·EA, :.AF=EF-EA EF EC EAP EA EF BF EA BD AF2 BF EC2 BD EFCD, BF BE BD BC C BE AF2 12分 24.(1)解：令x=0时，y=C,即C(0,c,c>0 0C=c, :A0=0c=0B, A-c,0,B2c,0, 将4-e0,82co代入y=式+c+e -1c2-bc+c=0 b= 得： 解得： 2, Γ2×2e'+2c+c=0 c=1 即：b= 2’C=l;4分 4/9 命学科网 Www,Z××k,C0m 让敦与学更高效 1 (2)①设平移后的解析式为y=一 5x2+x+n,且经过D(4,1, 宁+4细+n=1,即：9-4加： 令x=0,则y=n,即：P(0,, 又：P(0,在y轴负半轴，则m<0,即9-4m<0, 0P=-n,m>4' 平移后的对称轴为直线”= 三m 2× 1 2 :它的对称轴与以O为圆心，OP长度为半径的⊙O相切， .m=-n,即m=-(9-4m, 解得：m=3,则n=-3, 六平移后新抛物线的解析式y=-。x2+3x-3;8分 2 ②连接CE交x轴于M, :A0=0C=10B=1 0B=2,则an∠CBA=0C-1 0B2 y∠0CE=∠CBA,则tan∠0CE=tan∠CBA=}-OM 20c 设直线CE的解析式为y=+6,代入M[侵0小，C0。 得： k+h=0 k=-2 解得： 6=1 b=1 直线CE的解析式为y=-2x+1, y=-2x+1 x=0「x=5 可得： 女+x+1解得： 1 y=一 =1哦=-9 2 2 E(5,-9, 519 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 G 过点F作FG⊥EG,则FG∥y轴， ∴，LEFG=LOCE, EG 设EG=1,则FG= tan∠EFG =24, :.新抛物线是由原抛物线向右平移t个单位长度，再向下平移21个单位长度， 甲，高能物线解所式为=弓小号2。 又：0P=30B=6, 9-21=6, 解得：4=2,42=-7（舍去）， 平移后的新抛物线解折式为：少=引分小号4=引引 ·新抛物线的顶点坐标为 12分 25.(1)解：当P在⊙O上时，连接BP, B D C是AB中点，O是AP中点， .点D为aABP的重心， 6/9 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 0D=}0B, 0A=0B=5, 5 .OD= 34分 (2)解：过点O作0E‖AB,交PC于点E, E AB :.OPEAAPCODEBDC OE OP OE OD ·ACAP'BCBD 又：AC=BC, APBD,即 OP OD =y 45>0, 9分（定义域1分） (3)解：如图，当点P在A0延长线上时， B ,△PC0n△PAC, LPC0=∠A, :C是AB中点， :0C⊥AB,AC=BC=AB=4, :∠BC0=∠A+∠AOC=∠PC0+∠BCD, .∠AOC=∠BCD, ,∠A=∠B, 7/9 命学科网 www,ZX×k,cDm 让敦与学更高效 △4C0BDC, AC AO 4.5 BD BC 即 BD 4' 0-台 如图，当点P在AO上时，过点B作BH⊥AO于点H, B OH D APCOAPAC, ·∠CPA=∠CP0=90 .CP⊥A0, :C是AB中点，OC过圆心， OC L AB,AC=BC=4B=4. ∴.∠AC0=∠APC=90°， ∠A=∠A, ..AACPAAOC, :4C=40 AP AC ÷AP=4C16 A0=5 11分 .OP=40-AP=9 BH⊥A0,CP1A0, :CPlBH, △ACPn△ABH, 4C.4P1 AB AH 2' AH=24P=32 ·、⊙-AHA0=5-5、、7 8/9 命学科网 www,Z××k,C0m 让敦与学更高效 PD BH, .4PD0naHB0,412分 9 OP OD 5 5 0D=45 45 80 BD=OD+OB= +5= 7 7 14分 综上所述，若△PCO与PCA相似，BD的长为 7 9/9 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题4分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题4分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）截止至2025年3月9日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房已超过148亿元，“148亿”用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成续的方差关系是（　　） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列命题是假命题的是（    ） A．对边之和相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形 C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形 D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形 二、填空题：（每小题4分，共48分.） 7．（本题4分）因式分解： ． 8．（本题4分）函数的定义域是 ． 9．（本题4分）已知，则 ． 10．（本题4分）将直线向左平移1个单位后截距为4，则k的值为 ． 11．（本题4分）正十边形的中心角的度数为 ． 12．（本题4分）一个不透明的布袋中有8个球，分别印有数字1、2、3、4、5、6、7、8，其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球印有的数字不大于5的概率是 ． 13．（本题4分）春节前夕，杭州深度求索公司推出了其自主研发的开源模型——，在多项性能评测中表现出色，引起世界关注．入图是该模型与美国模型在百科、数学及代码等领域的相关测试数据，通常用的值表示对的相对优势．那么由图中数据可知比，在 领域的相对优势更大．（填“百科”、“数学”或“代码”） 14．（本题4分）将抛物线向右平移3个单位后，对称轴是轴，那么的值是 ． 15．（本题4分）如图，在中，点在上，，设，那么 ．（用向量、表示） 16．（本题4分）如图，点是的重心，四边形与面积的比值是 ． 17．（本题4分）如图，在梯形中，，，，，，点在边上，以为半径的交边于点，当四边形是一个等腰梯形，且与有公共点时，则的半径长的取值范围是 ． 18．（本题4分）如图，已知正方形，E是边的中点：将沿翻折，点A落在点F处，与交于点G，那么的值是 ． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分.） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）解方程组. 21．（本题10分）某所大学共有5000名师生，后勤管理部门为了提高学校的午餐供应质量，随机调查了若干名师生，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不充整）． 午餐情况 自带 食堂堂食 食堂外卖 百分比 (1)调查中样本容量为___________， (2)根据条件，将条形统计图-1补充完整： (3)学校食堂供应A、、三种外卖套餐，价格分别为15元，20元，30元，食堂外卖套餐销售量比例如图-2所示，请估计全校每天食堂外卖销售额为多少元？ 22．（本题10分）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 23．（本题12分）已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 25．（本题14分）已知：的半径，弦，是弦的中点，点是射线上一点（与点不重合），直线与射线交于点． (1)当点在上，求的长． (2)若点在的延长线上，设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)连接，若与相似，求此时的长． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题4分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题4分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，熟练掌握上述运算法则，是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，不是同类项不能合并，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（本题4分）截止至2025年3月9日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房已超过148亿元，“148亿”用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将“148亿”写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：148亿， 故选：C． 3．（本题4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数和二次函数的性质，熟练掌握各类函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数、二次函数的性质进行逐项分析即可． 【详解】A． ，二次项系数为，故函数开口向上，且对称轴为，当时，函数值y随自变量x的值增大而减小；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意； B．，比例系数为，当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意； C． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增减小，故不符合题意； D． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增大，故符合题意； 故选：D 4．（本题4分）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 5．（本题4分）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成续的方差关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差的定义，方差的意义是代表一组数据波动的大小，波动越小方差越小，根据此判断即可； 【详解】解：由图可以看到：乙的成绩波动最小，所以方差最小；甲的波动最大，所以方差最大，进而得到， 故选项A，C，D错误，不符题意；选项B正确，符合题意； 故选：B． 6．（本题4分）下列命题是假命题的是（    ） A．对边之和相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形 C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形 D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵平行四边形的对边相等，且对边之和相等， ∴平行四边形邻边相等， ∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题； B、如图，是的边上的高，是边上的高，且    由面积公式得， ∴ ∴是菱形， 即：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题； C、如图，分别是四边形的两条对角线，交于点O，其中平分，平分    ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， 即：一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意； D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意； 故选：D． 二、填空题：（每小题4分，共48分.） 7．（本题4分）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（本题4分）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数定义域，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解得，即可得到函数的定义域 【详解】解：根据题意得， 解得， 函数的定义域是， 故答案为：． 9．（本题4分）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性即解一元一次不等式组，根据算术平方根的非负性得出，求出，再由，，即可解答． 【详解】解：根据题意：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（本题4分）将直线向左平移1个单位后截距为4，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一次函数的平移变换，熟知“上加下减，左加右减”的是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”求出平移后的解析式，再根据在y轴上的截距为4，即可求k的值． 【详解】∵直线向左平移1个单位后截距为4， ∴得到直线的表达式为， 即， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．（本题4分）正十边形的中心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故答案为：． 12．（本题4分）一个不透明的布袋中有8个球，分别印有数字1、2、3、4、5、6、7、8，其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球印有的数字不大于5的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求概率的公式，根据公式算出答案即可； 【详解】解：共有8个数，就是共有8种等可能的结果，其中数字不大于5的等可能结果有1、2、3、4、5，共5种， ∴数字不大于5=． 13．（本题4分）春节前夕，杭州深度求索公司推出了其自主研发的开源模型——，在多项性能评测中表现出色，引起世界关注．入图是该模型与美国模型在百科、数学及代码等领域的相关测试数据，通常用的值表示对的相对优势．那么由图中数据可知比，在 领域的相对优势更大．（填“百科”、“数学”或“代码”） 【答案】代码 【分析】本题考查了条形统计图，数据的收集和整理，解题的关键是理解题意．先根据公式分别算出各个领域内对的相对优势的百分比，再比较即可求解． 【详解】解：百科领域：， 数学领域：， 代码领域：， ， 比，在代码领域的相对优势更大， 故答案为：代码． 14．（本题4分）将抛物线向右平移3个单位后，对称轴是轴，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 先求出抛物线向右平移3个单位后的解析式，再根据对称轴方程即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，得到， ∵对称轴是轴， ∴， ∴， 故答案为：3． 15．（本题4分）如图，在中，点在上，，设，那么 ．（用向量、表示） 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键． 先表示，再由表示，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（本题4分）如图，点是的重心，四边形与面积的比值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得，，，从而得到，进而得到，继而得到，，可得，再由，即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点G是的重心， ∴点D，E分别为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即四边形与面积的比值是． 故答案为：． 17．（本题4分）如图，在梯形中，，，，，，点在边上，以为半径的交边于点，当四边形是一个等腰梯形，且与有公共点时，则的半径长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作交于，过点作于点，设，则，所以，证明四边形是平行四边形，则，即，再证明，所以，即，求出，则，然后根据圆与圆的关系即可求解． 【详解】解：如图，作交于，过点作于点， 设， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 即， ∴， 当两圆外切时， ，即（舍去）， 当两圆内切时，，即（舍去），， 即两圆相交时，， ∴与有公共点时，的半径长的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的性质，圆与圆的关系，垂径定理，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．（本题4分）如图，已知正方形，E是边的中点：将沿翻折，点A落在点F处，与交于点G，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，，过点F作，于点P，设，根据点E为的中点，得出，根据勾股定理求出，根据折叠得出，，垂直平分，根据等积法求出，解直角三角形得出，求出，，，证明，得出即可． 【详解】解：连接，过点F作，于点P，如图所示： 则四边形为矩形，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，，，， ， ∵四边形为正方形， ∴，，， 设， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 根据折叠可知：，，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分.） 19．（本题10分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，立方根，分母有理化，零指数幂，正确计算是解题的关键． 先求乘方，特殊角的三角函数值，立方根，零指数幂，分母有理化，然后去绝对值，最后进行加减计算即可． 【详解】解： ． 20．（本题10分）解方程组. 【答案】或或或 【分析】可得或，或，从而可得或或或，即可求解． 【详解】 解：由①得 ， 或， 由②得 或， 或或或， 解得或或或， 原方程组的解为或或或． 【点睛】本题考查了解特殊方程组，将二元二次方程组化为二元一次方程进行求解，掌握解法是解题的关键． 21．（本题10分）某所大学共有5000名师生，后勤管理部门为了提高学校的午餐供应质量，随机调查了若干名师生，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不充整）． 午餐情况 自带 食堂堂食 食堂外卖 百分比 (1)调查中样本容量为___________， (2)根据条件，将条形统计图-1补充完整： (3)学校食堂供应A、、三种外卖套餐，价格分别为15元，20元，30元，食堂外卖套餐销售量比例如图-2所示，请估计全校每天食堂外卖销售额为多少元？ 【答案】(1)500 (2)见解析 (3)元 【分析】本题主要考查了条形统计图、样本容量、有理数的混合运算、用样本估计整体等知识点，从统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）用自带人数除以自带所占的百分比即可； （2）用样本容量乘以食堂外卖所占百分比，求得食堂外卖的人数，然后补全统计图即可； （3）先求出A套餐所占的百分比，然后根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：，即调查中样本容量为500． 故答案为：500． （2）解：食堂外卖的人数为：人． 补全条形统计图如下： （3）解：A套餐所占的百分比为， 由题意可得： 元． 22．（本题10分）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又， 在中，， ， 解得： 23．（本题12分）已知：如图，在四边形中，，点为边上一点，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得到，而，则，得到，而，故四边形是平行四边形； （2）可证明， 而，那么，则，代入，得到，而，得到，由，得到，故． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）由题意得，，根据，可知，，再利用待定系数法即可求解； （2）①设平移后的解析式为，且经过，可得；由题意可知，其在轴负半轴，则，可得，，平移后的对称轴为直线，根据切线的性质可知，求出，即可求解； ②连接交轴于，由（1）可知原抛物线的解析式为，根据，结合解直角三角形求得，即，进而求得，直线的解析式为，可得，过点作，则轴，结合解直角三角形可知，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即，新抛物线解析式为：，由题意知，代入解析式求得的值，即可求得解析式，进而可得顶点坐标． 【详解】（1）解：令时，，即， ∴， ∵， ∴，， 将，代入， 得：，解得：， 即：，； （2）①设平移后的解析式为，且经过， ∴，即：； 令，则，即：， 又∵在轴负半轴，则，即， ∴，， 平移后的对称轴为直线 ∵它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切， ∴，即， 解得：，则， ∴平移后新抛物线的解析式； ②连接交轴于， 由（1）可知原抛物线的解析式为， ∵ ∴，则， ∵，则， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， 可得：，解得：或， ∴， 过点作，则轴， ∴， 设，则， ∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 即，新抛物线解析式为：， 又∵， ∴，则， 解得：，（舍去）， ∴平移后的新抛物线解析式为：， ∴新抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析，二次函数的平移问题，解直角三角形，切线的性质，理解题意，作出草图，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． 25．（本题14分）已知：的半径，弦，是弦的中点，点是射线上一点（与点不重合），直线与射线交于点． (1)当点在上，求的长． (2)若点在的延长线上，设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)连接，若与相似，求此时的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据重心的性质即可求解； （2）过点O作，交于点E ，证明，推出，根据，推出，即可解答； （3）分点P在延长线上，点P在上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当P在上时，连接 ， ∵ C是中点，O是中点， ∴ 点D为的重心， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点O作，交于点E ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴； （3）解：如图，当点P在延长线上时， ∵， ∴， ∵ C是中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∴ 如图，当点P在上时，过点B作于点H， ∵， ∴ ∴， ∵ C是中点，过圆心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴； 综上所述，若与相似，的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题型，主要考查了三角形的重心性质，相似三角形的判定与性质，熟记三角形的重心到顶点的距离等于对边中点的距离的2倍，作辅助线构造相似三角形，是解题的关键，难点在于要分情况讨论． 试卷第1页，共3页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$