热点07 尺规作图（10大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

热点07 尺规作图 中考数学中尺规作图部分主要考向分为六类： 一、角与线段（每年1~2道，3~6分） 二、平行与垂直（每年1~2道，3~6分） 三、角平分线（每年1~2题，3~12分） 四、垂直平分线（每年1~2题，3~12分） 五、三角形（每年1~2题，3~12分） 六、圆（每年1~2题，3~12分） 尺规作图是近两年中考的热点题型。主要考查方式有两种，一是尺规作图画图，这种考查方式主要以解答题为主；二是交代作图方式，留出作图痕迹，与其他知识点相结合，进行求角、边或者判断命题是否正确，这种考查方式，尺规作图往往起到交代条件的作用。所以，学生不仅要会作典型的如画等角、角平分线、垂直平分线、圆等，还要理解做法的背后原理。 考向一：角与线段 【题型1 尺规作图画角】 已知∠O，画∠O’=∠O：； 原理：这里 ，即 ，所以所作∠O’=∠O。 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴三角形为等腰直角三角形，， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图所示： ∵是的角平分线，由三线合一可得：，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 设，则， ∵， ∴， ∴，即，，即， ∴，故④错误； ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 【题型2 尺规作图画线段】 已知线段AB，画A’B’=AB:; 1．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 2．（2022·山东青岛·中考真题）已知：，． 求作：点P，使点P在内部，且． 【分析】分别以点B、C为圆心，大于BC长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，然后再以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB、BC于点M、N，以点M、N为圆心，大于MN长一半为半径画弧，交于一点Q，连接BQ，进而问题可求解． 【详解】解：如图，点P即为所求： 3．（2022·山东德州·中考真题）在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D． 【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意； B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意； C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意； D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意． 故选：D． 考向二：平行与垂直 【题型3 尺规作图画平行】 已知直线AB以及直线外一点C，过C点作l与AB平行： ， 原理：过C点作同位角与∠CDB相等，从而利用同位角两直线平行即可作出平行线。 1．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求． 【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求． 2．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【题型4 尺规作图画垂直】 过一点作某直线的垂线： ，； 原理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，从而通过作垂直平分线作出垂直； 1．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点． 【详解】解：如图，点P为所作．    2．（2022·山东威海·中考真题）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是(   ) A． B． C． D． 【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可． 【详解】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ， AP=BP，AQ=BQ， 点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上， 直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ， 本选项不符合题意； B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ， AP= AQ，BP =BQ， 点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上， 直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ， 本选项不符合题意； C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意； D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ， AP= AQ，BP =BQ， 点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上， 直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ， 本选项不符合题意； 故选：C． 考向三：角平分线 【题型5 尺规作图画角平分线】 作已知角的平分线： 原理：作出 ,即可知，从而可知∠BAD=∠CAD，即说明AD平分已知角。 1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 2．（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 3．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（    ） A．射线一定过点O B．点O是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点O不是三条边的垂直平分线的交点 【分析】根据三角形内切圆的性质逐个判断可得出答案． 【详解】A、以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线，由此可得BP是角平分线，所以射线一定过点O，说法正确，选项符合题意； B、边DE、EF、DF分别是圆的弦长，所以点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点，选项不符合题意； C、当是等边三角形时，可以证得D、F、E分别是边的中点，根据中位线概念可得，选项符合题意； D、边DE、EF、DF分别是圆的弦长，所以点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点，选项不符合题意； 故选：AC． 4．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 考向四：垂直平分线 【题型6 尺规作图画垂直平分线】 作已知线段的垂直平分线： 原理：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由于CA=CB，所以C点在AB的垂直平分线上，由于DA=DB，所以D点在AB的垂直平分线上，所以DC是线段AB的垂直平分线。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2022·山东济南·中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（    ） A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB 【分析】根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明，可得再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论． 【详解】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线， 故此选项不符合题意． B，如图， 由矩形的性质可以证明， ∵是的垂直平分线， 故此选项不符合题意． C， 在中 故此选项不符合题意． D， 故此选项符合题意． 故选：D． 3．（2023·山东·中考真题）如图，是矩形的对角线． (1)作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)设的垂直平分线交于点，交于点，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M、N，连接，则问题可求解； （2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证； ②设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：所作线段的垂直平分线如图所示： （2）解：①四边形是菱形，理由如下：如图， 由作图可知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是矩形，， ∴， 由①可设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴四边形的周长为． 4．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接AD， 由作图知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AD=CD=3， ∴∠DAC=∠C， ∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=120°-∠DAC=90°， ∴BD=2AD=6， 故选：C． 【题型7 角平分线与垂直平分线的综合】 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 2．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确． 【详解】∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，②正确； 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，③错误； 当时，， ∵， ∴, ∴，④正确 ∴正确的有①②④，共3个． 故选：C． 3．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    （2）在，，，，在、上各有一个动点，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定的位置，并直接写出的最小值． 【分析】（1）第一种方法：作的平分线，交于，以为圆心，的长度为半径画弧交于点，连接，即可求解； 第二种方法：作的垂直平分线交于，连接，即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作的垂线交于点，交于点，则的最小值即为线段的长度，根据题意求出的长度即可解答． 【详解】（1）第一种方法：    第二种方法：      （2）的位置如图所示：作点关于的对称点，过点作的垂线交于点，交于点，连接，    ∴，， ∴，此时的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 考向五：三角形 【题型8 尺规作图画三角形】 1 画等腰三角形：若已知腰即是画线段等于已知线段，已知底即是画底的垂直平分线； 2 画直角三角形：即是作垂直； 3 画等边三角形：分别以线段两个端点为圆心，线段的长为半径画弧，即可得到三角形的第三个顶点； 4 画全等三角形：即转化为画角、线段等于已知角、线段，但是需要注意作图顺序。 1．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则 ． 【分析】证明是等边三角形可得，再求出，利用等腰三角形的性质可求出，进而可求出． 【详解】解：连接， 由作图方法可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 2．（2022·山东青岛·模拟预测）已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹） 【分析】此题考查了三角形的作图和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．画线段；分别以E、F为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点D；连结线段．根据，则． 【详解】解：画线段； 分别以E、F为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点D； 连结线段． ∴就是所求作的三角形． 3．（2022·山东青岛·一模）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°； 求作：一个面积最大的等腰直角△CDE，使等腰直角三角形的斜边CE在边BC上． 【分析】当B点与E点重合时，等腰直角△CDE面积最大．由此即可作线段BC的垂直平分线与BC交于点O，再以O为圆心，OC长为半径作弧，与线段BC的垂直平分线的交点即为点D（或），最后连接CD（或）、BD（或）即可． 【详解】如图，（或）即为所作． 4．（2023·山东滨州·中考真题）（1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）    【分析】（1）作射线，在上截取，过点作的垂线，在上截取，连接，则，即为所求； （2）先根据题意画出图形，再证明．延长至使，连接、，因为是的中点，所以，因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，根据矩形的性质可得出结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求；    （2）已知：如图，为中斜边上的中线，， 求证：. 证明：延长并截取.    ∵为边中线，∴， ∴四边形为平行四边形. ∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∴ 5．（2022·山东青岛·模拟预测）已知：线段a 和，求作：，使得， ， ． 结论： 【分析】本题考查了作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，以及垂直平分线作图，先画一条线段，用圆规在线段上取，再画，以及线段a垂直平分线，取，连接，所作即为所求． 【详解】解：所作如下图所示： 结论：为所求作三角形． 6．（2024·山东青岛·模拟预测）按要求用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知和线段，求作等腰，要求顶角等于，底边的高等于． 【分析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定定理． 先作，在作的平分线，在上截取，然后过点D作的垂线分别交、于B、C，则为所作． 【详解】解：如图所示，即为所求； 7．（2024·山东临沂·二模）如图，是菱形的对角线． (1)尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）所作的图中，连接，； ①求证：； ②若，求的值． 【分析】（1）根据作两个三角形全等即可； （2）①证明，，即可得证；②延长交于点，由菱形的性质得，，进而证明，得，再利用三线合一得，设，，利用三角函数及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求的图形． 图1 （2）①证明： 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∴． ②如图，延长交于点， 图2 ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解关于的方程得， ∴， ∴ ∴的值是． 考向六：圆 【题型9 尺规作图画圆】 作三角形的外接圆时，作出三角形两边的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到顶点的距离为外接圆的半径； 作三角形的内切圆时，作出三角形两个内角的角平分线，交点为圆心，圆心到边的垂线段即为内切圆的半径。 1．（2024·山东青岛·三模）如图，已知和边上一点．求作：，使满足： ①圆心在内部； ②与的两边相切，且其中一个切点为． 【分析】此题重点考查学生对三角形内切圆的画法的应用，掌握其画法是解题的关键． 先作的角平分线，再过作的垂线，交角平分线于，以为圆心，为半径画圆即可． 【详解】解：以适当长度为半径，以为圆心画弧，与和交于两点、，再以大于长为半径画弧，交于点，过点、作射线，即为的角平分线，再过作的垂线，交角平分线于，以为圆心，为半径画圆即可 如图，即为所求作的圆 ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点． 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作线段垂直平分线的作法、正确理解题意是解题的关键．根据题意画图即可． 【详解】解：①作的垂直平分线． ②过点作直线的垂线交的垂直平分线于点． ③以点为圆心，长为半径作， 即为所求． 【题型10 尺规作图画切线】 若切点在圆上：； 若点在圆外： 1．（2023·山东·一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，，，在上，作经过，两点且与相切． 【分析】先作的垂直平分线得到中点，则以为直径可作，再过点作的垂线交于点，接着在上截取，然后过点作的垂线交的垂直平分线于点，则以点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】如图，⊙O为所作． 2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°． (1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 【分析】（1）连接OA，过点A作AD⊥AO即可； （2）连接OB，OC．过点O作于点H，先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论． 【详解】（1）解：如图，切线AD即为所求； （2）如图：连接OB，OC．过点O作于点H， ∵AD是切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∵∠DAB＝75°， ∴∠OAB＝15°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝15°， ∴∠BOA＝150°， ∴∠BCA＝∠AOB＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OB＝OC＝2， ∴∠BCO＝∠CBO＝30°， ∵OH⊥BC， ∴CH＝BH＝OC•cos30°＝， ∴BC＝2． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东青岛·一模）某展览馆（点P）在过中山公园（点B）与荣成路平行的直线上，且到荣成路与香港西路的距离相等，请你在图中作出点P的位置． 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质是解答本题的关键．以点B为顶点，作，再作的平分线，与交于点P． 【详解】解：如图，以点B为顶点，作，再作的平分线，与交于点P．则点P即为所求． 2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误． 【详解】解：由题意得：，为的平分线， ，， ， 为等边三角形， 为的垂直平分线， ，故A的结论正确； 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， 垂直平分线段， ，故B的结论正确； 中，， ， ， ，故C的结论正确． ，， ， ， ， ， ， 故D的结论错误； 故选：D． 3．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∴ 由作图可得是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 4．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝ ． 【分析】作辅助线，利用垂直平分线的性质得出的值，OB＝OD，由矩形的性质、勾股定理得出，的值，进而得出，的值，根据全等三角形的判定（角边角）得出△MDO≌△BNO，最后利用全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：如图，连接BM． 由作图可知MN垂直平分线段BD， ∴BM＝DM＝5． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，CD∥AB． ∴BC＝＝＝4． ∴BD＝＝＝． ∴OB＝OD＝． ∵∠MOD＝90°， ∴OM＝＝＝． ∵CD∥AB， ∴∠MDO＝∠NBO． 在△MDO和△NBO中， ∴△MDO≌△BNO（ASA）． ∴OM＝ON＝． ∴MN＝． 故答案为：． 5．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 6．（2023·山东烟台·中考真题）【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．    【问题提出】 在矩形中，，求线段的长． 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． 【分析】方案一：连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可； 方案二：将绕点旋转至处，证明，推出，设，同方案一即可求解． 【详解】解：方案一：连接，如图2．    ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， 由翻折的不变性，知，，， ∴，，又， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．    ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， 由旋转的不变性，知，，， 则， ∴共线， 由翻折的不变性，知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为． 7．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 8．（2023·山东青岛·一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段． 求作：，斜边． 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，作线段，作垂直，解题的关键是熟练掌握相关作图方法． 【详解】解：如图所示，即为所求三角形． 9．（2024·山东青岛·模拟预测）已知：如图，线段a，， 求作：，使，且边上的高． 【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角，角平分线以及垂线的方法，先作 ，然后作的角平分线，截取，过点作的垂线，交角的两边于点，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求作三角形，其中． 10．（2024·山东青岛·三模）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知，求作，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上． 【分析】本题考查了作图复杂作图．也考查了角平分线的性质．分别作的垂直平分线和的平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图，为所作． ． 48 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点07 尺规作图 中考数学中尺规作图部分主要考向分为六类： 一、角与线段（每年1~2道，3~6分） 二、平行与垂直（每年1~2道，3~6分） 三、角平分线（每年1~2题，3~12分） 四、垂直平分线（每年1~2题，3~12分） 五、三角形（每年1~2题，3~12分） 六、圆（每年1~2题，3~12分） 尺规作图是近两年中考的热点题型。主要考查方式有两种，一是尺规作图画图，这种考查方式主要以解答题为主；二是交代作图方式，留出作图痕迹，与其他知识点相结合，进行求角、边或者判断命题是否正确，这种考查方式，尺规作图往往起到交代条件的作用。所以，学生不仅要会作典型的如画等角、角平分线、垂直平分线、圆等，还要理解做法的背后原理。 考向一：角与线段 【题型1 尺规作图画角】 已知∠O，画∠O’=∠O：； 原理：这里 ，即 ，所以所作∠O’=∠O。 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 【题型2 尺规作图画线段】 已知线段AB，画A’B’=AB:; 1．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 2．（2022·山东青岛·中考真题）已知：，． 求作：点P，使点P在内部，且． 3．（2022·山东德州·中考真题）在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（　　） A． B． C． D． 考向二：平行与垂直 【题型3 尺规作图画平行】 已知直线AB以及直线外一点C，过C点作l与AB平行： ， 原理：过C点作同位角与∠CDB相等，从而利用同位角两直线平行即可作出平行线。 1．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 2．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 尺规作图画垂直】 过一点作某直线的垂线： ，； 原理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，从而通过作垂直平分线作出垂直； 1．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    2．（2022·山东威海·中考真题）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是(   ) A． B． C． D． 考向三：角平分线 【题型5 尺规作图画角平分线】 作已知角的平分线： 原理：作出 ,即可知，从而可知∠BAD=∠CAD，即说明AD平分已知角。 1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 3．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（    ） A．射线一定过点O B．点O是三条中线的交点 C．若是等边三角形，则 D．点O不是三条边的垂直平分线的交点 4．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 考向四：垂直平分线 【题型6 尺规作图画垂直平分线】 作已知线段的垂直平分线： 原理：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由于CA=CB，所以C点在AB的垂直平分线上，由于DA=DB，所以D点在AB的垂直平分线上，所以DC是线段AB的垂直平分线。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·山东济南·中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（    ） A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB 3．（2023·山东·中考真题）如图，是矩形的对角线． (1)作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)设的垂直平分线交于点，交于点，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 4．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型7 角平分线与垂直平分线的综合】 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    （2）在，，，，在、上各有一个动点，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定的位置，并直接写出的最小值． 考向五：三角形 【题型8 尺规作图画三角形】 1 画等腰三角形：若已知腰即是画线段等于已知线段，已知底即是画底的垂直平分线； 2 画直角三角形：即是作垂直； 3 画等边三角形：分别以线段两个端点为圆心，线段的长为半径画弧，即可得到三角形的第三个顶点； 4 画全等三角形：即转化为画角、线段等于已知角、线段，但是需要注意作图顺序。 1．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则 ． 2．（2022·山东青岛·模拟预测）已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹） 3．（2022·山东青岛·一模）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°； 求作：一个面积最大的等腰直角△CDE，使等腰直角三角形的斜边CE在边BC上． 4．（2023·山东滨州·中考真题）（1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）    5．（2022·山东青岛·模拟预测）已知：线段a 和，求作：，使得， ， ． 结论： 6．（2024·山东青岛·模拟预测）按要求用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知和线段，求作等腰，要求顶角等于，底边的高等于． 7．（2024·山东临沂·二模）如图，是菱形的对角线． (1)尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）所作的图中，连接，； ①求证：； ②若，求的值． 考向六：圆 【题型9 尺规作图画圆】 作三角形的外接圆时，作出三角形两边的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到顶点的距离为外接圆的半径； 作三角形的内切圆时，作出三角形两个内角的角平分线，交点为圆心，圆心到边的垂线段即为内切圆的半径。 1．（2024·山东青岛·三模）如图，已知和边上一点．求作：，使满足： ①圆心在内部； ②与的两边相切，且其中一个切点为． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点． 【题型10 尺规作图画切线】 若切点在圆上：； 若点在圆外： 1．（2023·山东·一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，，，在上，作经过，两点且与相切． 2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°． (1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东青岛·一模）某展览馆（点P）在过中山公园（点B）与荣成路平行的直线上，且到荣成路与香港西路的距离相等，请你在图中作出点P的位置． 2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 4．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝ ． 5．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·山东烟台·中考真题）【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．    【问题提出】 在矩形中，，求线段的长． 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． 7．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 8．（2023·山东青岛·一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段． 求作：，斜边． 9．（2024·山东青岛·模拟预测）已知：如图，线段a，， 求作：，使，且边上的高． 10．（2024·山东青岛·三模）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知，求作，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$