8.1相交线（9大题型提分练）（题型专练）数学新教材青岛版七年级下册

8.1相交线 题型一 平面上两条直线的位置关系 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 2．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行 B．平行或相交 C．垂直或相交 D．平行或垂直 3．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 4．如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 题型二 邻补角的概念 1．下列图形中，和是邻补角的为（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 5．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 6．如图，直线与相交于点，过点作． (1)的余角有___________个； (2)直接写出的邻补角． 题型三 邻补角有关的角度计算 1．如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点，平分，若，求的度数． 3．如图，直线、相交于点O，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点，，在同一条直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线相交于点，平分．若，求的度数． 题型四 对顶角的概念 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    4．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 题型五 对顶角有关的角度计算 1．如图，三条直线，，相交于一点，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为 ． 3．如图所示，已知，，计算的大小． 题型六 垂直的有关概念 1．如图，直线相交于点，过点作，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点为直线上一点，，，若，则的度数 ． 3．如图，直线相交于点比大，则 °．    4．如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作． (1)若，求的度数； (2)若，那么平分吗？为什么？ 5．如图，直线相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，，求的度数． 6．如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 题型七 做垂直线 1．过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B．C． D． 2．如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 3．操作题： (1)如图1，要把水渠中的水引到点，在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． (2)只用直尺画出图2的方格纸上已知直线的垂线 4．如图，分别过点作直线的垂线． 5．按要求画图： (1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使； (2)如图2，P是的边上的一点． ①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H 题型八 垂线段最短 1．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 2．如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短 3．如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 4．如下图，王璐和朱贤两位同学相约同时从各自的家中骑自行车去体育馆．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达体育馆？为什么？ 题型九 直线外一点到直线的距离 1．下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，四点在直线上，点在直线外，，则点到直线的距离是线段（    ）的长度． A． B． C． D． 3．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，则点到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段 的长可以表示点到直线的距离． 5．如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 1．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 2．直观想象，逻辑推理：已知点为直线上一点． (1)如图，过点作射线，使，求与的度数； (2)如图，射线为内部任意一条射线，射线、分别是、的角平分线，求的度数，并写出简要的推理过程． 3．如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 4．“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且． (1)如图2，当时，求的度数． (2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？ 5．已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 6．如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 7．如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 8．如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1相交线 题型一 平面上两条直线的位置关系 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系． 根据“同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交”即可． 【详解】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交或平行，垂直只是相交的一种特殊情况而已． 故选：B． 2．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（   ） A．平行 B．平行或相交 C．垂直或相交 D．平行或垂直 【答案】B 【分析】本题考查了在同一平面内，不重合的两条直线的两种位置关系．根据同一平面内，不重合的两条直线的位置关系可知． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线有2种位置关系，它们是相交或平行． 故选B． 3．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 4．如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 【答案】 ② ③ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由两条射线组成，且射线无限延伸后没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条射线组成，当直线线延时，与射线有交点，故可以相交； 对于③，由两条直线组成，且在同一平面内没有交点，故一定平行， 故答案为：②；③． 题型二 邻补角的概念 1．下列图形中，和是邻补角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了了邻补角的定义，根据邻补角的定义进行判断即可，掌握邻补角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、和是邻补角，故选项符合题意； B、和不是邻补角，故选项不符合题意； C、和不是邻补角，故选项不符合题意； D、和不是邻补角，故选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】此题考查了邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义求解判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； B、和不是邻补角，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，故此选项符合题意； D、和不是邻补角，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的定义，掌握邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角”是解题关键．根据邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】A．不是邻补角，不符合题意； B．不是邻补角，不符合题意； C．不是邻补角，不符合题意； D．是邻补角，符合题意． 故选D 4．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【答案】4 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 5．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 6．如图，直线与相交于点，过点作． (1)的余角有___________个； (2)直接写出的邻补角． 【答案】(1)2 (2)， 【分析】本题考查的邻补角的含义，余角的定义，垂线的定义． （1）直接利用余角的含义结合对顶角的定义作答即可； （2）根据邻补角的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴的余角有共2个； （2）解：∵，， ∴的邻补角是，． 题型三 邻补角有关的角度计算 1．如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角、角平分线的定义，根据垂直和角平分线的定义可得的度数，再根据邻补角的和为可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，直线，相交于点，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角，由角平分线的定义得，由邻补角的和为，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 3．如图，直线、相交于点O，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，邻补角．根据角平分线的定义求出，再由与互补即可解答． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故选：B． 4．如图，点，，在同一条直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的计算，邻补角互补，熟练掌握角的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据邻补角的定义可得，再根据代入计算即可得出的答案． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，直线相交于点，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，设，则，可得，进而可得，即可由角平分线的定义得，最后根据对顶角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型四 对顶角的概念 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对顶角的定义．对顶角是两条直线相交，其中一个角是另一个角的边的反向延长线，据定义即可判断． 【详解】解：根据对顶角的定义，B，C，D不符合其中一个角是另一个角的边的反向延长线， 选项A是对顶角， 故选：A 2．下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可． 【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角， 故选：C． 3．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    【答案】 和 【分析】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由图形可知，的邻补角是和， 的对顶角是， 故答案为：和，． 4．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角． 故答案为：不是． 题型五 对顶角有关的角度计算 1．如图，三条直线，，相交于一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等、平角的定义，根据对顶角相等可证，根据平角的定义可得，等量代换可得． 【详解】解：如下图所示， (对顶角相等)，， (等量代换)． 故选：B ． 2．如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】此题主要考查了对顶角，平角，关键是掌握对顶角相等，平角．首先设，则，进而得到方程，再解方程可得的值，即可算出，再根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，已知，，计算的大小． 【答案】 【分析】本题考查对顶角和邻补角，根据对顶角和邻补角可得，，再根据得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型六 垂直的有关概念 1．如图，直线相交于点，过点作，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，点为直线上一点，，，若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂直的定义，邻补角的含义，角的和差运算，先证明，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点为直线上一点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 3．如图，直线相交于点比大，则 °．    【答案】15 【分析】本题考查了余角的计算，对顶角的性质．根据题意，列式解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵比大， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：15． 4．如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作． (1)若，求的度数； (2)若，那么平分吗？为什么？ 【答案】(1)的度数为 (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据直角的性质，可得，根据补角的定义得，再由，即可求解； （2）根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：平分，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， 平分． 5．如图，直线相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，邻补角的定义，几何图中的角度计算． （1）根据对顶角的定义，邻补角的定义求解即可． （2）由对顶角的定义得出，再结合已知条件可得出，最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）解：图中的对顶角为，的邻补角为； （2）解：， ， 且， ． 6．如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义，平角的定义，解题的关键是： （1）根据垂线的定义求出，然后结合平角的定义，根据角的和差关系求解即可； （2）根据并结合平角定义可求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴． 题型七 做垂直线 1．过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键． 根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有D选项符合题意， 故选：D ． 2．如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线的性质，根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出答案． 【详解】解：根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”得：在同一平面内过点A画直线m的垂线，只能画一条． 故选：B． 3．操作题： (1)如图1，要把水渠中的水引到点，在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． (2)只用直尺画出图2的方格纸上已知直线的垂线 【答案】(1)见详解，垂线段最短， (2)见详解 【分析】本题考查了垂线段最短，网格作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，过点C作，交于一定D，结合垂线段最短进行作答即可； （2）结合网格的特征，作已知直线的垂线，即可作答． 【详解】（1）解：渠岸的垂线段，如图所示： ∴理由是：线段中，垂线段最短； （2）解：直线如图所示： 4．如图，分别过点作直线的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力，掌握以上知识是解答本题的关键． 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可； 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可； 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可． 【详解】解：如图所示： 5．按要求画图： (1)如图1，点M、N是平面上的两个定点．①连按；②反向延长线段至D，使； (2)如图2，P是的边上的一点． ①过点P画的垂线，交于点C；②过点P画的垂线，垂足为H 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题主要考查了基本作图，作线段和作垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键． （1）根据线段的作法连接即可，再延长，截取即可 （2）根据过直线上一点作垂线的方法，得出即可． 【详解】（1）解：，即为所求： （2）和如图2所求： 题型八 垂线段最短 1．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短，后变长 D．先变长，后变短 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差，垂线段最短，根据线段的和差和垂线段最短即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 如图，， 由图可知，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点B到点D 的摆动过程中，点A到直线的距离越来越小，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越大；小球从D到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点D到点C的摆动过程中，点A到直线的距离越来越大，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越小； 综上所述，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是先变长，后变短， 故选：D． 3．如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短性质是解答本题的关键． 根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处， 故选：C． 4．如下图，王璐和朱贤两位同学相约同时从各自的家中骑自行车去体育馆．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达体育馆？为什么？ 【答案】朱贤先到达体育馆．因为从朱贤家到体育馆的路程是垂线段，路程最短． 【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确把握定义是解题关键． 根据垂线段最短求解即可． 【详解】∵体育馆到朱贤家是垂线段， ∴体育馆到朱贤家的距离小于体育馆到王璐家的距离， ∴朱贤先到达体育馆． 理由是：因为从朱贤家到体育馆的路程是垂线段，路程最短． 题型九 直线外一点到直线的距离 1．下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离求解． 【详解】解：选项A，B，C中，与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意； 选项D中，于，则线段的长表示点到直线距离，符合题意． 故选：D． 2．如图，，，，四点在直线上，点在直线外，，则点到直线的距离是线段（    ）的长度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度， 故选：． 3．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，则点到直线的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 4．如图，在直角三角形中，，过点作于点，则线段 的长可以表示点到直线的距离． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．根据点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：结合图形， ∵， ∴点B到的距离是线段的长度， 故答案为：． 5．如图，，，且，，，则点C到直线的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键．根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵，即， 又， ∴点C到直线的距离是5， 故答案为：5． 1．已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算．熟练掌握垂线定义，角平分线定义，佘角补角定义，分类讨论，是解本题的关键． 当点F和点C在同侧时，根据垂直定义得，结合，得，根据角平分线定义，得；当点F和点C在异侧时， 可得，得，得． 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 2．直观想象，逻辑推理：已知点为直线上一点． (1)如图，过点作射线，使，求与的度数； (2)如图，射线为内部任意一条射线，射线、分别是、的角平分线，求的度数，并写出简要的推理过程． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题主要考查了余角和补角，角平分线的定义，熟练掌握余角和补角，角平分线的定义进行计算是解决本题的关键． （1）设，，根据平角的性质可得，即可得出，求出的值即可得出答案； （2）根据角平分线的定义可得，，由平角的定义可得，根据，等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ，； （2）解：、分别是、的角平分线， ，， ，， ； 3．如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 【答案】12或30 【分析】本题考查了垂线的定义，与三角板有关的角度的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据在右边和左边两种情况，画出示意图，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：当在右边时，如图： ，， ∴此时，重合， ， ∴三角板旋转的角度为， （秒）； 当在左边时，如图： ，， ∴此时，与延长线重合， ∴ 三角板旋转的角度为， （秒）； 的值为：12或30． 故答案为：12或30． 4．“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且． (1)如图2，当时，求的度数． (2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？ 【答案】(1) (2)旋转的最小角度是 【分析】本题考查了余角和补角定义的应用，角的计算，认识图形，正确进行角的计算是解题的关键． （1）根据题意，得到，根据垂直的定义，结合图形，得到的度数； （2）根据题意，设旋转的最小角度是，由与互为补角，求出的值，得到结果． 【详解】（1）解：因为， 又因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：设旋转的最小角度是，则，， 因为与互补， 所以，即， 解得， 所以旋转的最小角度是． 5．已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，掌握角平分线的定义并由平角定义列出关于的方程成为解题的关键． （1）由角平分线定义得到，然后进行计算即可解答； （2）设，由条件得到，求出x的值即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 6．如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了相交线成的角．熟练掌握邻补角，平角，余角，角的和与差倍分关系，是解题的关键． （1）根据，可得，再由，可得，结合，即可求解； （2）根据，可得， （3）由已知可得，得，得，即得． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （2）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 8．如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案 （2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：①， 理由如下： 根据题意可得：， ， ， 平分， ， ， ； ②画出图如图所示：   ， 则，， ， 整理得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$