黄金卷08（上海专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题4分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题4分）下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）下列方程中，有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图是摘自《生日歌》简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 5．（本题4分）如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 二、填空题：（每小题4分，共48分.） 7．（本题4分）不等式组的解集为 ． 8．（本题4分）方程的解为 . 9．（本题4分）已知函数，那么 ． 10．（本题4分）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为 ． 11．（本题4分）甲、乙两地4月下旬的日平均气温统计图如图所示，那么由图中信息可知甲、乙两地这10天日平均气温比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 12．（本题4分）沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度 ． 13．（本题4分）在梯形中，AB//CD，，E是腰的中点，联结．如果设，那么 （含、的式子表示） 14．（本题4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为 ． 15．（本题4分）如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于 . 16．（本题4分）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝ ． 17．（本题4分）如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为 . 18．（本题4分）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为 ． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分.） 19．（本题10分）先化简，再求值：，其中 20．（本题10分）解方程组： 21．（本题10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式． （2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？ 22．（本题10分）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号） (2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 23．（本题12分）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G． (1)求证：BE=FG； (2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离； (3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围． 25．（本题14分）如图，梯形中，，，，，.点M在射线上，以点C为圆心，为半径的交射线于点N，联结，交射线于点G. (1)求线段的长； (2)设线段，，当点N在线段上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)联结，当时，求线段的长. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题4分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题4分）下列各式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项进行求解． 【详解】解：A、，故符合题意； B、不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选A． 2．（本题4分）下列方程中，有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式、解分式方程、无理方程的方法与步骤逐项判断即可． 【详解】解：A、一元二次方程的判别式，故方程无实数根，故A不符合题意； B、分式方程去分母得，解得，经检验是原方程的解，故选项B符合题意； C、要使根式有意义，则且，即，此时，故C不符合题意； D、，故无实数解，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解的情况，熟练掌握一元二次方程、分式方程与无理方程的解法是解此题的关键． 3．（本题4分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标，解分式方程、一元二次方程、以及一元一次方程，理解“和美点”的定义是解题关键．根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中，再求出个选项中的“和美点”即可． 【详解】解：根据“和美点”的定义可知，“和美点”即为直线上的点，令各函数中， A、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意； B、，解得：，即点为函数的“和美点”，不符合题意； C、，则，此时无解，即函数不存在“和美点”，符合题意； D、，解得：，，即点和点为函数的“和美点”，不符合题意； 故选：C． 4．（本题4分）如图是摘自《生日歌》简谱的部分旋律，当中出现的音符的中位数是（    ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查中位数的求法，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解： 将出现的音符从小到大的顺序排列：1、1、2、5、5、5、5、5、5、6、6、7， ∴中位数为， 故选：C． 5．（本题4分）如图，小佳将三角板角的顶点落在圆上，测得另两个交点的距离，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，，由圆周角定理得，又，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 6．（本题4分）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断． 【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D不符合题意． 故选：A． 二、填空题：（每小题4分，共48分.） 7．（本题4分）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键．先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，即可解题． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为， 故答案为：． 8．（本题4分）方程的解为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 9．（本题4分）已知函数，那么 ． 【答案】 【分析】由函数，代入，求解即可． 【详解】函数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（本题4分）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据条件可得，，且顶点纵坐标，再进一步求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过第一、二、四象限， ∴，，， ∴． 故答案为：． 11．（本题4分）甲、乙两地4月下旬的日平均气温统计图如图所示，那么由图中信息可知甲、乙两地这10天日平均气温比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】由方差的意义知，波动小者方差小，根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小．从而可得答案． 【详解】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；故乙地的日平均气温的方差小． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 12．（本题4分）沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度 ． 【答案】2.4 【分析】根据勾股定理求出此人行走的水平距离，根据坡度的概念计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，此人行走的水平距离为：=12， 则此斜坡的坡度i=5：12=1：2.4， 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 13．（本题4分）在梯形中，AB//CD，，E是腰的中点，联结．如果设，那么 （含、的式子表示） 【答案】 【分析】先证明再利用三角形法则求出，从而可得答案． 【详解】解：如图， 是腰的中点， AB//CD，，， 故答案为： 【点睛】本题考查梯形的性质，平面向量，三角形法则，熟练的应用三角形法则表示向量之间的关系是解本题的关键． 14．（本题4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为 ． 【答案】 【分析】在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得BD． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故BD的长度为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题关键是解直角三角形． 15．（本题4分）如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于 . 【答案】4 【分析】解：如图，联结CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解． 【详解】解：如图，联结CE， ， ， 六边形是正六边形， AB=AF=EF=BC，， ， ， ， ， 四边形BCEF是平行四边形， ， 的面积为1，， 的面积为， 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 16．（本题4分）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝ ． 【答案】6 【分析】由DEBC，△AED∽△ABC，利用相似三角形的性质结合△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，可得出＝，结合DE＝4，即可求出BC的值，经检验后即可得出结论． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． ∵DEBC， ∴△AED∽△ABC． 又∵＝， ∴＝＝， ∴＝，即＝， ∴BC＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 17．（本题4分）如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为 . 【答案】() 【分析】由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式可求得C点坐标． 【详解】解：A(1，3)，AB⊥x轴点B， AB=3， OB= 1， ， BD=1， D(1，1)， 点D在反比例函数图象上， ，解得k=1， 反比例函数解析式为， 联立直线与反比例函数解析式可得 解得或， C ()． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及，函数图象的交点，联立方程组求交点是解题的关键 18．（本题4分）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，直线分别与边，交于点，，将沿翻折得，的对应边恰好经过点，与交于点，已知，，则与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题主考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积比的相关知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 由菱形性质得，，，又和，设，，则，易求，再解可得，然后根据折叠可知，结合，建立方程求出，证，求出和，进而求出，最后证，然后根据面积比等于相似比的平方即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，，则， 在中，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠性质可知：， ∴，解得：， ∴，，， 由折叠性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴相似比为， ∴与 的面积之比为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分.） 19．（本题10分）先化简，再求值：，其中 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 20．（本题10分）解方程组： 【答案】， 【分析】根据平方根的意义，把方程组中①变形为：或，它们与方程组②组成二元一次方程组，求解即可． 【详解】由①得， ∴或 将它们与方程②分别组成方程组分别为：， ，求解得： ，求解得： ∴原方程组的解为：，． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方根、二元二次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方根、二元二次方程组的性质，从而完成求解． 21．（本题10分）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式． （2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？ 【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时 【分析】（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式； （2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可． 【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得 ， 解得： ， ∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）； （2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h） ∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时）， 18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时）， 当y＝200﹣80＝120 时， 120＝80x﹣128， 解得x＝3.1， 5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时）， 设货车乙返回B地的车速为v千米/小时， ∴1.6v≥120， 解得v≥75． 答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握待定系数法，并求出函数解析式，根据题意正确列出一元一次不等式． 22．（本题10分）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号） (2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出和的长，进而可求出和的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中，， 可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点， 解：由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为． 23．（本题12分）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G． (1)求证：BE=FG； (2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE与△EFG全等，据此即可证明BE=FG； （2）证明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL证明△AEM≌△ADM即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵EF⊥AE， ∴∠AEB+∠GEF=90°， 又∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠GEF=∠BAE， 又∵FG⊥BC， ∴∠ABE=∠EGF=90°， 在△ABE与△EGF中，， ∴△ABE≌△EGF（AAS）； ∴BE=FG； （2）证明：连接AM、DE， ∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°， ∴△ABE∽△ECM， ∴，即AB•EM=EC•AE， ∵AB•DM=EC•AE， ∴DM= EM， ∵EF⊥AE， ∴∠AEM=90°， ∴∠AEM=∠ADM=90°， ∵DM= EM，AM= AM， ∴△AEM≌△ADM(HL) ， ∴AE= AD， ∴AM垂直平分DE． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离； (3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)平移的距离为 (3)m的取值范围为 【分析】（1）由直线解析式可求出点A、B的坐标，然后再代入二次函数解析式进行求解即可； （2）过点B作BE⊥DC于点E，由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后可得，进而问题可求解； （3）由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，则有点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，然后根据图象的平移可进行求解． 【详解】（1）解：令x=0时，则有，即点， 令y=0时，则有，解得：，即点， 把点A、B的坐标代入二次函数解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意可得如下图象： 过点B作BE⊥DC于点E， 由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平移距离； （3）解：由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线， ∴点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵将抛物线向左平移3个单位，且点M的对应点Q落在内， ∴点M的横坐标为m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 25．（本题14分）如图，梯形中，，，，，.点M在射线上，以点C为圆心，为半径的交射线于点N，联结，交射线于点G. (1)求线段的长； (2)设线段，，当点N在线段上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)联结，当时，求线段的长. 【答案】(1)25 (2) (3)或 【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，在三角形ABE中根据求出AE，再在三角形DFC中根据勾股定理求出CD即可； （2）先求出AC的长，再由求出CG的长即可； （3）分点N在线段上和点N在线段延长线上两种情况讨论，分别画出图形计算即可， 【详解】（1）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形ADFE是矩形 ∴AD=EF，AE=DF ∵ ∴ ∴ ∴ 设CD=AD=EF=x ∵ ∴ 在Rt△DFC中， ∴，解得 ∴CD=AD=EF=25 （2）在Rt△ACE中， ∴ ∵，AD=CD ∴ ∵ ∴MN⊥AC ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点N在线段上 ∴ ∴ （3）当点N在线段上时 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴DN=MN ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 即 当点N在线段延长线上时 ∵ ∴ ∵ ∴ 设MN与直线DA交于点P ∵AD∥BC ∴,， ∴, ∴PM=PD ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 即 综上所述，或 【点睛】本题属于几何综合题，考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C C D A 7． 8． 9． 10．/ 11．乙 12．2.4 13． 14． 15．4 16．6 17．() 18． 19．解： ，.....................5分 当时， 原式 ．.....................10分 20．解：由①得， ∴或.....................5分 将它们与方程②分别组成方程组分别为：， ，求解得： ，求解得： ∴原方程组的解为：，．.....................10分 21．解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得 ， 解得： ， ∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；.....................5分 （2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h） ∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时）， 18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时）， 当y＝200﹣80＝120 时， 120＝80x﹣128， 解得x＝3.1， 5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时）， 设货车乙返回B地的车速为v千米/小时， ∴1.6v≥120， 解得v≥75． 答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．.....................5分 22．（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中，， 可伸缩支撑杆的长度为；.....................5分 （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点， 解：由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为．.....................5分 23．解：（1）证明：∵EF⊥AE， ∴∠AEB+∠GEF=90°， 又∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠GEF=∠BAE， 又∵FG⊥BC， ∴∠ABE=∠EGF=90°， 在△ABE与△EGF中，， ∴△ABE≌△EGF（AAS）； ∴BE=FG；.....................6分 （2）证明：连接AM、DE， ∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°， ∴△ABE∽△ECM， ∴，即AB•EM=EC•AE， ∵AB•DM=EC•AE， ∴DM= EM， ∵EF⊥AE， ∴∠AEM=90°， ∴∠AEM=∠ADM=90°， ∵DM= EM，AM= AM， ∴△AEM≌△ADM(HL) ， ∴AE= AD， ∴AM垂直平分DE．.....................12分 24．（1）解：令x=0时，则有，即点， 令y=0时，则有，解得：，即点， 把点A、B的坐标代入二次函数解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为；.....................4分 （2）解：由题意可得如下图象： 过点B作BE⊥DC于点E， 由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平移距离；.....................8分 （3）解：由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线， ∴点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵将抛物线向左平移3个单位，且点M的对应点Q落在内， ∴点M的横坐标为m的取值范围为．.....................12分 25．解;（1）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形ADFE是矩形 ∴AD=EF，AE=DF ∵ ∴ ∴ ∴ 设CD=AD=EF=x ∵ ∴ 在Rt△DFC中， ∴，解得 ∴CD=AD=EF=25.....................4分 （2）在Rt△ACE中， ∴ ∵，AD=CD ∴ ∵ ∴MN⊥AC ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点N在线段上 ∴ ∴.....................10分 （3）当点N在线段上时 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴DN=MN ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 即.....................12分 当点N在线段延长线上时 ∵ ∴ ∵ ∴ 设MN与直线DA交于点P ∵AD∥BC ∴,， ∴, ∴PM=PD ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 即 综上所述，或.....................14分 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$