广东省广州市越秀区2024-2025学年高二上学期学业水平调研测试（期末）数学试题

广州新东方优能中学教育 2024学年第一学期学业水平调研测试 高二年级数学试卷 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，则直线的倾斜角大小是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得直线的斜率 设直线的倾斜角为 可得 2．已知等差数列的前项和为，，则公差 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得 3．已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知圆 圆的半径，圆心为 圆心到直线的距离 直线被圆截得的弦长为 4．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得， 设向量与夹角为，根据向量点积公式 则在方向上的投影向量的模长为 根据勾股定理，点到直线的距离 则 5．若分别是圆与圆上的点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆 则圆，半径 圆 即 则圆心，半径 故的最小值为 6．已知是椭圆的两个焦点，是上的点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆长轴长为，焦距为 由题意知，在直角三角形中， 则 根据椭圆定义，解得 ，由勾股定理得 即，解得 因此椭圆的离心率 7．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：，则甲是乙的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若是等差数列，则 反之，若，则由 得① 由 得② 由①②得 是等差数列 8．双曲线具有如下的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点，且，，则的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接， 由，知 在中， 由 知 不妨设，则， 由双曲线的定义知 ， 解得 ，，， 由余弦定理知 整理得 ，即 的渐近线方程为 1. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前项，设数列的前项和为，则 A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A：由题意在（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数一次为 即数列的前项都是的指数幂，指数为序号减 这个数列的首项为，公比为的等比数列 ，即 ，A正确 对于B：，B错误 对于C：，C正确 对于D：，D正确 故选：ABD 10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则 A．的准线方程为 B．直线与相切 C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A：点在抛物线上 ，解得 抛物线方程为，准线方程为，A错误 对于B：直线的斜率为，方程为 代入，得 则 直线与相切，B正确 对于C：设直线的方程为 联立，得 则，C正确 对于D：由，得 线段的中点坐标为 由，得，即或 线段的垂直平分线方程为 令，得，即 又 由或，得 ，D正确 故选：BCD 11．如图，两个正方形的边长都是，且它们所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有 A．线段的长度的最小值为 B．当时，直线与直线相交 C．直线与平面所成的角恒为 D．始终存在经过且与平面平行的平面 【答案】AD 【解析】对于D：过点作于 连接，则 又， 平面，平面 平面平面，D正确 对于D：，平面 平面 又平面 由选项D可知 当时，取得最小值，A正确 对于B：当时，点不在直线上，即平面 而平面 直线与直线异面，B错误 对于C：由平面 知即为直线与平面所成的角 在中，， 与有关，不是定值，C错误 故选：AD 1. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和公式为，则__________． 【答案】 【解析】当时， 当时， 也符合上式 13．写出一个同时满足下列性质①②的双曲线方程：__________． ①与椭圆有公共焦点；②离心率大于． 【答案】 【解析】由①椭圆的半焦距满足 可得，焦点坐标为 由②可知所求双曲线的离心率 可得，即 取，得， 因此，所求双曲线的标准方程为 14．在正方体中，分别为的中点，是平面内的动点，直线与直线的夹角等于，则点的轨迹是__________（只需指出曲线的类型）． 【答案】抛物线 【解析】如图，取中点 则易得，且 四边形为平行四边形 平面即为平面 且平面，平面 平面 又直线与直线的夹角等于 在以为顶点的圆锥，且底面是以为直径的圆 又是平面内的动点 为过且平行圆锥母线的截面上 点的轨迹是抛物线 1. 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的切线，求切线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）设，又， 两边平方化简可得曲线的方程为 （2）由（1）可知曲线为圆 其圆心，半径 当切线的斜率不存在时，的方程为 此时到的距离 切线的斜率存在，设切线的方程为，即 圆心到切线的距离 解得或 所求切线的方程为或 16．（15分）在长方体中，点分别在上，且平面． （1）证明：； （2）若，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）平面，平面 由正方体的性质知，平面 平面 又，平面 平面 平面 （2）三棱锥的体积为 解得 以为坐标原点，所在直线分别为轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则 ， 设，则， 由（1）知 ，解得，即 同理可得 ， 设平面的法向量为 则 取，则， 设平面的法向量为 则 取，则 设平面与平面的夹角为 则 故平面与平面的夹角的余弦值为 17．（15分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球． （1）求，以及数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），，；（2） 【解析】（1）由题意可得，， ， 由题意可得，，，， 以上个式子相加可得 （2） 18．（17分）在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，． （1）设平面与棱相交于点， （i）求证：； （ii）求截面的面积； （2）设平面与棱相交于点，求的长． 【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）；（2） 【解析】（1）（i）证明：底面是正方形 平面，平面 平面 平面，平面平面 （ii）如图 底面 ， 平面 平面 ，， ，且 四边形为直角梯形，其中， ， 则 直角梯形的面积为 即截面的面积为 （2）如图 延长交于点，连接 则与交点即为点 为线段中点 又 以为原点建立空间直角坐标系如图 则，，， 设点，则， ，解得 ， 19．（17分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，且外接圆的半径为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，且． （i）试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）求的面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）（i）恒过定点，（ii） 【解析】（1）长轴长是短轴长的倍 ，即 又 在中，可得 由正弦定理可得，解得 椭圆的方程为 （2）（i）由条件可知，直线的斜率不为 设直线的方程为， 联立，得 由，得 ， ，，在椭圆上 同理 即 又直线的斜率存在 ，于是 ，即 又， 又位于轴的两侧 解得 此时直线与椭圆有两个不同的交点 直线恒过定点 （ii）当时，， 的面积 令 直线的斜率存在，则， 又函数在上单调递减 又当时， 面积的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$广州新东方优能中学教育 2024学年第一学期学业水平调研测试 高二年级数学试卷 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，则直线的倾斜角大小是 A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，，则公差 A． B． C． D． 3．已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是 A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 5．若分别是圆与圆上的点，则的最小值为 A． B． C． D． 6．已知是椭圆的两个焦点，是上的点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D． 7．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：，则甲是乙的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．双曲线具有如下的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点，且，，则的渐近线方程为 A． B． C． D． 1. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前项，设数列的前项和为，则 A． B． C． D． 10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则 A．的准线方程为 B．直线与相切 C． D． 11．如图，两个正方形的边长都是，且它们所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有 A．线段的长度的最小值为 B．当时，直线与直线相交 C．直线与平面所成的角恒为 D．始终存在经过且与平面平行的平面 1. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和公式为，则__________． 13．写出一个同时满足下列性质①②的双曲线方程：__________． ①与椭圆有公共焦点；②离心率大于． 14．在正方体中，分别为的中点，是平面内的动点，直线与直线的夹角等于，则点的轨迹是__________（只需指出曲线的类型）． 1. 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的切线，求切线的方程． 16．（15分）在长方体中，点分别在上，且平面． （1）证明：； （2）若，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球． （1）求，以及数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18．（17分）在四棱锥中，底面是正方形，底面，，，． （1）设平面与棱相交于点， （i）求证：； （ii）求截面的面积； （2）设平面与棱相交于点，求的长． 19．（17分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，且外接圆的半径为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线的斜率分别为，且． （i）试问直线是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）求的面积的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$