专题07三角函数的图象与性质讲义-2026届高三数学一轮复习

专题07 三角函数的图象与性质 　　　　 ►考点01 三角函数的图象与性质 11 ►考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换 14 ►考点03 由图象求三角函数解析式 18 　►备考指南 熟记三角函数的图象与性质；熟记y=Asin（wx+）的图象与性质；掌握三角函数的增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等． 　►知识梳理 1．三角函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R {xx≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 （kπ，0） 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 2．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0 3．图象变换 　►方法技巧◄　 求解函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质问题的三种意识 （1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为．y＝Asin（ωx＋φ）的形式． （2）整体意识：类比y＝Asinx的性质，只需将y＝Asin（ωx＋φ）中的“ωx＋φ”看“y＝Asinx”中的“x”，采用整体代入求解． ①令 ωx＋φ=kπ（），可求得对称轴方程． ②令ωx＋φ=kπ（），可求得对称中心的横坐标． ③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，注意ω的符号． （3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0． 　►真题类编 一、选择题（共8小题） 1．（2024•全国）函数y＝sinxcosx的最大值是（　　） A．1 B． C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosxsin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出． 【解答】解：∵y＝sinxcosx＝2（sinxcosx）＝2sin（x）． ∵﹣1≤sin（x）≤1， ∴当sin（x）＝1时，函数y取得最大值2． 故选：C． 2．（2024•全国）已知和都是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（　　） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据x和x都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（），由此求解即可． 【解答】解：因为x和x都是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点， 所以周期为T≤2×（）， 所以，所以ω≥4， 即ω的最小值是4． 故选：A． 3．（2023•甲卷）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意，利用函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论． 【解答】解：把函数向 左平移个单位可得 函数f（x）＝cos（2x）＝﹣sin2x的图象， 而直线（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为， 且直线还经过点（，）、 （，）， 01， ﹣10，如图， 故y＝f（x）与的交点个数为3． 故选：C． 4．（2024•天津）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在区间上的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】由最小正周期为π，求出ω＝2，从而f（x）＝3sin（2x），由此能求出函数在的取最小值． 【解答】解：∵函数，（ω＞0） Tπ，ω＝2， 可得f（x）＝3sin（2x），x∈，2x∈[，]， 所以sin（2x）∈[，1]， 所以f（x）∈[，3]， 故函数取最小值是． 故选：D． 5．（2025•上海）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（　　） A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】D 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，利用函数图象，数形结合分情况讨论求解即可． 【解答】解：因为，所以， 考虑函数在（0，2025）的图像，以6为周期， 先考虑一条直线y＝t（t∈R）与函数的整点交点， 注意到在一个周期（0，6]内，可能存在的整点有1，2，4，5，6， 可得，以下分情况讨论： ①当时，x＝2+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点； ②当时，x＝1+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点； ③当t＝0时，x＝6+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点； ④当时，x＝5+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点； ⑤当时，x＝4+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点， 再考虑直线y＝a与y＝a+1所包围的区域（不含边界）， 注意到区间（a，a+1）的长度为1， 所以可能，就有337+337＝674个整点，故C可能； 因为与的距离为，所以只可能是或中的一个∈（a，a+1），就有338个整点，故B可能； 而当时，中没有元素∈（a，a+1），就有0个整点，故A可能； 注意到1012＝338+337+337，但与的距离为，故D不可能． 故选：D． 6．（2025•天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴，（，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（　　） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，确定出ω＝4n+2，再根据单调区间确定周期范围得出0＜ω≤2，从而可确定ω＝2，最后结合单调性与对称中心得出φ，可得出f（x）解析式，再根据正弦函数的图像得出最值即可． 【解答】解：因为f（x）在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴， 可得f（）＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，① 因为f（x）的图象关于（，0）对称， 所以mπ，m∈Z，② 且T，n∈Z， 解得ω＝4n+2，n∈Z， 因为在[，]上单调递增，所以， 解得0＜ω≤2，所以ω＝2， 根据①②，可得， 因为﹣π＜φ＜π，所以φ， 故f（x）＝sin（2x）， 当x∈[0，]时，2x∈[，]，可得f（x）的最小值为f（）＝sin． 故选：A． 7．（2024•新高考Ⅰ）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x）的交点个数为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】作出两函数在[0，2π]上的图象，结合图象即可得出答案． 【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y＝sinx与y＝2sin（3x）在[0，2π]上的图象如下， 由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x）的交点个数为6个． 故选：C． 8．（2025•新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的对称中心可得a的表达式，再由a＞0可得a的最小值． 【解答】解：由已知，aπ，k∈Z，所以aπ，k∈Z， 因为a＞0，所以取k＝0时，得a的最小值为60°． 故选：C． 二、多选题（共1小题） （多选）9．（2024•新高考Ⅱ）对于函数f（x）＝sin2x和，下列正确的有（　　） A．f（x）与g（x）有相同零点 B．f（x）与g（x）有相同最大值 C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据零点的定义，三角函数的单调性、周期性、对称性逐项判断即可． 【解答】解：对于A，令f（x）＝sin2x＝0，解得x，k∈Z，即为f（x）零点， 令g（x）＝sin0，解得x，k∈Z，即为g（x）零点， 故f（x），g（x）零点不同， f（0）＝0，g（0），故A错误； 对于B，f（x）∈[﹣1，1]，g（x）∈[﹣1，1]，两函数值域相同，故B正确； 对于C，显然两函数最小正周期都为π，故C正确； 对于D，由2x＝kπ，k∈Z得，函数f（x）的对称轴是x，k∈Z， 由2xkπ，k∈Z得，函数g（x）的对称轴是，k∈Z，故D错误． 故选：BC． 三、填空题（共2小题） 10．（2024•甲卷）函数f（x）＝sinx在[0，π]上的最大值是 　2　 【答案】2． 【分析】将函数化简为正弦型函数，结合给定的范围，根据正弦函数的单调性判断即可． 【解答】解：f（x）＝sinx2sin（x）， x∈[0，π]，x∈[，]， 所以当x，x时，f（x）取得最大值， f（x）max＝f（）＝2． 故答案为：2． 11．（2025•上海）函数y＝cosx在[，]上的值域为　[0，1]　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由余弦函数的单调性即可求得． 【解答】解：因为函数y＝cosx在单调递增，在单调递减， 所以当x＝0时，cosx取得最大值1， 因为，cos，所以cosx的最小值为0， 所以函数y＝cosx在[，]上的值域为[0，1]． 故答案为：[0，1]． 四、解答题（共1小题） 12．（2025•新高考Ⅱ）已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）． （1）求φ的值； （2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间． 【答案】（1）； （2）值域：，递增区间[），递减区间[kπ），k∈Z． 【分析】（1）利用f（0），求出φ的值； （2）先利用三角恒等变换的知识将g（x）化简为一次的形式，然后结合正弦函数的性质求解． 【解答】解：f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）， （1）由已知得，结合0≤φ＜π， 所以φ； （2）由（1）知：，所以f（x）＝cos2x， 所以g（x）＝ f（x）+f（x）＝cos2xcossin2xsincos2x cos（2x）， 显然g（x）的值域为[，]，因为y＝cosx在[﹣π+2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ+π]上递减，k∈Z， 所以令，解得g（x）的递增区间为[kπ，kπ），k∈Z， 再令2kπ≤2x2kπ+π，解得g（x）的递减区间为[kπ，kπ），k∈Z． 　►考点精讲 ►考点01 三角函数的图象与性质 解法指导 1．对称性与周期性 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 （1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式． （2）周期的计算方法：利用y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为，y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为求解． （3）解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心． 【例1】　（2025•新蔡县校级模拟）下列区间中，函数单调递减的区间是（　　） A． B． C． D．（0，π） 【答案】A 【分析】根据正切函数的性质即可求解． 【解答】解：， 因为tanu的递增区间为， 而f（x）的递减区间对应的递增区间， 所以令：，解得（k∈Z）， 当k＝0时，单调递减区间为． 故选：A． 【例2】　（2025•陇西县校级模拟）若函数在区间（0，π）上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，3] 【答案】C 【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解． 【解答】解：令，k∈Z， 则，k∈Z， 因为f（x）在区间（0，π）上单调递增， 当k≤0时，不符合题意； 当k≥1时，则，即k＝1时，符合题意，此时0． 故选：C． 【例3】　（2025•上海校级模拟）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A．（0，1] B．（0，1） C． D． 【答案】A 【分析】直接利用正弦型函数的单调性建立不等式组，进一步求出结果． 【解答】解：函数在区间上单调递增， 即：，故， 由于，且（k∈Z），即整理得：， 解得ω∈（0，1]． 故选：A． 【例4】　（2025•南昌校级模拟）若是偶函数，则cosφ+m＝（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或2 【答案】D 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求m，再证明为奇函数，由此可得函数y＝sin（x+φ）为奇函数，结合正弦函数性质可求φ，由此可得cosφ，再求结论即可． 【解答】解：因为f（x）是偶函数，定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程（x﹣m）（x+1）＝0的根互为相反数， 所以m＝1，此时定义域为（﹣1，1）， 设，则函数g（x）的定义域为（﹣1，1）， 又，所以， 所以g（﹣x）＝﹣g（x），所以函数g（x）为奇函数， 所以sin（x+φ）g（x）＝sin（﹣x+φ）g（﹣x）＝﹣sin（﹣x+φ）g（x）恒成立， 所以y＝sin（x+φ）是奇函数，于是φ＝kπ（k∈Z）， 此时cosφ＝±1，于是cosφ+m＝0或2， 故选：D． 【例5】　（2025•通辽三模）已知函数是偶函数，则|φ|的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可． 【解答】解：由题意，是偶函数， 则，k∈Z，即，k∈Z， 则k＝﹣1时，，k＝0时，，k＝1时，， 则|φ|的最小值是． 故选：A． ►考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换 解法指导 1．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0 2．f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0） （1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）． （2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）． 3．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图象平移的规律：左加右减，上加下减． 【例6】　（2025•慈溪市校级模拟）将函数f（x）＝2cos4x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则（　　） A．g（x）＝2sin4x B．g（x）＝﹣2sin4x C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合三角函数图象的平移即可求解． 【解答】解：将函数f（x）＝2cos4x图象上所有的点向右平移个单位长度， 得． 故选：A． 【例7】　（2025•南宁模拟）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若曲线y＝g（x）关于直线对称，则g（x）的最小正周期的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据函数的性质求ω的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解． 【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 故函数的图象关于直线对称， 所以， 得ω＝﹣2﹣6k，k∈Z，ω＞0， 所以ω的最小值是4，则g（x）的最小正周期的最大值为． 故选：A． 【例8】　（2025•广东校级模拟）若函数y＝sinx+λcosx（λ∈R）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝λsinx+cosx的图象，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出平移后的函数表达式，与题干所给的函数表达式对照系数即可得出λ的值． 【解答】解：设f（x）＝sinx+λcosx（λ∈R），函数的图象向左平移个单位，得到f（x）＝sinxcoscosxsin， 所以解得， 故选：A． 【例9】　（2025•市中区校级二模）函数y＝f（x）的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得f（x）＝﹣sin2x，再作出f（x）＝﹣sin2x与的部分大致图像，考虑特殊点处f（x）与y的大小关系，从而精确图像，由此得解． 【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos[2（x）]＝﹣sin2x， 又图像的过（0，），（1，0）， 作出f（x）＝﹣sin2x与的部分大致图像如下， 当x时，f（）＝﹣sin（）＝﹣1，y（）1， 当x时，f（）＝﹣sin1，y1， 当x时，f（）＝﹣sin1，y1， 则y＝f（x）的图象与直线的交点个数为3． 故选：C． 【例10】　（2025•广元模拟）将函数f（x）＝sinx图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g（x）＝sin（）（|φ|））的图象，若点被变换成了点A′（x0，y0），且sinx0，则φ的所有可能值之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先依据题意求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果． 【解答】解：由于点， 因为A被变换成A'（x0，y0）且， 则或，k∈Z， 对于函数f（x）＝sinx变换到 设经过变换后为A'（x0，y0）， 当时，，代入g（x）得， 即或，n∈Z， 对于，因为，当k＝2m时，， 对于， 化简得 ，不满足舍去． 当时，，代入g（x）得， 即或，m∈Z． 对于， 化简得 ， 因为，当k＝2m时，，对于， 化简得（2m﹣k）， 不满足舍去． 所有可能值为和，它们的和为． 故选：A． ►考点03 由图象求三角函数解析式 解法指导 由图象求三角函数解析式 （1）若最大值为M，最小值为m，则A，k． （2）ω由周期T确定，即由T求出． （3）φ由特殊点确定． 【例11】　（2025•罗湖区校级模拟）设函数在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象先判断出周期的大致范围，再根据图象过点（，0），求得ω的值，从而求得f（x）的最小正周期． 【解答】解：根据函数在[﹣π，π]的图象， 可得图象过点（，0）， ∴ω×（π）kπ（k∈Z）， 解得ω（k∈Z）， 设函数的最小正周期为T，由函数的图象得T＜2π＜2T， ∴，∴1＜|ω|＜2， 当且仅当k＝﹣1时，符合题意，此时ω， 故f（x）的最小正周期为， 故选：C． 【例12】　（2025•福建校级模拟）已知函数部分图象如图所示，其中x0≤π，则ω的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据f（0）＝1，求得φ的值，再对照y＝sinx的图象，得到x0与函数f（x）的周期间的关系，进而算出x0与ω的关系，结合x0≤π求得ω的范围，可得ω的最小值． 【解答】解：由题意得f（0）＝2sinφ＝1，可得，结合，可得， 所以， 作出函数y＝sinx的图象，并与f（x）的图象加以类比， 若f（x）的周期为T，则根据且， 可得，即． 因为x0≤π，所以，解得，ω的最小值为． 故选：A． 【例13】　（2025•碑林区校级模拟）如图，将绘有函数f（x）＝Msin（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为．则φ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过A，D分别作y轴、x轴的垂线相交于点E，利用周期求AE，利用余弦定理求BE，然后由勾股定理求出M，根据图象过点即可得解． 【解答】解：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过A，D分别作y轴、x轴的垂线相交于点E， 连接AB，BE，则， 由余弦定理得， 由上可知，x轴垂直于BD，DE， 又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以x轴垂直于平面BDE， 又AE∥x轴， 所以AE⊥平面BDE， 因为BE⊂平面BDE， 所以AE⊥BE， 因为f（x）的周期， 所以AE＝CD＝3， 由勾股定理得3M2+9＝15，解得， 由图知，f（x）的图象过点，且在递减区间内， 所以，即， 因为0＜φ＜π，点在递减区间内， 所以． 故选：C． 【例14】　（2025•玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|，x∈R]的部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（　　） A．2cos B．2cos（x） C．2cos（2x） D．2cos（） 【答案】D 【分析】根据函数f（x）的部分图象求出A、T、ω和φ的值即可． 【解答】解：根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象知，A＝2， 且T＝2×（）， 所以ω； 又x时，f（）＝2， 即φ＝2kπ，k∈Z， 解得φ＝2kπ，k∈Z； 又|φ|，所以φ； 所以f（x）＝2cos（x）． 故选：D． 【例15】　（2025•临沧模拟）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①f（x）在区间上单调递减 ②f（x）的图象可由y＝2sin2x的图象向左平移个单位得到 ③f（x）的对称轴为 ④f（x）在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【解答】解：函数的部分图象如图所示， 由图可知，，即T＝π，则， 此时f（x）＝2sin（2x+φ），又， 则，k∈Z，即，k∈Z， 又，所以，则． 对于①，当时，， 因为函数y＝sinx在上单调递减， 所以f（x）在区间上单调递减，故①正确； 对于②，y＝2sin2x的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以f（x）的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则f（x）在区间上的最小值为，故④正确． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角函数的图象与性质 　　　　 ►考点01 三角函数的图象与性质 4 ►考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换 6 ►考点03 由图象求三角函数解析式 7 　►备考指南 熟记三角函数的图象与性质；熟记y=Asin（wx+）的图象与性质；掌握三角函数的增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等． 　►知识梳理 1．三角函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R {xx≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 （kπ，0） 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 2．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0 3．图象变换 　►方法技巧◄　 求解函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质问题的三种意识 （1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为．y＝Asin（ωx＋φ）的形式． （2）整体意识：类比y＝Asinx的性质，只需将y＝Asin（ωx＋φ）中的“ωx＋φ”看“y＝Asinx”中的“x”，采用整体代入求解． ①令 ωx＋φ=kπ（），可求得对称轴方程． ②令ωx＋φ=kπ（），可求得对称中心的横坐标． ③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，注意ω的符号． （3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0． 　►真题类编 一、选择题（共8小题） 1．（2024•全国）函数y＝sinxcosx的最大值是（　　） A．1 B． C．2 D．﹣2 2．（2024•全国）已知和都是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（　　） A．4 B．2 C．1 D． 3．（2023•甲卷）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024•天津）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在区间上的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 5．（2025•上海）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（　　） A．0 B．338 C．674 D．1012 6．（2025•天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴，（，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（　　） A． B． C．1 D．0 7．（2024•新高考Ⅰ）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x）的交点个数为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（2025•新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（共1小题） （多选）9．（2024•新高考Ⅱ）对于函数f（x）＝sin2x和，下列正确的有（　　） A．f（x）与g（x）有相同零点 B．f（x）与g（x）有相同最大值 C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴 三、填空题（共2小题） 10．（2024•甲卷）函数f（x）＝sinx在[0，π]上的最大值是 　 　 11．（2025•上海）函数y＝cosx在[，]上的值域为　 　 ． 四、解答题（共1小题） 12．（2025•新高考Ⅱ）已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）． （1）求φ的值； （2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间． 　►考点精讲 ►考点01 三角函数的图象与性质 解法指导 1．对称性与周期性 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 （1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式． （2）周期的计算方法：利用y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为，y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为求解． （3）解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心． 【例1】　（2025•新蔡县校级模拟）下列区间中，函数单调递减的区间是（　　） A． B． C． D．（0，π） 【例2】　（2025•陇西县校级模拟）若函数在区间（0，π）上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，3] 【例3】　（2025•上海校级模拟）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A．（0，1] B．（0，1） C． D． 【例4】　（2025•南昌校级模拟）若是偶函数，则cosφ+m＝（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或2 【例5】　（2025•通辽三模）已知函数是偶函数，则|φ|的最小值是（　　） A． B． C． D． ►考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换 解法指导 1．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0 2．f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0） （1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）． （2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）． 3．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图象平移的规律：左加右减，上加下减． 【例6】　（2025•慈溪市校级模拟）将函数f（x）＝2cos4x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则（　　） A．g（x）＝2sin4x B．g（x）＝﹣2sin4x C． D． 【例7】　（2025•南宁模拟）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若曲线y＝g（x）关于直线对称，则g（x）的最小正周期的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例8】　（2025•广东校级模拟）若函数y＝sinx+λcosx（λ∈R）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝λsinx+cosx的图象，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 【例9】　（2025•市中区校级二模）函数y＝f（x）的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例10】　（2025•广元模拟）将函数f（x）＝sinx图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g（x）＝sin（）（|φ|））的图象，若点被变换成了点A′（x0，y0），且sinx0，则φ的所有可能值之和为（　　） A． B． C． D． ►考点03 由图象求三角函数解析式 解法指导 由图象求三角函数解析式 （1）若最大值为M，最小值为m，则A，k． （2）ω由周期T确定，即由T求出． （3）φ由特殊点确定． 【例11】　（2025•罗湖区校级模拟）设函数在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【例12】　（2025•福建校级模拟）已知函数部分图象如图所示，其中x0≤π，则ω的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【例13】　（2025•碑林区校级模拟）如图，将绘有函数f（x）＝Msin（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为．则φ＝（　　） A． B． C． D． 【例14】　（2025•玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|，x∈R]的部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（　　） A．2cos B．2cos（x） C．2cos（2x） D．2cos（） 【例15】　（2025•临沧模拟）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①f（x）在区间上单调递减 ②f（x）的图象可由y＝2sin2x的图象向左平移个单位得到 ③f（x）的对称轴为 ④f（x）在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 学科网（北京）股份有限公司 $