6.1 余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.1余弦定理 北师大版（2019）高中数学必修第二册 第二章 平面向量及其应用 第6节 平面向量的应用 授课老师：石满军 2024年5月24日 本节学习目标 1. 会利用向量的数量积推导余弦定理。 2. 能运用余弦定理和推论解决三类基本的解三角形问题。 温顾知新 回顾知识： （1） 。 （2）cos30°= ，cos 60°= ， cos 90°= ，cos 120°= 。 （3）向量的减法： （4）向量的模： 。 （5）向量的数量积： 。 -2 + 0 创设情境 某公司打算参与高铁隧道建设招投标，需计算隧道实际长度BC后给出合理的报价，已知AB=4km，AC=5km，利用经纬仪（测角仪）测出A点对山脚BC的张角 ,求隧道BC的长度。 5 在△ABC中，已知AB=c ,AC=b，AC与AB 的夹角为∠A， 求边a. 深入剖析—探究新知 （上述问题可转化成模型） 深入剖析—探究新知 思考一下：在△ABC中，我们可以怎么样去求BC呢？ ？ 结合我们前面学习向量的减法可以得到： B C A 同理可证 如图所示，根据向量的数量减法，可以得到 深入剖析—探究新知 在三角形中， •=(-)•(-) =2 =2+ 上述向量的运算转变成三角形的边长得： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理: 概念形成：如何用文字说明上面三个式子？ 适用范围：余弦定理适用于任何三角形 推论： 余弦定理的变形 问题1：观察余弦定理的公式，每个等式中包含了同一个三角形的多少个边和角？在三角形中，已知那几个边和角，可以求剩下的边和角？ 每个等式中，在同一个三角形中有三条边和一个角，知三求一. 深入剖析—探究新知 问题2：在中，当角C=90°时，式子变成了什么？ 追问：勾股定理与余弦定理有何关系？ 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。 由 即勾股定理 先独立思考3分钟，再小组合作完成，并总结余弦定理能解决什么问题？（在三角形中，已知什么，能求什么？），然后小组派代表上台展示过程并讲解。 例1 在△ABC中，已知，∠C=120°，求。 例2 在△ABC中，已知。 例3 在△ABC中，已知 小组合作探究（独立思考，小组交流，小组成果展示） 例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c. 解：由余弦定理，得 因此 归纳小结：已知两边和其夹角，可求第三边 C B A a b c 由余弦定理得 即 解得 解： 归纳小结：已知两边和一边对角，可求第三边 例2. 如图，在△ABC中，已知a=，b=1，∠B=30°，求c。 例3:在△ABC中，已知 解：由余弦定理，得 cos A＝＝ ＝ ∵0<A<π，∴A＝ 同理可得 cos B＝ , cos C＝0. ∵0<B<π，0<C<π，∴B＝ , C＝ 归纳小结：已知三边，可求三个角。 归纳小结 16 题型一：在△ABC中，已知两边一夹角，可求第三边。（余弦定理） 题型二：在△ABC中，已知两边及一边的对角，已知哪个角用哪个余弦定理公式。（利用余弦定理建立一元二次方程） 题型三：在△ABC中，已知三边，可求三个角。（推论） 1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2-bc，则角A等于(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 学以致用：（独立完成，等下提问) 4．在△ABC中，若, 则AC等于(　　) A．4 B．1 C．4或1 D．无解 A 7 B B 三角形中的边角关系 余弦定理 定理内容 定理证明 定理应用 向量法 3.已知三边，求三个角(SSS) １.已知两边及它们的夹角，求第三边（SAS) 推论 重点 难点 2.已知两边和一边对角(SSA) 归纳总结—强化思想 1、作业：课本116页：练习第1、2题。 2、预习课本116页下节课《正弦定理》的内容，并完成118页练习第2题（本题为预习后练习）。   课本115页例1： A C O B D P Q A B D P Q 80° 解：经过3h，甲到达点P, 乙到达点Q, 在△OPQ中，依余弦定理，得 因此，3h后两人相距约16.4km 例2 如图，是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数√2，√3，√5，… 的图形，试计算图中线段的长度及∠的大小.(长度精确到0.1,角度 精确到1°）. 所以BD≈1.8.. ,∠BCD=135°, =12+12-2×1×1cos135°=2+. 课本115页例2： 谢谢聆听 2．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝eq \f(π,3)，则c= 。 3．在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角为(　　) A.eq \f(π,3)　　　　B.eq \f(π,6)　　　　C.eq \f(π,4)　　　　D.eq \f(π,12) $$