专题03 三角函数（十二大题型+优选提升题）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题03 三角函数 题型概览 题型01概念辨析、填空 题型02 概念应用及求参 题型03 定区间求值域 题型04 平移问题 题型05 图像题 题型06 最值问题、三角函数有界性的应用 题型07 三角函数与方程、不等式，零点问题 题型08 求参问题综合 题型09 双变量问题 题型10 三角函数的图像与性质综合辨析 题型11 个数、集合等问题 题型12 解答题（含实际应用） ( 题型01 ) 概念辨析、填空 1．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】根据周期公式直接求解即可 【解析】的最小正周期为， 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】根据，直接计算可得结果. 【解析】由正切函数的周期公式得：. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【解析】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 4．（23-24高一下·上海·期中），的单调减区间是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出函数的单调减区间. 【解析】，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求单调减区间是. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期中）函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】由余弦函数的单调递增区间出发，用整体代换后，反解可得结果. 【解析】由于余弦函数的单调递增区间为：， 只需， 解得：， 所以函数的严格增区间是：， 故答案是：. 6．（22-23高一下·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用整体代入法求得的定义域. 【解析】令，，可得，， 故函数的定义域为． 故答案为： 7．（22-23高一下·上海闵行·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用正弦二倍角公式结合三角函数性质直接求解即可 【解析】，因为 所以函数的值域为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【解析】函数的初始相位为. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义、三角函数的单调性逐项判断可得答案. 【解析】对于A，，因为时， ，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，因为时， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递增，故C正确； 对于D，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递减，故D错误. 故选：C. 10．（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【解析】因为， 所以的最小正周期，且为奇函数. 故选：C ( 题型02 ) 概念应用及求参 11．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知函数是偶函数，则的取值是 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质求得的值. 【解析】令，则，所以的值为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若函数满足，则 . 【答案】 【分析】求出函数周期，利用公式即可得到的值. 【解析】因为函数满足， 故的周期为，故，其中为正整数，故， 而，故. 故答案为： 13．（21-22高一下·上海奉贤·期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质即得. 【解析】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期， 因为函数的最小正周期为， 所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 14．（21-22高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 . 【答案】， 【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域. 【解析】由题意得：，即， 所以. 故答案为：， 15．（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知，且，则 . 【答案】-5 【分析】从得到，从而利用函数奇偶性求出. 【解析】，故， 所以 故答案为：-5 ( 题型03 )定区间求值域 16．（21-22高一下·上海宝山·期中）函数的值域为 . 【答案】． 【分析】由余弦函数的单调性求解． 【解析】由余弦函数性质知： 在上递增，在上递减， ，，， 所以值域为． 故答案为：． 17．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【解析】由于，所以， 故， 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在上的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的值域即可得到结果. 【解析】 . 故答案为： ( 题型04 )平移问题 19．（23-24高一下·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【分析】先将变形为，再结合平移变换的左加右减原则即可得解. 【解析】因为， 所以只要把函数的图象向左移个单位即可得到的图象. 故选：C. 20．（21-22高一下·上海杨浦·期中）将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为 . 【答案】 【分析】直接利用三角函数图象的变换知识求解. 【解析】解：将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为. 故答案为： 21．（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值. 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得， 故答案为： ( 题型05 ) 图像题 22．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    【答案】 【分析】由求出，根据图象过求出，可得函数的解析式，从而得到的值． 【解析】根据函数，的部分图象，，两点之间的距离为5， 可得，求得． 根据图象过，可得，求得， ， ，可得， 故， 故答案为：． 23．（23-24高一下·上海·期中）函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 ．    【答案】 【分析】由函数图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式. 【解析】由函数的部分图象可知：， 因为的个最小正周期为，所以，则， 根据五点法作图，令，解得，适合， 所以 故答案为： 24．（22-23高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】/ 【分析】根据图象求得，进而可得，再代入最大值点即可求得的值，进而可求得. 【解析】由已知可得，，所以，所以， 所以. 又因为在处取得最大值， 所以有， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. ( 题型06 ) 最值问题、三角函数有界性的应用 25．（23-24高一下·上海·期中）函数最大值为 ． 【答案】3 【分析】根据即可求解. 【解析】因为， 所以当时，函数有最大值为. 故答案为：3. 26．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值. 【解析】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 27．（23-24高一下·上海·期中）设为常数，若函数的最大值为5，则 . 【答案】 【分析】首先把函数的关系式变换成正弦型函数，进—步利用函数的最值求出的值. 【解析】因为，其中， 所以，解得. 故答案为：. 28．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过讨论的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围. 【解析】由题意， ，而， 则， 当时，解得或； 当时，解得， 综上：. 故答案为：. ( 题型07 ) 三角函数与方程、不等式，零点问题 29．（23-24高一下·上海·期中）满足的所有的集合为 . 【答案】 【分析】根据题意结合正切函数的性质解方程可得，进而可得结果. 【解析】因为，可得， 所以所有的集合为. 故答案为：. 30．（23-24高一下·上海·期中）方程，，则 用反三角函数表示 【答案】 【分析】根据反正弦函数的定义，可知表示正弦等的锐角，由此结合正弦的诱导公式即可求解． 【解析】解：若锐角满足，则， 因此当时，满足的． 故答案为：． 31．（23-24高一下·上海·期中）函数的零点是 . 【答案】/ 【分析】直接解方程即可. 【解析】令， 得， 即函数的零点是. 故答案为：. 32．（22-23高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】画出的图象，由图象即可求解. 【解析】    画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故答案为： 33．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 【答案】5 【分析】将零点问题转化为函数交点问题，作出函数图像，求出交点个数即可. 【解析】方程的实数解的个数， 即为函数与图象交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数共有5个交点， 所以方程的实数解的个数为5. 故答案为：5. ( 题型08 ) 求参问题综合 34．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解出函数的单调区间，再列不等式组解出实数的取值范围即可. 【解析】由函数图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 若在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 故答案为：. 35．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【解析】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 36．（23-24高一下·上海·期中）已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化简函数结合其值域可求答案. 【解析】， 因为，所以，， ， 所以，即. 故答案为： 37．（22-23高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】恒等变换化简解析式，求出方程的根，由条件得出区间内不存在整数，再根据可得是或的子集，从而得出的取值范围. 【解析】 ， 令，有，解得， 令，解得， 方程在区间内无解，则区间内不存在整数， 又，得，又， 所以，或， 解得或， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用间接法得到区间内不存在整数，从而得解. ( 题型09 ) 双变量问题 38．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质求解即可. 【解析】周期为，且在区间上为单调增函数， ，故，. 且，故的最小值为. 故答案为： 39．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【解析】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 40．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由的最大值和可知，的最小值即为的最小值周期，然后可得. 【解析】由题知，， 因为，所以， 因为的最大值为1，所以， 所以的最小值即的最小值周期， 所以. 故选：D ( 题型10 ) 三角函数的图像与性质综合辨析 41．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 【答案】C 【分析】先化简解析式，再代入判断是否对称中心，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到新解析式即可判断. 【解析】由题意知， ， 代入得，所以（1）错误； 将函数的图象向左平移个单位长度得到，所以（2）正确. 故选：C. 42．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由正弦型函数的性质判断最小正周期、区间单调性和值域，以及图象平移过程. 【解析】对于，它的最小正周期为，故①错误； 在上，，函数单调递增，故②正确； 当时，的取值范围为，故③错误； 的图象向右平移个单位长度得到，故④错误， 故选：A 43．（23-24高一下·上海黄浦·期中）李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为： 下列判断错误的是（    ） A．当时，辅助角 B．当时，辅助角 C．当时，辅助角 D．当时，辅助角 【答案】D 【分析】根据的正负确定的正负，进而结合确定的范围，再结合反三角函数的定义即可求解. 【解析】， 其中， 当时，，则，所以，故A正确； 当时，，则，所以，故B正确； 当时，，则，所以，故C正确； 当时，，则，所以，故D错误. 故选：D. ( 题型11 ) 个数、集合等问题 44．（22-23高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【解析】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 45．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 【答案】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【解析】由题意， 令，，所以，， 所以，，， 记的两零点为、，因为，设，， 当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k， 在内零点个数为，因为， 所以； 当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为，此时不存在n； 当时，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 因为，所以或； 当时，则，， 在（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以； 当，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，，，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. ( 题型12 ) 解答题（含实际应用） 46．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先用二倍角公式化简，后用周期公式计算即可． （2）由范围，得到范围，再得到范围，最后得到范围即可． 【解析】（1），，则的最小正周期为． （2），则，，． 所以在上的最大值为，最小值为． 47．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换运算求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的零点列式求解即可. 【解析】（1）将函数的图像向右平移个单位，得到， 再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 48．（23-24高一下·上海·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)处于向下的运动状态，理由见解析 【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解； （2）结合（1）可得，，从而根据的取值范围可得的取值范围，即可判断单调性，进而即可得到盛水筒P的运动状态． 【解析】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一周需要1分钟，所以，故， 在中，， 所以，即． （2）盛水筒处于向下运动的状态， 结合（1）可得，， 则当时，，此时单调递减， 所以盛水筒处于向下运动的状态． 49．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将题给不等式进行参变分离，再利用换元法和二次函数性质即可求得实数的取值范围； （2）先求得函数的解析式，再依据题给条件求得的值，进而利用三角函数的性质求得实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得，对任意时， 不等式恒成立， 即不等式恒成立， 由，可得，则， 令，则， 则时，不等式， 即恒成立， 令，则，又在上单调递减， 则，则， 则，解之得 （2）由题意得，， 存在非零常数，对任意，有 即成立， 由， 则，则，解之得， 当时，，则2为的一个周期， 则2为的最小正周期的整数倍，即， 则. 当时，， 即恒成立， 则，即， 综上： 50．（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【答案】(1)80m (2) 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【解析】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）由，故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 一、填空题 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为 . 【答案】 【分析】对于①：根据周期性可得；对于②：根据对称性可得或；对于③：结合正弦函数单调性分析求解. 【解析】对于①：因为，由题意可得：，则； 对于②：可得，解得， 且，可得或，则或； 对于③：因为，则， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 可知不合题意，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 【答案】①② 【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项． 【解析】对于③，因为， 当时， ， 当时，， 所以，函数为周期函数， 作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为，③对； 对于①，由图可知，函数的值域为，①错； 对于②，由图可知，当且仅当或时， 函数取得最大值1，②错； 对于④，由图可知，当且仅当时，，④对． 故答案为：①②． 二、单选题 3．（23-24高一下·上海·期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意可得、均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分，，且及或，求解（3）． 【解析】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 因为为偶函数，所以函数的图像如下图所示： 因为， 所以为偶函数， 由可知，在,内， 当，时，， 当，且，时，， 当或，时，， 则函数的图像如下图所示： 显然不是周期函数，故（1）错误； 的图像不关于直线对称，故（2）错误； 因为当， 时，， 所以； 不存在，使，故无解； 当，且，时，， 所以； 如图所示， 此时有一个解； 当或，时，， 所以； 综上，方程有2个实数根，故（3）正确． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 4．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙命题. 【解析】的零点，即为函数与函数图象在交点的横坐标. 又注意到时，， 时，， ，时，. 据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示. 甲命题，注意到时，， ，. 结合图象可知当，，. 当，，.故甲正确； 乙命题，表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立.故乙命题正确； 故选：A. 【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命题转化为两点与间距离，根据图象分析即可. 三、解答题 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【解析】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数 题型概览 题型01概念辨析、填空 题型02 概念应用及求参 题型03 定区间求值域 题型04 平移问题 题型05 图像题 题型06 最值问题、三角函数有界性的应用 题型07 三角函数与方程、不等式，零点问题 题型08 求参问题综合 题型09 双变量问题 题型10 三角函数的图像与性质综合辨析 题型11 个数、集合等问题 题型12 解答题（含实际应用） ( 题型01 ) 概念辨析、填空 1．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 2．（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为 . 3．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期中），的单调减区间是 . 5．（23-24高一下·上海·期中）函数的严格增区间是 . 6．（22-23高一下·上海·期中）函数的定义域为 ． 7．（22-23高一下·上海闵行·期中）函数的值域是 ． 8．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 9．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ( 题型02 ) 概念应用及求参 11．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知函数是偶函数，则的取值是 12．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若函数满足，则 . 13．（21-22高一下·上海奉贤·期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ． 14．（21-22高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 . 15．（21-22高一下·上海浦东新·期中）已知，且，则 . ( 题型03 )定区间求值域 16．（21-22高一下·上海宝山·期中）函数的值域为 . 17．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 18．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在上的值域为 . ( 题型0 4 )平移问题 19．（23-24高一下·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 20．（21-22高一下·上海杨浦·期中）将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为 . 21．（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . ( 题型0 5 ) 图像题 22．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    23．（23-24高一下·上海·期中）函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 ．    24．（22-23高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 ． ( 题型0 6 ) 最值问题、三角函数有界性的应用 25．（23-24高一下·上海·期中）函数最大值为 ． 26．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 27．（23-24高一下·上海·期中）设为常数，若函数的最大值为5，则 . 28．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . ( 题型0 7 ) 三角函数与方程、不等式，零点问题 29．（23-24高一下·上海·期中）满足的所有的集合为 . 30．（23-24高一下·上海·期中）方程，，则 用反三角函数表示 31．（23-24高一下·上海·期中）函数的零点是 . 32．（22-23高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 33．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. ( 题型0 8 ) 求参问题综合 34．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 . 35．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 36．（23-24高一下·上海·期中）已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 37．（22-23高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． ( 题型 09 ) 双变量问题 38．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为 ． 39．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 40．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） ( 题型 10 ) 三角函数的图像与性质综合辨析 41．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 42．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24高一下·上海黄浦·期中）李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数.辅助角公式的正弦型为： 下列判断错误的是（    ） A．当时，辅助角 B．当时，辅助角 C．当时，辅助角 D．当时，辅助角 ( 题型 11 ) 个数、集合等问题 44．（22-23高一下·上海长宁·期中）设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 45．（23-24高一下·上海·期中）设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . ( 题型 12 ) 解答题（含实际应用） 46．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 47．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 48．（23-24高一下·上海·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 49．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 50．（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 一、填空题 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为 . 2．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 二、单选题 3．（23-24高一下·上海·期中）对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，，则下列3个命题4，真命题的个数为（    ） （1）函数是周期函数；（2）函数的图象关于直线对称；（3）方程有2个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 三、解答题 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$