专题01 情景分析题-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

专题01 情景分析题 近年来中考命题改革强调核心素养导向，情景题的设置更加注重考查学生在真实情境中解决问题的能 力。难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失 分。常考的类型主要包含一下三大类： （1）实际建模问题：用函数、统计解决现实问题， （2） 几何应用： 结合建筑测量、地图比例尺、实物模型等情境； （3）跨学科问题。 1．（2025·陕西西安·二模）某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次／分） 208 203 198 193 188 183 178 173 (1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次／分）是年龄（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求关于的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次／分至______次／分；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在114次／分至133次／分，小美的年龄是______周岁． 2．（2025·陕西·模拟预测）投壶（如图1）是“投箭入壸”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条拋物线，如图2是一名男生在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度为，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处． (1)求箭头行进的高度y与水平距离x之间的函数表达式； (2)若是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且，通过计算判断这名男生此次投壸能否投中，请说明理由． 3．（2025·湖北·一模）【项目式学习】 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关的问题．甲，乙，丙，丁四个学习小组开展数学项目式学习实践活动，获取的所有数据共享．活动地点：比较开阔的草坪地． 【项目素材】 素材一：甲小组调试机器击球，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线（在无风的情况下，且不考虑空气阻力）． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度与水平距离部分数据如下． 水平距离 0 6 18 30 36 飞行高度 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得的小球飞行的水平距离与时间的关系，根据数据分析，与是正比例函数关系，并根据相关数据绘制成如下图象（如图1）． 素材四：如图2所示，丁小组在草坪边山坡点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，，． （参考数据：，，）． 【项目任务】 任务一：直接写出与的函数关系式； 任务二：当小球飞行的高度达到时，求小球飞行的时间； 任务三：若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 4．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长、高的矩形． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断此纯电货车_______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． (3)为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 5．（2025·河北石家庄·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点处）正前方的处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点和点），求的取值范围． 6．（2025·湖北孝感·二模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润． 7．（2025·山西晋中·一模）综合与实践 项目主题：爱心发卡  温暖传递 项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习． 驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案． 收集信息： （1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只， （2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下： 款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元； 款：每只获利元． 解决问题： (1)设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______； (2)设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式； (3)通过计算说明使日销售利润最大的加工方案． 8．（2025·陕西西安·二模）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 9．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 10．（2025·浙江·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 11．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 (1)当时． ①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． (2)问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？ 12．（2025·广西·一模）在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为，在真空冷却过程中，温度（单位：）与冷却时间（单位：分钟）满足一次函数关系：前8分钟，温度每分钟下降；8分钟后，调整冷却设备，温度每分钟下降．同时，标本的细胞活性与温度也满足一次函数关系，且当时，；当时，． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求在不同阶段标本温度关于冷却时间的函数解析式； (2)当细胞活性降至时，求标本冷却时间． 13．（2025·陕西·模拟预测）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 14．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． (2)当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳． (3)现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 15．（2025·陕西汉中·模拟预测）东北地区的冻梨以其独特的地域风貌与味道而出名，在好奇心的驱动下，住在东北地区的林同学前往调查了冻梨的价格，以下是他走访20个摊位后整理的数据，请你根据数据回答下列问题： (1)扇形统计图中，5元/斤的摊位占统计总数的 % (2)这20个样本的平均值为 众数为 ． (3)林同学通过询问还了解到，冻梨的进价为1.5元/斤，且冻梨的售价与销量成某种关系，以4元/斤为基础售价，日销量为20斤，每提高1元/斤，日销量便减少2斤，但是价格不能超过5.5元/斤，则你认为冻梨的售价应定为多少可达到最大日利润？最大日利润为多少？ 16．（2025·贵州遵义·一模）高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米． (1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式； (2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由； (3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度． 17．（2025·安徽·一模）2025年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙，且、之间的水平距离为8米． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)为了彩带造型美观，小亮把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； (3)为了避免人的头部触到彩带，小亮将点到地面的距离提升为3米，并调整点的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米． ①试探究与的关系式； ②当时，求的取值范围． 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中医常用碾药工具——药碾子（如图1）起源于东汉时期，它不仅是一种工具，更是一种文化的象征，代表了古代医者的智慧和对中药炮制的精益求精．图1中碾槽外轮廓的上沿和下沿可分别近似地看成两条抛物线的一部分，如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到水平地面的距离相等．上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，以所在直线为轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线满足关系式，． (1)求下沿抛物线的函数表达式； (2)点与点是两个支撑架与下沿抛物线的交点，若点与点到轴的距离均为，求点与点之间的距离． 20．（2025·广东佛山·一模）综合与实践． 【实践背景】 人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示． 【实践操作】 现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板；（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【升级设计】 如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点为顶点：线段（实际生产时取）； （1）求该二次函数的解析式； （2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小） 21．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米． 以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式． 22．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 23．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象； 任务一：描点画图 （1）请在图（b）中画出与的函数图象； 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围． 24．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 25．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为7.6米，其中喷出的水的最高点正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围． 任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（精确到0.1米） 26．（2025·贵州·一模）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，（结果精确到米；参考数据：，，） (1)如图1，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； (2)如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长（参考数据：，，） 27．（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 28．（2025·河南焦作·一模）综合与实践 【问题情境】 如图（1）为一个圆形喷水池，水池的圆心处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，所以无法直接测量直径，需要如何进行呢（水池边缘厚度忽略不计） 【方案解决】 出发前，同学们设计了如下两种方案： 方案一：如图（2），先在水池边上取，两点，使得，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点，使得，最后测得的长即为直径的长； 方案二：如图（3），先在水池边上取，两点，使得，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点，使得，最后测得的长，便可求出的长． (1)请你选择其中一个方案判断理论上是否可行，并说明理由； (2)同学们去实地考察后，发现喷水装置较大，阻挡视线，难以保证，，三点共线，经过讨论，同学们利用《圆》一章的知识，设计并实施了方案三：如图（4），在水池边上取三点，，，使得，测得米，米，通过计算，可以求得圆形水池的直径．请根据测量的数据，求出水池的直径．（结果精确到米，其中） 29．（2025·辽宁沈阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 30．（2025·河北石家庄·一模）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 正定某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求出遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 当为时，求线段的长度． （结果精确到0.01m，参考数据：，，，） 31．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到0．1尺）．（参考数据：，，，，，） 32．（2025·山东济宁·模拟预测）解答： 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，、D为焊接点，且与平行，支架所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心．设计方案中，要求两点离地面高度均为5厘米，两点之间距离为70厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度； （2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点时（如图3），点比点在竖直方向上至少高出12厘米．（） 任务一 计算底座半径 根据素材求底座半径． 任务二 探究摇摆规律 计算图3中点距离地面的高度． 任务三 设计椅背、坐垫长度 求椅背的长度范围． 33．（2025·陕西西安·二模）如图，这是小雅同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点，且，（点在同一条直线上）．经测量，得，，．请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，） 34．（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 35．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． (1)求的长； (2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 36．（2025·河南安阳·模拟预测）为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同． (1)求水基灭火器和干粉灭火器的单价； (2)学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？ 37．（2025·河南鹤壁·一模）物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源于生活”，于是从中抽象出了一个数学平面图形：如图（1），直线为水平桌面，线段为支架，虚线为铅锤P的运动轨迹．现根据图形设计出了以下两个问题． (1)若点到和的距离相等，则称此时点P的位置为“黄金位置”．过点P作的切线交于点D，如图（2），若，证明此时点P处于“黄金位置”． (2)已知，，在射线上有一点E，且，连接，如图（3），在点P运动的过程中，当与相切时，求点P到的距离． 38．（2025·江苏苏州·模拟预测）【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 39．（2025·河北·模拟预测）如图是某景区的游览路线图，从大门到游乐场的路程是，从游乐场到休闲区的路程是，从休闲区到观景台的路程是．已知小华从大门到观景台游览的平均速度是，观景台原路返回大门的时间是． (1)用含v，t的代数式表示： ①小华从观景台返回大门的平均速度是______； ②小华从大门到观景台，然后再返回大门的平均速度是______． (2)小华从大门到观景台游览了，然后从观景台沿原路返回大门的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求m的值． 40．（2025·山东济南·一模）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 情景分析题 近年来中考命题改革强调核心素养导向，情景题的设置更加注重考查学生在真实情境中解决问题的能 力。难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失 分。常考的类型主要包含一下三大类： （1）实际建模问题：用函数、统计解决现实问题， （2） 几何应用： 结合建筑测量、地图比例尺、实物模型等情境； （3）跨学科问题。 1．（2025·陕西西安·二模）某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次／分） 208 203 198 193 188 183 178 173 (1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次／分）是年龄（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求关于的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次／分至______次／分；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在114次／分至133次／分，小美的年龄是______周岁． 【答案】(1)一次，y关于x的函数关系式为． (2)140，160；． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）由题意可得， ，把代入（1）中求得的函数关系式，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分， ∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系． 故答案为：一次． 设y关于x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和分别代入, 得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：当时，，（次/分），（次/分）， ∴小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分； 当运动心率应该控制在114次／分至133次／分时， 当时，，解得， ∴小美的年龄是周岁． 故答案为：140，160；． 2．（2025·陕西·模拟预测）投壶（如图1）是“投箭入壸”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条拋物线，如图2是一名男生在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度为，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处． (1)求箭头行进的高度y与水平距离x之间的函数表达式； (2)若是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且，通过计算判断这名男生此次投壸能否投中，请说明理由． 【答案】(1) (2)这名男生此次投壶不能投中．理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键； 对于（1），根据顶点坐标设顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式； 对于（2），将代入关系式得出答案再比较得出结论. 【详解】（1）解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得，     解得， ∴y与x之间的函数表达式为． （2）解：这名男生此次投壶不能投中．     理由：当时，，     ∵， ∴这名男生此次投壶不能投中． 3．（2025·湖北·一模）【项目式学习】 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关的问题．甲，乙，丙，丁四个学习小组开展数学项目式学习实践活动，获取的所有数据共享．活动地点：比较开阔的草坪地． 【项目素材】 素材一：甲小组调试机器击球，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线（在无风的情况下，且不考虑空气阻力）． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度与水平距离部分数据如下． 水平距离 0 6 18 30 36 飞行高度 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得的小球飞行的水平距离与时间的关系，根据数据分析，与是正比例函数关系，并根据相关数据绘制成如下图象（如图1）． 素材四：如图2所示，丁小组在草坪边山坡点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，，． （参考数据：，，）． 【项目任务】 任务一：直接写出与的函数关系式； 任务二：当小球飞行的高度达到时，求小球飞行的时间； 任务三：若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 【答案】任务一：；任务二：秒或秒；任务三：不能落在点处的球筐． 【分析】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般． （1）因为球在空中的飞行路线是相同的抛物线，故可设球的飞行高度与水平距离的函数关系式，代入乙小组数据，由待定系数法即可求出与的函数关系式； （2）由图1可求小球飞行的水平距离与时间的函数关系，进而可求飞行高度与时间的函数关系式，由此即可求出当小球飞行的高度达到16m时小球飞行的时间； （3）求出点到击球处点的水平距离和高度，再根据是否经过点即可判断球能否落在点处的球筐中． 【详解】解：任务一：设球的飞行高度与水平距离的函数关系式，由乙小组数据得： ， 解得：， 即球的飞行高度与水平距离的函数关系式为， 任务二：设小球飞行的水平距离与时间的，由图1可得， ，解得， 即， ∴， 当时，即，解得，． 当小球飞行的高度达到时，小球飞行的时间为秒或秒． 任务三：山坡的坡角，． ∴， ， ∴， 当时，， ∴当时，小球高度小于，不能落在点处的球筐． 4．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 我国新能源汽车发展迅猛，2024年11月产销量再创历史新高，前11个月国内累计销量超1000万辆，与此同时，公共充电桩建设也快速推进，截至2024年11月底，累计建成充电桩1235.2万台，技术的发展越来越改善着人们的生活．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆箱式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长、高的矩形． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断此纯电货车_______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． (3)为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)支柱抬高的高度至少需要大于米． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式。二次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知，，，利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，进而求出时的函数值，与货车的高度比较即可； （3）设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为，由题意可知当时，，进而求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， 则，解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：不能，理由如下： 由题意可知，，，， 则， 当时，， ， 此纯电货车不能完全停到车棚内； （3）解：设支柱抬高的高度为米，则改造后棚顶横截面的解析式为， 要求改造后车棚内能容纳长、高的车辆进入充电， 当时，， ， 解得：， 即支柱抬高的高度至少需要大于米． 5．（2025·河北石家庄·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点处）正前方的处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； (3)已知点为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点和点），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)该球不能射进球门； (3)的取值范围是． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． （）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可； （）当时，求出的值再与比较，即可判断球能不能射进球门； （）该球员带球向正后方移动再射门，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点和点代入求出得的值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴该球不能射进球门； （3）解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得（舍去）或， 把点代入，得．解得（舍去）或， ∴的取值范围是． 6．（2025·湖北孝感·二模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润． 【答案】（1），；（2）能，18元 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数表达式为， 将点代入， 可得，解得， ∴y与x的函数表达式为， ∵销售单价不低于成本价， ∴， 又∵， ∴， ∴自变量的取值范围为； （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， 又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元， ∴当时，日销售利润取最大值， 此时（元）， 这种蔬菜的销售能获得日销售利润8600元，蔬菜的销售单价应定为18元． 7．（2025·山西晋中·一模）综合与实践 项目主题：爱心发卡  温暖传递 项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习． 驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案． 收集信息： （1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只， （2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下： 款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元； 款：每只获利元． 解决问题： (1)设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______； (2)设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式； (3)通过计算说明使日销售利润最大的加工方案． 【答案】(1) (2) (3)每日加工款只，款只可使日销售利润最大 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据题意列出与的函数关系式即可； （2）根据题意列出关于的函数表达式即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解：方法一：， 当时，有最大值， 当时，， 每日加工款只，款只可使日销售利润最大； 方法二：， ， 当时，有最大值， 当时，， 每日加工款只，款只可使日销售利润最大． 8．（2025·陕西西安·二模）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）①能，②，③不能；（2）6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； ②过点作，交于点，证明，即可求得，即可解答； ③利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）过点作轴于点，求得点坐标，即可求得反比例函数解析式，过点作轴于点，即可求得直线的解析式，列方程，求得的坐标，即可求得的长，即可解答． 【详解】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道， 当时，线段能通过直角弯道， 故答案为：能； ②如图，过点作，交于点， ， ， 线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道， ， ， ， ， 由题意可得， ， 当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况， ， ， 故答案为：； ③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道， 故答案为：不能； 解：（2）如图，过点作轴于点， 第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入，可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点， 则， ， ， 根据（1）中可得与轴的夹角为， 故可设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 经检验，是原方程的解， , ， ， 要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为． 9．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【答案】(1)120，24，10； (2) (3) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据中点的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：120，24，10； （2）解：直线的函数解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：设挡板运动后的位置为，由题意，得 ， ∵小球恰好位于这两个挡板中点， ∴， 解得， ∴t的值为． 10．（2025·浙江·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：不能实现，理由见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键． 任务一：利用待定系数法即可求解； 任务二：由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，可求直线解析式为，当时，，故不能实现； 任务三：求出弹起后抛物线的表达式为：，而弹起时最大高度为，则弹起高度范围为时，当时，，解得：，即可确定取值范围． 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为； 任务二：不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为， 则设直线解析式为：， 则 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以不能实现； 任务三：设弹起后抛物线的表达式为：， 对于， 当时， 解得：或， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴弹起高度范围为， 当时，， 解得：， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为． 11．（2025·江西·模拟预测）综合与实践 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 (1)当时． ①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． (2)问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？ 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，城墙应加建以上 (2)当时，防守方无须加高城墙 【分析】本题考查了二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； ②令，求出值，即可判断进攻方的石块能飞进防守方的城墙，用求出的值减去城墙高度即可得到城墙应加建多高； （2）设抛物线的解析式为，，则，得到，抛物线的解析式为，根据题意可得：当时，，即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， ，， ， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ，， ， 令，则， ， 进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ， 城墙应加建以上； （2）设抛物线的解析式为，，则， 将代入抛物线解析式得：， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， 当时，防守方无须加高城墙． 12．（2025·广西·一模）在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为，在真空冷却过程中，温度（单位：）与冷却时间（单位：分钟）满足一次函数关系：前8分钟，温度每分钟下降；8分钟后，调整冷却设备，温度每分钟下降．同时，标本的细胞活性与温度也满足一次函数关系，且当时，；当时，． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求在不同阶段标本温度关于冷却时间的函数解析式； (2)当细胞活性降至时，求标本冷却时间． 【答案】(1)标本温度关于冷却时间的函数解析式表示为 (2)当细胞活性降至时，标本冷却时间是分钟 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数解析式等知识点，审清题意、正确列出函数关系式成为解题的关键． （1）根据题意分和两种情况列出函数解析式即可解答； （2）先运用待定系数法求得细胞活性与标本温度满足一次函数关系式；当时，可得，然后结合（1）即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， 当时，， 当时，，即， 标本温度关于冷却时间的函数解析式表示为． （2）解：细胞活性与标本温度满足一次函数关系， 设， 将，；，代入得： ，解得：， ． 对于，当时，，解得：． 对于，当时，． ， 时，， 把代入，得：，解得， 当细胞活性降至时，标本冷却时间是分钟． 13．（2025·陕西·模拟预测）电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，从而使阻抗发生变化，输出一个变化的模拟信号，进而将该信号进行处理并输出到显示器．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，与踏板上人的质量之间的几组对应值如下表： 人的质量 0 30 60 90 120 可变电阻 240 180 120 60 0 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，R与m符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求R关于m的函数关系式； (3)当可变电阻R为时，求人的质量m应为多少？ 【答案】(1)图见详解，一次 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． (1)根据表格中的数据，可以得到R与m符合初中学习过的哪种函数关系； (2)根据(1)中的结果，可以设出相应的函数解析式，然后根据表格中的数据，即可得到关于m的函数关系式； (3)将代入(2)中的函数关系式，即可得到人的质量m应为多少． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点，如图所示： 由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系， 故答案为∶一次； （2）解：设R关于m的函数关系式为， 将代入， 得， 解得， 即R关于m的函数关系式为， 验证：当时，满足关系式； （3）解：当时，， 解得，， 即当可变电阻R为时，人的质量m应为． 14．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． (2)当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳． (3)现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)绳子所对应的抛物线解析式为：；顶点坐标为 (2)从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳 (3)此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶，队列安排方案见解析 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由时求出其相应的函数值，便可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再比较便可． 【详解】（1）解：绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 根据题意，抛物线经过点，且过点即，把三个点代入表达式， ，解得， 绳子所对应的抛物线解析式为：， ， 则抛物线顶点坐标为． （2）解：从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳． 理由如下： 将代入得， ， 从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳． （3）解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少0.5米，则首尾两位同学的距离是（米）， 最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米， 当时， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶； 队列安排方案可以为：距离两侧持绳手处分别为①④号；距离两侧持绳手处分别为②⑤号；距离两侧持绳手处分别为⑦⑧号；距离两侧持绳手处分别为③⑥号；最中间的是⑨号（方案不唯一）． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题． 15．（2025·陕西汉中·模拟预测）东北地区的冻梨以其独特的地域风貌与味道而出名，在好奇心的驱动下，住在东北地区的林同学前往调查了冻梨的价格，以下是他走访20个摊位后整理的数据，请你根据数据回答下列问题： (1)扇形统计图中，5元/斤的摊位占统计总数的 % (2)这20个样本的平均值为 众数为 ． (3)林同学通过询问还了解到，冻梨的进价为1.5元/斤，且冻梨的售价与销量成某种关系，以4元/斤为基础售价，日销量为20斤，每提高1元/斤，日销量便减少2斤，但是价格不能超过5.5元/斤，则你认为冻梨的售价应定为多少可达到最大日利润？最大日利润为多少？ 【答案】(1) (2)；4 (3)冻梨的售价应定为元时，可达到最大日利润，最大日利润为68元 【分析】本题考查了数据的统计分析，二次函数的应用， （1）由条形统计图可知5元/斤在的摊位有6个，由此即可计算5元/斤的摊位占统计总数的百分比； （2）由条形统计图中数据计算平均值，其中可知4元/斤的摊位最多，故众数为4； （3）根据等量关系“利润=(=(售价−-进价)×)×销量”列出函数关系式．再根据函数关系式求得利润最大值． 【详解】（1）解：5元/斤的摊位占统计总数的百分比为， 故答案为； （2）解：20个样本的平均值为，出现次数最多的是4，故众数为4． 故答案为；4． （3）解：解：设冻梨的售价为x元，利润为y，依题意得： ， ∴当时，随增大而增大， 当售价定为时，元， 答：冻梨的售价应定为元时，可达到最大日利润，最大日利润为元． 16．（2025·贵州遵义·一模）高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米． (1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式； (2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由； (3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）以小美击球点O为坐标原点，则顶点为，设抛物线的解析式为，代入计算即可得解； （2）为，则为，由题得，求解得出，再结合二次函数的解析式判断即可得解； （3）求出．从而可得，最后结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：以小美击球点O为坐标原点，则顶点为； 设抛物线的解析式为． 把原点代入中得：， 解得， 则抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴设为，则为， 由题得： 解得 ，， ， ， 把代入中得， 小美这一杆能把高尔夫球从O点直接打入球洞C点 （3）解：由题知，， 设直线的解析式为 把，代入得：， 解得：， ∴． ∴ ， ∵， ∴时，有最大值10米． 17．（2025·安徽·一模）2025年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙，且、之间的水平距离为8米． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)为了彩带造型美观，小亮把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离； (3)为了避免人的头部触到彩带，小亮将点到地面的距离提升为3米，并调整点的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米． ①试探究与的关系式； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点到地面的距离为米 (3)①；② 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解； （3）①设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到，进而求解． ②将和代入与的关系式，进而根据二次函数的性质求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，则， 解得：； 又∵， ∴，则抛物线的表达式为：， 当时，， 即顶点坐标为：； （2）设抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，（米）， 即点到地面的距离为2.25米； （3）①由题意知，点、纵坐标均为3， ∴抛物线中、对称， ∴抛物线的顶点的横坐标为：， ∴抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 整理得：； ②当时，即， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当时，同理可得：， 故的取值范围为：． 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 【答案】(1)图见详解；一次； (2) (3)当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据表描点，结合描点即可得到图像； （2）设与之间的函数关系式为，从表格找点代入求解即可得到答案； （3）将代入解析式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格描点如图所示， ， 由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线， ∴函数式一次函数关系， 故答案为：一次； （2）解：设与之间的函数关系式为， 根据题意，得解得， 与之间的函数关系式为； （3）解：当时，， 解得， 当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是． 19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中医常用碾药工具——药碾子（如图1）起源于东汉时期，它不仅是一种工具，更是一种文化的象征，代表了古代医者的智慧和对中药炮制的精益求精．图1中碾槽外轮廓的上沿和下沿可分别近似地看成两条抛物线的一部分，如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到水平地面的距离相等．上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，以所在直线为轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线满足关系式，． (1)求下沿抛物线的函数表达式； (2)点与点是两个支撑架与下沿抛物线的交点，若点与点到轴的距离均为，求点与点之间的距离． 【答案】(1) (2)4 【分析】本体考查二次函数的应用： （1）根据顶点式写出顶点坐标，结合得到点的坐标为，设出解析式的顶点式，将点代入求解即可得到答案； （2）令代入求解，再根据两点间距离公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：上沿抛物线的函数表达式为， 点的坐标为， ， ∴点的坐标为， 设下沿抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得， 下沿抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 得， 解得，， ，， 点与点之间的距离为． 20．（2025·广东佛山·一模）综合与实践． 【实践背景】 人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示． 【实践操作】 现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板；（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【升级设计】 如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点为顶点：线段（实际生产时取）； （1）求该二次函数的解析式； （2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小） 【答案】（实践操作）见解析；（升级设计）（1）；（2）见解析 【分析】该题主要考查了尺规作图，待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象和性质，长方体的展开图等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （实践操作）根据尺规作平行线的方法作图即可； （升级设计）（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意得出当座椅位于图3位置时，体积最小，画图即可． 【详解】（实践操作）解：如图所示，即为所求． （升级设计） （1）解：∵点为顶点， ∴可设二次函数的表达式为， 把代入表达式，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：根据题意可得，当座椅位于图3位置时，体积最小，此时，所需的长方体的长宽高分别是， 设计图如图所示． 21．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米． 以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； ①河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ ②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式． 【答案】(1)水柱所在抛物线的解析式为 (2)水柱不会喷射到护栏上，理由见详解 (3)①河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处；②m与h的关系式为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，当时，（米），再与护栏高度进行比较，即可求解； （3）①根据坡比得到（米），则点到原点的水平距离为（米），即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可； ②将抛物线向上平移米，得到，当坝中水面离地面平面距离为米（取米），则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，根据坡比得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， 以O为原点建立平面直角坐标系， ∴点， 设抛物线解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴水柱所在抛物线的解析式为； （2）解：水柱不会喷射到护栏上，理由如下， 水柱所在抛物线的解析式为，对称轴直线为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， 绿道路面宽米，护栏高度为1.25米， ∴当时，（米）， ∵， ∴水柱不会喷射到护栏上； （3）解：①河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ∴， ∴（米）， ∴点到原点的水平距离为（米），即，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴当时，， ∴河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处； ②将抛物线向上平移米， ∴平移后的解析式为， 当坝中水面离地面平面距离为米（取米），则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为，如图所示， ∵坝面的坡比为（其中）， ∴， ∴， ∴， 把点代入平移后的抛物线解析得，， 整理得，， ∴m与h的关系式为． 22．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 【答案】(1) (2)①；②4；；③见解析 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图像即可； （3）设，连接，，，根据三角形的面积求出a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由①得，， 填表如下： … … … 8 4 2 … 故答案为：4，； ③函数图象如下所示： ； （3）解：点A的坐标为，B的坐标为，C为反比例函数上一点， 设，连接，，， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得，， 经检验，或是原方程的根， ∴时；时，， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键． 23．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象； 任务一：描点画图 （1）请在图（b）中画出与的函数图象； 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． （1）利用描点法解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）画出与的函数图象如下： （2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系， 设，代入，得： ， 解得：， 与的函数关系为； 设代入，得： ， 所得：， 与的函数关系式为； （3）假定经过秒小球追上小电动车， ， ． 由题意：， ． 若黑球不能撞上小车，则的取值范围为． 故答案为：． 24．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3） 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可． 【详解】解：（1）抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得：． 的解析式为：． ， 解得： 点的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点，则， 直线与水平线的夹角为， ． 设点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点的坐标为， 点的纵坐标为． 点在抛物线上， ． 解得：． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为7.6米，其中喷出的水的最高点正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围． 任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（精确到0.1米） 【答案】任务一： 任务二： 任务三：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.7米 【分析】利用顶点式结合待定系数法求解析式即可； 将代入解析式求解即可； 根据题意设薄膜所在平面的直线解析式为：，联立方程结合相切，利用判别式求解得b，即可知直线与x轴的交点为，过点于点M，且，过点F作，交x轴于点．利用解直角三角形求得，即可求得答案． 【详解】解：任务一：根据题意得最高点， 设水柱所在抛物线的函数解析式为：． 由题意得：抛物线经过点D的坐标为． ∴，解得a， ∴水柱所在抛物线的函数解析式为：； 任务二：当时，． 解得：． ∴． 任务三： 薄膜所在平面可看成是一条直线． ∵薄膜所在平面和地面的夹角是， ∴薄膜所在平面的直线解析式为：． 当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时， ， ∴． ∵只有一个交点， ∴，解得． ∴． ∴直线与x轴的交点为． 过点于点M，且，过点F作，交x轴于点． ∴． 由题意得：， ∴（米）． ∴（米） 答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.7米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次方程判别式，解直角三角形，二次函数的实际应用，理解题意，熟练运用相关知识求解是解题的关键． 26．（2025·贵州·一模）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，（结果精确到米；参考数据：，，） (1)如图1，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； (2)如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长（参考数据：，，） 【答案】(1)遮阳棚上的B点到墙面的距离约为米 (2)阴影的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键， （1）过点作于点，根据代入数据求出的值即可； （2）过点作于点，通过，求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，， ， ， 遮阳棚上的B点到墙面的距离约为米； （2）解：如图，过点作于点， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 阴影的长约为米． 27．（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【答案】2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握坡度是坡角的正切值． 延长交于点E，根据坡道的坡比，可得，即可求出米，进而得出米，再证明，则，设，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， ， ， ， ， ， ． ， ． ∴， 设，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴米． 答：点D到的距离的长为2.4米． 28．（2025·河南焦作·一模）综合与实践 【问题情境】 如图（1）为一个圆形喷水池，水池的圆心处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，所以无法直接测量直径，需要如何进行呢（水池边缘厚度忽略不计） 【方案解决】 出发前，同学们设计了如下两种方案： 方案一：如图（2），先在水池边上取，两点，使得，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点，使得，最后测得的长即为直径的长； 方案二：如图（3），先在水池边上取，两点，使得，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在的延长线上取点，使得，在的延长线上取点，使得，最后测得的长，便可求出的长． (1)请你选择其中一个方案判断理论上是否可行，并说明理由； (2)同学们去实地考察后，发现喷水装置较大，阻挡视线，难以保证，，三点共线，经过讨论，同学们利用《圆》一章的知识，设计并实施了方案三：如图（4），在水池边上取三点，，，使得，测得米，米，通过计算，可以求得圆形水池的直径．请根据测量的数据，求出水池的直径．（结果精确到米，其中） 【答案】(1)方案一、二可行，理由见解析 (2) 【分析】（1）选择方案一，证明，测得的长，即可得出的长；选择方案二，证明，得出，测得的长，即可得出的长； （2）过点作于点，则点在上，连接，进而根据垂径定理以及勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：方案一可行，理由如下； 在与中， ∴， ∴，测得的长，即可得出的长； 方案二可行，理由如下： ∵ ∴，即 又， ∴， ∴ ∴，测得的长，即可得出的长； （2）如图所示，过点作于点，则点在上，连接， ∵，， ∴， ∴ 设，则 在中，，即 解得：， ∴水池的直径为（米）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．（2025·辽宁沈阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】的长约4cm 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，根据的长，由、，求出、的长，在中，根据，利用，求出的长，再根据，由求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ，， ，， 在中，，，， ，即， ， ， ， 则的长约4cm． 30．（2025·河北石家庄·一模）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 正定某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求出遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 当为时，求线段的长度． （结果精确到0.01m，参考数据：，，，） 【答案】任务1：遮阳棚前端B到墙面的距离为；任务2：的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 任务1：过点B作，垂足为G，延长交于点H，根据题意可得：，，，然后在，利用锐角三角函数的定义求出的长即可； 任务2：在，利用锐角三角函数的定义的长，从而求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：任务1： 过点B作，垂足为G，延长交于点H， 由题意得：，，， 在中，，， ， 答：遮阳棚前端B到墙面的距离为； 任务2： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长度约为． 31．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到0．1尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)16尺 (2)尺 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用： （1）在中，利用解答，即可求解； （2）在中，利用，可得的长度，从而得到的长度，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，尺，， ∴尺； （2）解：在中，，尺，， ∴尺， ∴尺， ∴春分和秋分时日影长度为尺． 32．（2025·山东济宁·模拟预测）解答： 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，、D为焊接点，且与平行，支架所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心．设计方案中，要求两点离地面高度均为5厘米，两点之间距离为70厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度； （2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点时（如图3），点比点在竖直方向上至少高出12厘米．（） 任务一 计算底座半径 根据素材求底座半径． 任务二 探究摇摆规律 计算图3中点距离地面的高度． 任务三 设计椅背、坐垫长度 求椅背的长度范围． 【答案】任务一：125厘米；任务二：19.6厘米；任务三：． 【分析】任务一：过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点，可得厘米，厘米，设底座半径厘米，则厘米，然后在中由勾股定理求出即可得出答案； 任务二：过点作垂直地面于，于，设 ，则四边形为矩形，进而得 ，，然后在和中由勾股定理列出关于的方程，解方程求出即可得出答案； 任务三：（1）过作于，过点作于，先求出，设椅背厘米，则坐垫 ，根据椅背长度小于坐垫长度得，在中求出厘米，在中求出（厘米），然后点比点在竖直方向上至少高出12厘米得，由此解得，据此可得椅背的长度范围． 【详解】解：任务一：过点作垂直地面于，过点作于，的延长线于地面交于点，如图所示： 可得厘米，厘米， 设底座半径厘米，则厘米， 厘米， 在中，厘米，厘米，厘米， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， 底座半径的长度为125厘米； 任务二：过点作垂直地面于，于，如图所示： 设 ， 底座与地面相切于点， 垂直地面于点， 四边形为矩形， ， 由任务一可知：， ， 在中， ，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 点距离地面的高度为19.6厘米； 任务三：过作于，过点作于，如图所示： ， ， 由任务②可知：厘米，厘米， 在中，， ， 椅背和坐垫的材料总长度为160厘米， 设椅背厘米，则坐垫 ， 椅背长度小于坐垫长度， ， 解得：， 在中，， 厘米， 在中，， （厘米）， 点比点在竖直方向上至少高出12厘米， ， 即：， ， ， 解得：， 又， ， 即：， 椅背的长度范围是：． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，圆的有关计算，切线的性质等，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法与技巧，难点是根据题意，结合图形正确的作出辅助线构造直角三角形． 33．（2025·陕西西安·二模）如图，这是小雅同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点，且，（点在同一条直线上）．经测量，得，，．请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． 如图，过点分别作于点，于点，在中，有正余弦可得∴，，，，由题意得到，，，由即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作于点，于点， ，， ． ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ∴， ∴， ，，， ， ，， ． 34．（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①；② 【分析】（1）运用待定系数法可得解析式，将一般式化为顶点式可得对称轴； （2）①根据题意设，可得直线，由点在直线上，得到，即可求解； ②求出第一条彩虹的解析式为：，对称轴为直线，得到投影的解析式为：，，求出，，证明出，得到，代数求出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点分别代入中， 当时，，当时，， 解得，，， ， 对称轴为直线； （2）解：①∵投影可由第一条彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，右端点为点，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上， ∴设，设直线， ∵， ，解得 ∴直线， ∵点在直线上， ， ∴； ②第一条彩虹的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴投影的解析式为：， 把无人机（看做一点），无人机在原彩虹的对称轴上， ∴， 在直线上取点，作直线，令直线平行于轴，过点作于， ∴， ∵ ∴ ∵平行于， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴投影的解析式为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 35．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． (1)求的长； (2)求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）本题根据，然后即可求解； （2）本题根据，求得，即，再根据，即可求解； 【详解】（1）解：由题得，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， 故的长为米； （2）解：延长和相交于点，如图： ， 由题得：，四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴建筑物的高度为米； 36．（2025·河南安阳·模拟预测）为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同． (1)求水基灭火器和干粉灭火器的单价； (2)学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？ 【答案】(1)水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元 (2)最多可购买个水基灭火器． 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，理清题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解答本题的关键． （1）设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元，根据“用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同”列出分式方程，解之即可； （2）设购买个水基灭火器，则购买个干粉灭火器，根据“学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元”列出一元一次不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解：设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 答：水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元； （2）解：设购买个水基灭火器， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 最大取， 答：最多可购买个水基灭火器． 37．（2025·河南鹤壁·一模）物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源于生活”，于是从中抽象出了一个数学平面图形：如图（1），直线为水平桌面，线段为支架，虚线为铅锤P的运动轨迹．现根据图形设计出了以下两个问题． (1)若点到和的距离相等，则称此时点P的位置为“黄金位置”．过点P作的切线交于点D，如图（2），若，证明此时点P处于“黄金位置”． (2)已知，，在射线上有一点E，且，连接，如图（3），在点P运动的过程中，当与相切时，求点P到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点P到的距离为或． 【分析】（1）过点作于点，于点，利用证明，推出，即可得解； （2）分当P点运动到左侧和右侧，两种情况讨论，利用勾股定理求得，，求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点， 则， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即此时点P处于“黄金位置”； （2）解：当P点运动到左侧，且与相切时， 如图，过点作于点，于点，连接， ∵，， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得（负值已舍去）， ∴点P到的距离为． 当P点运动到右侧，且与相切时， 如图，过点作于点，于点，连接， ∵，， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得（负值已舍去）， ∴点P到的距离为． 综上，点P到的距离为或． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 38．（2025·江苏苏州·模拟预测）【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的度数是固定的，为70° 【分析】本题主要考查平行线的判定、三角形内角和定理，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理得出，根据，．得出，进而得出，即可得证； （2）根据三角形内角和定理得出，在中，，在中，．根据题意可得且，解不等式组即可求解． （3）根据三角形内角和定理可得，在中，得出．在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ，， ， ， ． （2）在中，， 所以． 因为，， 所以． 在中，， 在中，． 由于光线能在两面镜子之间经过两次反射，所以且． 即， 解得；． 把代入得， 解， ∴． 移项得． 即， 解得． 所以． （3）在中，，所以． 因为，，所以． 在中，． 把代入得，所以的度数是固定的，为70°． 39．（2025·河北·模拟预测）如图是某景区的游览路线图，从大门到游乐场的路程是，从游乐场到休闲区的路程是，从休闲区到观景台的路程是．已知小华从大门到观景台游览的平均速度是，观景台原路返回大门的时间是． (1)用含v，t的代数式表示： ①小华从观景台返回大门的平均速度是______； ②小华从大门到观景台，然后再返回大门的平均速度是______． (2)小华从大门到观景台游览了，然后从观景台沿原路返回大门的平均速度比来时增加了，所用时间比来时快了，求m的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查列代数式，分式的应用，一元一次方程解决实际问题，读懂题意，弄清各个量的关系是解题的关键． （1）①根据速度＝路程÷时间列出代数式即可； ②先求出小华从大门到观景台所需时间，再根据速度＝路程之和÷时间之和列出代数即可； （2）小华从观景台沿原路返回大门的路程为，速度为，时间为，根据路程＝速度×时间即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：①大门到的观景台总路程为， 小华从观景台返回大门的平均速度是． 故答案为： ②小华从大门到观景台所需时间为， 小华从大门到观景台，然后再返回大门所需时间为， 则平均速度是． 故答案为： （2）解：根据题意，得， 解得． 40．（2025·山东济南·一模）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【答案】（1）；4；2；（2）不能，图见解析，理由见解析；（3）图形见解析，8 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）平移直线通过，将点代入，解得． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得： ， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2），不能围出矩形地块；理由如下： 若，木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标， 的图象，如图中直线所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示： 将点代入得：， 解得． 即的值为8． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$