第03讲 一次函数的图像与性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第03讲 一次函数的图像与性质 【题型1：一次函数的定义】 【题型2： 判断一次函数图像所在象限】 【题型3：一次函数图像的性质】 【题型4：根据一次函数增减性求含参取值范围】 【题型5：根据k、b值判断一次函数图像的】 【题型6：比较一次函数值的大小】 【题型7：一次函数的变换问题】 【题型8：求一次函数解析式】 【题型9：一次函数与一元一次方程】 【题型10：一次函数与二元一次方程组】 【题型11：一次函数与一元一次不等式】 知识点1：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型1：一次函数的定义】 【典例1】下列函数中一次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在下列函数中，是的一次函数的是（   ） A．（、是常数） B． C． D． 【变式1-3】下列函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 知识点2：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【题型2： 判断一次函数图像所在象限】 【典例2】一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式2-1】一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】正比例函数的图象过二、四象限，则一次函数的图象所过象限为（    ） A．一、二、四 B．一、二、三 C．二、三、四 D．一、三、四 【变式2-3】已知直线经过第一、三、四象限，那么直线经过第 象限． 【题型3：一次函数图像的性质】 【典例3】对于函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，则 B．它的图像经过第一、二、三象限 C．它的图像必经过点 D．y的值随x值的增大而增大 【变式3-1】关于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C．点，点在该函数的图象上，若，则 D．图象经过一、二、四象限 【变式3-2】对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而增大 【变式3-3】关于一次函数，下列描述不正确的是（   ） A．图象一定经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴的交点坐标是 D．图象一定平行于 【题型4：根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例4】关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知一次函数，若随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【变式4-2】已知一次函数，要使函数值随自变量增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【题型5：根据k、b值判断一次函数图像的】 【典例5】已知，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【变式5-1】若一次函数经过第二、三、四象限，则一次函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【变式5-2】若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（   ） A．B． C． D． 【变式5-3】一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【题型6：比较一次函数值的大小】 【典例6】已知，点都在函数的图象上则关于 的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若一次函数的图象上有，两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点在直线上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 知识点3：一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型7：一次函数的变换问题】 【典例7】若一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则k的值为（   ） A． B． C．2 D． 【变式7-1】直线向右平移2个单位长度，所得图象恰好过点，则b的值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 【变式7-2】直线沿x轴向右平移3个单位长度经过点，则k的值是 ． 【变式7-3】直线是直线向下平移2个单位后得到的，则直线的函数表达式为 ． 知识点4：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型8：求一次函数解析式】 【典例8】已知一次函数经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【变式8-1】已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在这个函数图象上，求a的值． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，直线过和两点． (1)求直线的函数表达式． (2)将直线向下平移2个单位长度得到直线，求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【变式8-3】已知一次函数图像经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形面积． 知识点5：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点6：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【题型9：一次函数与一元一次方程】 【典例9】一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    【变式9-3】如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【题型10：一次函数与二元一次方程组】 【典例10】已知直线与直线的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为 ． 【变式10-2】如图所示，已知函数（为常数，）和（为常数，）的图象交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【变式10-3】如图，直线与直线交于点A，则关于x，y的方程组的解为 ． 知识点7：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【题型11：一次函数与一元一次不等式】 【典例11】如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 【变式11-3】在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 一、单选题 1．下列哪个点在函数的图象上（   ） A． B． C． D． 2．直线与轴的交点坐标是 A． B． C． D． 3．将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 7．若不为0的两个实数a，b满足，且，则函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 二、填空题 8．要使一次函数的图象经平移后过点，需向上平移 个单位． 9．一次函数的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ． 10．如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 三、解答题 11．如图，函数与的图象交于点． (1)求k的值； (2)求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一次函数的图像与性质 【题型1：一次函数的定义】 【题型2： 判断一次函数图像所在象限】 【题型3：一次函数图像的性质】 【题型4：根据一次函数增减性求含参取值范围】 【题型5：根据k、b值判断一次函数图像的】 【题型6：比较一次函数值的大小】 【题型7：一次函数的变换问题】 【题型8：求一次函数解析式】 【题型9：一次函数与一元一次方程】 【题型10：一次函数与二元一次方程组】 【题型11：一次函数与一元一次不等式】 知识点1：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型1：一次函数的定义】 【典例1】下列函数中一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数叫做一次函数是解题的关键．根据一次函数的定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，不是一次函数，故此选项不符合题意； C、，当时，不是一次函数，故此选项不符合题意； D、，是一次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得：是一次函数， 故选：C 【变式1-2】在下列函数中，是的一次函数的是（   ） A．（、是常数） B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义（识别一次函数），熟练掌握一次函数的定义及一般形式是解题的关键：1、一次函数的一般形式为，其中，为常数，；2、一次函数的一般形式的结构特征：（1），（2）的次数是，（3）常数可以为任意实数；3、注意：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数；③如果一个函数是一次函数，那么含有自变量的式子是一次的，系数不等于，而可以为任意实数；④判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成的形式；⑤一次函数的一般形式可以转化为含、的二元一次方程． 根据一次函数的定义及一般形式逐项分析判断即可． 【详解】解：A. （、是常数），当时，不是的一次函数，故选项不符合题意； B. ，可化为，是的一次函数，故选项符合题意； C. ，不是的一次函数，故选项不符合题意； D. ，不是的一次函数，故选项不符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是一次函数，故该选项不符合题意； B. ，是一次函数，故该选项符合题意； C. ，是二次函数，故该选项不符合题意； D. ，当时，不是一次函数，故该选项不符合题意； 知识点2：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【题型2： 判断一次函数图像所在象限】 【典例2】一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质；根据一次函数的一次项系数小于，则函数一定过二、四象限，常数项，则一定与轴负半轴相交，据此即可判断． 【详解】一次函数的一次项系数为， ， 函数一定过二、四象限， 常数项， 函数与轴负半轴相交， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【变式2-1】一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据一次函数的性质，可以得到一次函数的图象经过哪几个象限． 【详解】解：一次函数，，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选D． 【变式2-2】正比例函数的图象过二、四象限，则一次函数的图象所过象限为（    ） A．一、二、四 B．一、二、三 C．二、三、四 D．一、三、四 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象所经过的象限，根据题意，得到，进而得到，根据一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解；∵正比例函数的图象过二、四象限， ∴， ∴， ∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限； 故选A． 【变式2-3】已知直线经过第一、三、四象限，那么直线经过第 象限． 【答案】一、二、四 【分析】本题考查了一次函数的图象（已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限），熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：对于一次函数（），当时，一次函数图象必过一、三象限；当时，一次函数图象必过二、四象限；当时，一次函数图象与轴交于正半轴；当时，一次函数图象与轴交于负半轴；或者说：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限． 根据、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ，， 直线经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【题型3：一次函数图像的性质】 【典例3】对于函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，则 B．它的图像经过第一、二、三象限 C．它的图像必经过点 D．y的值随x值的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键，根据一次函数的图像与性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，正确，符合题意； B、∵，， ∴它的图像经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、∵当时，， ∴它的图像必经过点，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】关于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到 C．点，点在该函数的图象上，若，则 D．图象经过一、二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象经过点，故A选项结论正确，不符合题意； 的图象向上平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论正确，不符合题意； ，因此随的增大而减小，当时，，故选项C结论错误，符合题意； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论正确，不符合题意； 故选C． 【变式3-2】对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当时， D．y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键，利用一次函数图象的性质进行解答即可． 【详解】解：、当时，代入函数得，，故说法错误，不合题意； ,函数图象经过一、二、四象限，说法错误，不合题意； 、当时，,又因为随增大而减小，时，,说法正确，符合题意； 、随增大而减小，说法错误，不合题意； 故选：． 【变式3-3】关于一次函数，下列描述不正确的是（   ） A．图象一定经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴的交点坐标是 D．图象一定平行于 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与坐标轴的交点逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由于一次函数中的，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A正确，不符合题意； B、由于一次函数中的，所以y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意； C、直线，令可得：，函数图象与x轴的交点坐标为，故C错误，符合题意； D、由于两直线的一次项系数相同，所以图象一定平行于直线，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【题型4：根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例4】关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，一次函数，当时，一次函数随的增大而增大，当时，一次函数随的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵关于的一次函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-1】已知一次函数，若随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据增减性可得，再确定答案即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴可以是， 故选：A 【变式4-2】已知一次函数，要使函数值随自变量增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数中一次项系数k与函数中y与x的增减性的关系．要使函数值y随自变量x的增大而增大可以得到，由此可以求出m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数， 要使函数值y随自变量x的增大而增大， 则， 解得， 则m取值范围是． 故选：B． 【变式4-3】已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据当时，有，可得，即可求解． 【详解】解：当时，有， 随的增大而减小， ， 解得：， 故答案为：． 【题型5：根据k、b值判断一次函数图像的】 【典例5】已知，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，本题的关键是熟练掌握一次函数中决定函数的增减性，决定与轴交点的纵坐标．由，，则可得一次函数的值随值的增大而减小，且与轴交于正半轴，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的值随值的增大而减小，且与轴交于正半轴， 只有选项B符合题意， 故选：B． 【变式5-1】若一次函数经过第二、三、四象限，则一次函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数经过第二、三、四象限，得出，，则，，一次函数经过第一、二、三象限，据此即可作答． 【详解】解：∵一次函数经过第二、三、四象限， ∴，， 则，， ∴一次函数经过第一、二、三象限， 故选：B． 【变式5-2】若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 【变式5-3】一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； 故选：B． 【题型6：比较一次函数值的大小】 【典例6】已知，点都在函数的图象上则关于 的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的值随x的值增大而减小． ∵， ∴． 故选B． 【变式6-1】若一次函数的图象上有，两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握：对于一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．据此解答即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴一次函数随的增大而增大， ∵，两点都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：C． 【变式6-2】已知点在直线上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点在直线上，且， ∴； 故选A． 【变式6-3】点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质、比较函数值的大小，根据一次函数的性质判断此函数的增减性即可判断函数值的大小． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 知识点3：一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型7：一次函数的变换问题】 【典例7】若一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则k的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键，也考查了待定系数法求一次函数的解析式．根据平移的规律得到，然后根据待定系数法即可求得k的值，从而求得一次函数的表达式． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移3个单位长度后得到， ∵平移后的函数图象经过点， ∴， 解得， 故选：A． 【变式7-1】直线向右平移2个单位长度，所得图象恰好过点，则b的值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的知识，将直线向右平移2个单位长度后直线的解析式为：，又该直线经过点，将点代入直线即可求出答案． 【详解】解：将直线向右平移2个单位长度后直线的解析式为：， 将点代入，得， 解得：． 故选：C． 【变式7-2】直线沿x轴向右平移3个单位长度经过点，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数的图像等知识，正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出沿x轴向右平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】解：依题意，设将直线沿x轴向右平移3个单位长度后的解析式为， 将代入， 可得， 解得：， 即的值是． 故答案为：． 【变式7-3】直线是直线向下平移2个单位后得到的，则直线的函数表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“上加下减”求解即可． 【详解】解：∵直线是直线向下平移2个单位后得到的， ∴直线可以由直线向上平移2个单位后得到， 则直线的函数表达式为，即， 故答案为：． 知识点4：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型8：求一次函数解析式】 【典例8】已知一次函数经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式．（1）用待定系数法即可求出一次函数即可； （2）求出一次函数的图象与轴交于，与轴交于，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）在中，令得，令得， 如图： 一次函数的图象与轴交于，与轴交于， ， 一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为3． 【变式8-1】已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在这个函数图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数解析式，求一次函数自变量等知识． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）把点代入一次函数解析式即可求出a的值． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：， ∵一次函数的图象经过和两点， ∴， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：∵点在这个函数图象上， ∴， 解得：． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，直线过和两点． (1)求直线的函数表达式． (2)将直线向下平移2个单位长度得到直线，求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数的几何应用．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，函数的平移，是解题的关键． （1）设直线的表达式为，将和代入，解方程组求出k，b的值，即得： （2）根据平移规律：左加右减，上加下减，可得将直线向下平移2个单位长度后为，得交坐标轴于点，得，即可求出与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线过和两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：直线向下平移2个单位长度得到：， 令，则；令，则， 设直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】已知一次函数图像经过点、． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了一次函数的解析式和一次函数图像与坐标轴的交点问题． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出一次函数图像与x轴的交点，得到三角形两直角边的长，即可求出答案． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数图像经过点、， ∴， 解得：， 所以，这个一次函数的解析式为， （2）设一次函数图像与x轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 知识点5：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点6：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【题型9：一次函数与一元一次方程】 【典例9】一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于的方程一元一次方程的解就是一次函数当函数值为时的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知，一次函数与轴交点的横坐标为， 关于的方程的解为：， 故选：C． 【变式9-1】如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于的方程的解是 故选：D． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，和，则关于x的方程的解为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．根据题意，可知当时，，即可关于x的方程的解为． 【详解】解：∵直线经过点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：4． 【变式9-3】如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 【题型10：一次函数与二元一次方程组】 【典例10】已知直线与直线的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，由交点坐标可得方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 故选：A． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解两直线交点的含义是解题的关键． 根据两直线交点得到对应二元一次方程组的解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为： ． 【变式10-2】如图所示，已知函数（为常数，）和（为常数，）的图象交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握一次函数的交点坐标等于对应一元二次方程组的解，结合图像即可解答． 【详解】解：二元一次方程组整理为：， 由图可知：的解是， 故答案为：． 【变式10-3】如图，直线与直线交于点A，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求得点A坐标；根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标．根据图象交点坐标直接判断即可． 【详解】解：直线与直线交于点， 方程组的解是， 故答案为：， 知识点7：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【题型11：一次函数与一元一次不等式】 【典例11】如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，即， ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：A． 【变式11-1】如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 【变式11-2】如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式11-3】在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图像法是解题关键．关于的一元一次不等式表示的是一次函数的函数值小于2，结合函数图像，求出此时的取值范围即可得． 【详解】解：关于的一元一次不等式表示的是一次函数的函数值小于2， 由函数图像可知，当一次函数的函数值小于2时，， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 一、单选题 1．下列哪个点在函数的图象上（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的代入求值，掌握将点坐标正确代入函数求值的计算方法是解题的关键．将各点代入函数解析式计算即可． 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 2．直线与轴的交点坐标是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算当时，，确定坐标为，解答即可． 本题考查了一次函数与y轴的交点计算，熟练掌握时，求对应的函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，， 故图象于y轴的交点为， 故选：A． 3．将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据上加下减的原则平移求解即可． 本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为． 故选：D． 4．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 根据一次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴． 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为． 【详解】解：当时，函数的图象都在的图象下方， 所以不等式的解集为． 故选：B． 6．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，分别把点，代入直线，求出，的值，再比较大小即可．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：点，都在直线上， ，． ， ． 故选：B． 7．若不为0的两个实数a，b满足，且，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（k、b为常数，）是一条直线，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为．利用，且得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【解答】解：∵，且， ∴，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方． 故选：A． 二、填空题 8．要使一次函数的图象经平移后过点，需向上平移 个单位． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数的平移规律是解题的关键．由直线向上平移个单位，其图象经过点，把代入平移后的解析式：即可得到答案． 【详解】解：设直线向上平移个单位，其图象经过点， 点在的图象上， ， ， 故答案为： 9．一次函数的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．求线段的长的问题一般是转化为求点的坐标的问题解决．求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积． 【详解】解：一次函数的关系式是，当时，； 当时，， 解得：， 其图象与坐标轴围成的三角形面积是：． 故答案为6． 10．如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．先把代入直线即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】∵直线经过点， ， ， 又直线和直线交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为： 三、解答题 11．如图，函数与的图象交于点． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积公式等知识点，联立两函数解析式求出交点的坐标是解题的关键． （1）由于函数与的图象交于点，因而将代入两函数解析式，可得，解方程组即可求出k的值； （2）先求出一次函数与轴的交点的坐标，进而可得的长，由（1）得，则，由三角形的面积公式可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：函数与的图象交于点， 将代入两函数解析式，得： ， 解得：， 的值为； （2）解：对于函数， 令，则， 解得：， ， ， 由（1）得：， ， ， 的面积是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$