专题04 一次函数与方程不等式关系【知识串讲+八大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题04 一次函数与方程、不等式关系 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一次函数与方程 一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标. （二）一次函数与方程组 二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标. （三）一次函数与不等式 ①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集， ②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集； 结合图像找到y＞0或y＜0所在的位置，进而获取x的取值范围 模块三 考点一遍过 考点1：已知交点求方程的解 典例1：若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由与可得直线向右平移7个单位得到直线，从而可得直线与轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移7个单位所得， 与轴交点为， 直线与轴交点坐标为， 的解为， 故选：C． 【变式1】如图为函数（k、b为常数，）的图象，则关于x的方程的解为（）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 【变式2】如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 故关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【变式3】直线与x轴交于点，与y轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．先根据一次函数的图象交x轴交于点可知，当时函数图象在x轴上，代入即可得出结论． 【详解】解：直线与x轴交于点， 当时函数图象在x轴上，即， ∴的解是． 故答案为：． 考点2：已知方程的解求交点坐标 典例2：若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 【变式1】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 【变式2】已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 【答案】（−2，0） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0， ∴ax−b＝1， ∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0）， 故答案为：（−2，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【变式3】已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系交点坐标即可． 【详解】解：方程的解是， 函数与轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确把握方程与函数之间的关系是解题关键． 考点3：利用图像解一元一次方程 典例3：如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：C． 【变式1】一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b﹣3＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】直接根据函数图象与y轴的交点进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点为（0，3）， ∴方程kx+b﹣3＝0的解是x＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【变式2】一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【答案】/ 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据图像可知，一次函数的图像过点，即当时，，由此得出关于的方程的解． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像经过点， 关于x的方程的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用一次函数图像解一元一次方程，利用数形结合是解题的关键． 【变式3】一次函数（k，b为常数，)的图象如图所示，根据图象信息可得到关于x的方程的解为 . 【答案】x＝3 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】直接根据图象找到y＝kx＋b＝4的自变量的值即可． 【详解】观察图象知道一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点（3，4）， 所以关于x的方程kx＋b＝4的解为x＝3， 故答案为x＝3． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能结合图象确定方程的解是解答本题的关键． 考点4：利用图像解不等式 典例4：如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 【变式1】一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的关系等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意和函数图象，利用一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，即可判断各说法是否正确，从而解答本题． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确； 根据题意可得：，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确； 由可得，故不等式的解集是，故③不正确； 当时，，则，故④正确； 综上，正确的有：， 故选：A． 【变式2】直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标；根据直线过点，，判断出函数的增减性，即可写出不等式的解集． 【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 直线过点，， 直线随x的增大而减小， 当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：，． 【变式3】如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数，得到图象分布在第四、三、二象限，与y轴交于负半轴，与x轴交点坐标为，y随x的增大而减小，当时，，判断即可． 本题考查了一次函数的性质应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得一次函数，与y轴交于负半轴，与x轴交点坐标为，在图象在第四、三、二象限， y随x的增大而减小， ∴关于x的方程的解为 根据题意，当时，． 故①②④正确； ③错误， 故答案为：①②④． 考点5：利用图像解不等式组 典例5：如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，关键是利用数形结合的数学思想是解题的关键； 根据不等式就是直线位于直线的上方且位于轴的上方的图象来分析． 【详解】解：直线与的交点的横坐标为， 关于的不等式的解集为， 时，， 的解集是， 的解集是， 关于的不等式的整数解为， 故选：B 【变式1】如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，求出与轴的交点坐标，图象法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵直线与的交点的横坐标为， ∴由图象可知：的解集为：； ∴不等式的整数解为； 故选A． 【变式2】如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为，则不等式组 的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查直线与不等式，求出两直线的交点是解题的关键．先求出两直线的交点为，代入，求出，及直线与的交点坐标，结合函数图象可得结论． 【详解】解：直线与直线的交点的横坐标为， ， 直线与直线的交点坐标为， ， 解得，， ， 当时，， 与轴的交点坐标为， 不等式组 的解集为， 故答案为：． 【变式3】如图，已知一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点 ，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象解不等式是解此题的关键； 看函数图象的高低，从函数图象中找出函数在下方或相交时x的值可得的解． 【详解】解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点 ， 观察图象可得： 当时，直线在下方或相交， ∴的解为， 把代入得：，， ∴时，则，解得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为： 考点6：利用图像解方程组 典例6：如图，直线与直线相交于点P，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．由图象得出两条直线的交点即可求出方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， 方程组的解是， 故选：D． 【变式1】已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查两直线的交点与二元一次方程的解，将两条直线的函数解析式联立组成二元一次方程组，根据方程组的解写出两直线的交点坐标是解题关键．将代入，求出，即为直线与的交点坐标，判断所在象限即可． 【详解】解：将代入可得： ， 方程组的解是， 直线与的交点坐标为，在第二象限． 故选：B． 【变式2】已知直线与的交点为，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式构成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵直线与的交点为， ∴， ∴， 即两条直线的交点坐标为：， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【变式3】已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据一次函数的交点坐标即为以一次函数解析式所构成的方程组的解即可求解，掌握一次函数的交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴关于的二元一次方程组即的解为， 故答案为：． 考点7：由两直线的交点解方程组 典例7：如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 【变式1】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、图象法解二元一次方程组 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【变式2】如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是 ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】由函数和的图象交于点P得到二元一次方程组的解为；图象可得，当 时，． 【详解】 函数和的图象交于点P 二元一次方程组的解为 由图象可得，当 时，． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了利用图象解二元一次方程组的问题及数形结合的数学思想，熟练掌握一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系是解题的关键． 【变式3】已知一次函数与的图象如图所示． （1）写出关于x，y的方程组的解为 ． （2）若，写出x的取值范围 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标； （2）不等式的解就是当一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围． 【详解】解：（1）方程组的解就是一次函数与的交点坐标的横纵坐标， 由图知，； （2）不等式的解就是找到图中一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围， 由图知，． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组和不等式的关系，解题的关键是能够理解方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标，以及利用函数图象解不等式的方法． 考点8：求直线围成的图形的面积 典例8：如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于，两点，两直线的交点为，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)2 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线相交联立方程组求解的综合，掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得的表达式； （2）联立直线，，求得点坐标，利用，可算得答案． 【详解】（1）解：已知直线：与坐标轴交于，两点 直线的函数表达式： （2）解：联立直线，，有 解得 点坐标为 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象交轴于点，交轴于点，点是点关于轴对称的点，过点作与轴平行的射线，交直线于点，点是射线上的动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线与直线的交点为（点不与点、点重合），连接，当时，请求出对应的点坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式和解二元一次方程组，理解两条直线的交点与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数表达式，通过解方程组即可求出和的值． （2）先求出点坐标，再根据点在直线上求出点坐标，根据点位置的不同，分别讨论，求出点坐标，由点坐标可得到直线函数表达式，继而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解： ，点是点关于轴对称的点， ∴， ∵平行轴，点在直线上， 把代入得， ∴， 设点， 当点在点的下方时，如图： ， ， ， ， ， 直线的函数表达式为， ∵为直线与直线的交点， ∴解得： ， ； 当点在点的上方时，如图： ， ， ， ， ， 直线的函数表达式为， ∵为直线与直线的交点， ∴解得：， ； 综上所述，点的坐标为或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)在y轴上存在一点P，使得，求出点P的坐标； (3)点E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线，交于点F，点H为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)P点坐标 (3) 【知识点】求直线围成的图形面积、等腰三角形的性质和判定、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式； （2）令，求出点的坐标，设，根据，即可求出答案； （3）由于直角不确定，需分类讨论，得到与的横坐标的关系．列得方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴，即， ∵直线：过点，点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵直线的函数表达式为：； ∴当时，， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：设，则， ∴， ①如图，若，，过点作于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴， ②如图，若或， ∵或， 则， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次方程的解法，三角形面积，等腰直角三角形，利用数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 【变式3】如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 【答案】(1)12 (2)或 (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， 的面积； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， ，， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数与方程、不等式关系 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）一次函数与方程 一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标. （二）一次函数与方程组 二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标. （三）一次函数与不等式 ①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集， ②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集； 结合图像找到y＞0或y＜0所在的位置，进而获取x的取值范围 模块三 考点一遍过 考点1：已知交点求方程的解 典例1：若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图为函数（k、b为常数，）的图象，则关于x的方程的解为（）    A． B． C． D．无法确定 【变式2】如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式3】直线与x轴交于点，与y轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 考点2：已知方程的解求交点坐标 典例2：若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 【变式3】已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 考点3：利用图像解一元一次方程 典例3：如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则方程kx+b﹣3＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 【变式2】一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【变式3】一次函数（k，b为常数，)的图象如图所示，根据图象信息可得到关于x的方程的解为 . 考点4：利用图像解不等式 典例4：如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【变式3】如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④．其中正确的有 ．（填序号） 考点5：利用图像解不等式组 典例5：如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为，则不等式组 的解集为 ． 【变式3】如图，已知一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点 ，则关于的不等式的解集为 ． 考点6：利用图像解方程组 典例6：如图，直线与直线相交于点P，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知直线与的交点为，则方程组的解为 ． 【变式3】已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 考点7：由两直线的交点解方程组 典例7：如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【变式1】用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组，解是 ；当时，的取值范围是 ． 【变式3】已知一次函数与的图象如图所示． （1）写出关于x，y的方程组的解为 ． （2）若，写出x的取值范围 ． 考点8：求直线围成的图形的面积 典例8：如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于，两点，两直线的交点为，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象交轴于点，交轴于点，点是点关于轴对称的点，过点作与轴平行的射线，交直线于点，点是射线上的动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线与直线的交点为（点不与点、点重合），连接，当时，请求出对应的点坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)在y轴上存在一点P，使得，求出点P的坐标； (3)点E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线，交于点F，点H为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出满足条件的点E的坐标． 【变式3】如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$