专题07 立体几何初步 讲义——2026届高三数学一轮复习

专题07 立体几何初步 一、学习目标（100%） 1、认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征； 2、能用公式计算球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积； 3、能用斜二测法画出简单空间图形的直观图； 4、了解4个基本事实和3个推论，了解等角定理 5、了解空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直关系 6、能用平行，垂直关系中的判定定理和性质定理证明空间基本图像的位置关系。 二、课前热身（20%） 1. 如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 2. 一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 4. 在四棱锥中，“”是“平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面.   (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 三、知识梳理 1、空间几何体的结构特征 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （3）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （4）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （5）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （6）圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （7）球 球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 【即时演练】（30%） 1. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 3. 如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 2、直观图 （1）空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. （2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 3、柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱，圆柱） 椎体（棱锥，圆锥） 台体（棱台，圆台） 球 4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 图示 侧面积公式 【即时演练】（40%） 1. 的斜二测直观图如图所示，则的面积是 . 2. （多选）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（    ）    A．是直角三角形 B．长为 C．长为 D．边上的中线长为 3. 如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．    4. 如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台构成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 5. 已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 6. 已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5、与平面有关的三个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面  数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,. （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内  数学语言：,,且, （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线  数学语言：,且 ,且 6、基本事实1的三个推论 推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;  推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;  推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.  7、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 相交关系 图形语言 图形语言 独有关系 图形语言 图形语言 与是异面直线 8、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. （2）直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： （3）直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 9、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 两个平面没有公共点 （2）平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： （3）平面与平面平行的性质定理 性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面 符号语言： 【即时演练】（50%） 1. （多选）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 3. 如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 4. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 10、直线与平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. 符号语言：对于任意，都有. （2）直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， （3）直线和平面垂直的性质定理 定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 11、平面与平面垂直 11.1、平面与平面垂直的定义 （1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. （2）符号语言: （3）图形语言 11.2、平面与平面垂直的判定 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 11.3、平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【即时演练】（60%） 1. 如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ） A．平面 B．平面 C． D． 2. 已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3. 《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. (1)证明：两两垂直； (2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值. 4. 如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 四、综合检验（70%） 1. 已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2. 在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（    ） A． B． C． D． 3. （多选）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 4. 在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r，大球的半径为R，大球内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若，则r的最大值为 . 5. 如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. (1)证明：； (2)求五棱锥的体积 五、课后作业（80%） 1. 如图，在长方体中，，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 3. 如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为 . 4. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 5. 已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至少与、中的一条相交 B．至多与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 6. 《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 六、巩固复习第一轮（85%） 1. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2. 若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3. 如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D． 4. 如图，在正方体中，分别是的中点．下列结论正确的是（   ） A．与垂直 B．与平面 C．与所成的角为 D．平面 5. 如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，.   (1)求证：平面； (2)求证：平面. 七、巩固复习第二轮（90%） 1. 若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 3. （多选）已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径为3，且弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于 . 5. 在正方体中，E，F分别是底面和侧面的中心． (1)求证：平面 (2)求证：平面平面． 八、错题回顾（95%） 页码+题号： 九、巩固复习第三轮（100%） 1. 已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 2. 上、下底面圆的半径分别为、，高为的圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 3. 若一个半径为的球和一个上，下底面边长分别为和的正四棱台的体积相同，则正四棱台的高为 ． 4. 已知，是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 5. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 6. 如图，在正方体中，  (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角． 【课后作业答案】 1B 2.根号3 3.6 4. B 5. A 学科网（北京）股份有限公司 $$