专题02 中考最值汇编训练-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

专题02 中考最值汇编训练 中考几何最值问题综合性强，常结合对称、旋转、勾股定理、圆的性质等知识，以下是近年常考题型： （1） 将军饮马问题（最短路径） （2） 垂线段最短 （3） 动点轨迹型 （4） 旋转/翻折型 （5） 隐圆模型（定角对定边 （6） 费马点问题 （7） 胡不归 （8）阿氏圆 一、单选题 1．如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度，从而即可得解． 【详解】解： ， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点P在点处时，最小，即最小， ∵ 即 ∵ ， 则的最小值为 ， ， ， ∴当取得最小值时，的长为． 故选：C． 2．如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作点分别关于的对称点，连接分别交于点， 得到，，，，，继而得到，此时的周长最小，过点作于点，得到，得出，根据勾股定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点分别关于的对称点，连接分别交于点， ，，，，， ， ， 此时的周长最小， 过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 周长的最小值是， 故选：A． 3．如图，在四边形中，，，若点M，点N分别在边和边上运动，且，连接，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】作的平分线交于点O，连接，交于点F．通过证明三角形全等、相似，利用全等三角形、相似三角形的性质及勾股定理，最后得结果． 【详解】解：如图：作的平分线交于点O，连接，交于点F． 则， 在和中， ， ， ， 在和中， ，， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 过点O作于E， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取最小值时的值最小， 点O为定点， 当时的值最小， ， 的最小值为的值， ， 的最小值为， 故选：B． 4．如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接，则面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作于交于,当点与重合时，的面积最小，求出的长即可解决问题． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于两点， 令，则，令，则， 解得，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 如图所示，作于交于,过点作轴于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点与重合时，的面积最小，最小值， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、锐角三角形函数的计算、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题． 5．如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是掌握轴对称的性质． 连接，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，即可求解． 【详解】连接，与的交点为， ，是的垂直平分线， 点与点关于直线对称， ， 此时周长最小， 是等腰三角形，是的中点， ， 长为，面积是48， ， 周长最小， 故选：C． 6．如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、，由勾股定理求得，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 由勾股定理得：， ，点、分别是、的中点， ，， 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：， 故选：． 7．如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，根据勾股定理得到，，根据平行线的性质得出，再利用勾股定理得出，求出，证明，得到，由此，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长，证是等边三角形，，利用勾股定理求出． 【详解】解：作点P关于的对称点F，过点M作交于点E，连接，，作，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，当F，M，E三点共线时，的值最小，即线段的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 8．如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】过点作，分别交于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，分别交于点，连接， ∵在正方形中，，点是边的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∴周长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 9．如图，，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求得，根据三角形边长关系可得，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 为的中点，的中点， ，, , , 根据三角形边长关系可得， 的最大值为， 故选：A． 二、填空题 10．如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最小时，为最小，根据点与圆的位置关系可知为最小，然后再求出的长即可得出的最小值． 【详解】解：连接，设交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最小时，为最小， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最小， ∴当点P与点E重合时，为最小，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，，则所求的最小值即为，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，作点M关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，E，F，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长， ∵矩形中，，， ∴，， 过点作的垂线，交的延长线于点H，则四边形为矩形， ∴， ∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 12．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ∴的最小值为9.6． 故答案为：9.6． 13．如图，四边形是边长为2的正方形，E是平面内一点，，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接．则长的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键． 通过证明，可得，则当点在上时， 有最小值为，即的最小值为． 【详解】解∶如图，连接，，交于点，连接，． 四边形是正方形， ，，， ， ， 将绕点顺时针方向旋转得到线段， ，， , ， ， ， 又， ， ， ， ， 当点在上时，有最小值为， 的最小值为． 故答案为： 14．如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15．如图，在正方形中，，点分别在边上，，连接与交于点G，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】要想求出的最小值，要把它转化到中，并且取的中点，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，根据三边关系，即可得到的最小值． 【详解】解：取的中点M，连接， 则， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等，三边关系等知识点，解决此题的关键是要作出． 16．如图，在中，，，．如果，分别为，上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可． 此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【详解】解：延长到点F，使得， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ∴，， ∴就变成了， 根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 18．已知，如图点A是直线上任意一点，点B在以为圆心1为半径的圆上，以AB为底边作等腰直角（A、B、C按逆时针顺序排列），连接OC，则OC的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数与几何的综合、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：顺时针旋转得到，的对应点为，连接，则，；根据等腰直角三角形的性质推得得到，只需求出的最小值；如图：当共线且垂直于直线时，取最小值；然后说明点，运用两点间距离公式得到，进而得到的最小值为，最后代入即可解答． 【详解】解：如图：顺时针旋转得到，的对应点为，连接，则，， ∴， ∵以AB为底边作等腰直角， ∴，， ∴ ∴，即， ∴ ∴， ∴即， 要求的最小值，直接求得的最小值即可， 如图：当共线且垂直于直线时，取最小值， 设直线与y轴的交点为E，过A作轴与D， 当时，，即， ∴， ∵直线与y轴正方向的夹角为， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴，即， ∴， ∴，即的最小值为． ∴OC的最小值为． 故答案为：． 19．如图，中，，，，点分别在边上运动，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的性质，勾股定理，理解两点之间线段最短，过点作，使，连接，，证明和全等得，则，根据“两点之间线段最短”得当点，，在同一条直线上时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为线段的长，利用勾股定理求出，再证明，然后由勾股定理求出即可得出答案．熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 【详解】解：过点作，使，连接，，如图所示： ， 在和中， ， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，在同一条直线上时，为最小，最小值为线段的长， 的最小值为线段的长， 中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 即， 是直角三角形， 由勾股定理得：， 的最小值为． 故答案为：． 20．如图，在中，，，动点、分别在、上，且，连接、．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键；通过证明，可得，由，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ∴， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 的最小值为， 故答案为：． 21．如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点为射线上一点，过点作于点，连接，点为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点N，连接，易得四边形是平行四边形，进而得到三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当时，有最小值，即有最小值，求出，即可求出，利用勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：延长交于点N，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点为中点， ∴三点共线， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， ∵中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 22．如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点，确定点在何位置时，的值最小是解题的关键．根据题意可推出点在以为圆心为半径的圆上运动，得到当、、共线时，的值最小，根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出． 【详解】解：由折叠可得：， ，， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动， 当、、共线时，的值最小，如图， 四边形矩形， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 23．如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理以及动点问题，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解：如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案为：． 24．如图，在中，，，是平面内一点，，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，发现点在以点为圆心、1为半径的圆上和点在以点A为圆心、1为半径的圆上并画出图形是解题的关键． 如图：连接，由勾股定理可得，再根据旋转的性质可得点在以点为圆心，1为半径的圆上；然后再证明可得，点在以点A为圆心，1为半径的圆上．然后画出图形，根据图形求最值即可． 【详解】解：如图：连接， ，， ． 是平面内一点，， 点在以点为圆心，1为半径的圆上． ，， ． 在与中， ， ， ， 点在以点A为圆心，1为半径的圆上． 如图1，当点在线段的延长线上时，最大， ∴，即的最大值为； 如图2，当点在线段上时，有最小值， ∴，即的最小值为． 25．如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时． 连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，， ， ∵E为的中点， ， ， ， 当，，共线时，的值最小，如图， 此时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，则， 故答案为：． 26．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的一动点，且，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 连接，延长到T，使得，连接．首先证明，则，根据，求出即可解决问题． 【详解】解：连接，延长到T，使得，连接． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 27．如图，已知，，为边上一动点，连接，点在延长线上，且，则的最小值为     【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，正确作出辅助线是解题关键；作，且使得，连接，过点作，交延长线于点，证明，得出，进而可得，当、、三点一线时，取到最小值，此时，证明四边形为正方形，得出，然后勾股定理即可求解． 【详解】解：作，且使得，连接，过点作，交延长线于点 又∵， ∴，， ∵ ， ，， ， 当、、三点一线时，取到最小值，此时， ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形为正方形  ， ，， ∴ ， 在中，由勾股定理得 ， 的最小值为， 故答案为：． 28．已知，在中，，点P是内一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则．用，推出当共线时，的值最小最小值的长； 【详解】解：如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接． 则是等边三角形， ∴ 由旋转得，， ∴， ∴当共线时，的值最小，最小值的长， ∵ ∴， 过点作，则 ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 29．如图，为半圆O的直径，点C在半圆上一动点（与A、B不重合）．将绕点A逆时针旋转得，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据旋转的性质，得，结合，得，设中点为M，则，结合，得点E的运动轨迹是以中点M为圆心，以为半径的半圆上，利用圆的性质，勾股定理解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质，得， ∵， ∴， 设中点为M， ∴， ∵， ∴点E的运动轨迹是以中点M为圆心，以为半径的半圆上， 连接交于点N， ∴， 根据旋转的性质，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据圆的性质，得当点E与点N重合时，取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，熟练掌握勾股定理，圆的有关性质是解题的关键． 30．如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 连接，连接， 则，，共线，， ， ， 点是的中点， ， ， ， 由折叠成， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ， 两点间线段最短， ， 即 ， ， 则的最小值为． 故答案为：． 31．如图，在平面直角坐标系中，，，，点为以为半径的圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的性质，取中点，连接，，，则，，从而有，所以，又即，然后根据两点间的距离即可求出的值，从而即可求出的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵，， ∴，， ∴，即有， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 32．如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路径问题，圆的性质，勾股定理解直角三角形，正确作出辅助线，综合运用各个知识，在变化中寻找不变的量是解题的关键．取的中点F，连接，，，则．由与圆O相切，可得，通过解直角三角形可得，．根据是圆O的直径，可得是直角三角形，从而，因此，即的最小值为． 【详解】取的中点F，连接，，，则 ∵与圆O相切， ∴，即， ∵，， ∴， ． ∵点F是的中点， ∴， ∴在中，． ∵是圆O的直径， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴，即的最小值为. 故答案为： 33．如图，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了四边形的动点问题，涉及全等三角形的判定定理、等腰直角三角形的性质和正方形的性质，解：如图，过点G作于点P，于点Q，连接，，则和，可得，结合等边三角形可证明，得和 ，那么点G在所在的直线上运动，进一步求得点G的运为动轨迹为线段．过点C作于点．则最小值，结合正方形的性质得到答案． 【详解】解：如图，过点G作于点P，于点Q，连接，，    根据题意知，，． ∴． ∴． 又∵是等腰直角三角形，且， ∴． 在与中， ∴． ∴， ． ∴点G在所在的直线上运动． ∵F为边上的一个动点，如图，    当点F与点B重合时，点G的位置如图所示． 当点F与点A重合时，记点G的位置为． ∴点G的运为动轨迹为线段． 过点C作于点． ∴最小值． ∵正方形的边长为4， ∴ ． ∴最小值为． 故答案是：． 34．如图，边长为4的等边中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接A．则在点M运动过程中，的度数是 ，线段长度的最小值是 ． 【答案】 /度 【分析】根据等边三角形的性质得，，，由旋转的性质得，，进而可证明，据此可依据“”判定和全等，则，取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：是等边三角形，且边长为， ，， 是边上的高， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， 取的中点，连接，如图所示： 旋转角为， ， 又， ， 是等边的高线， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时即最短， ，， 在中，，，， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 35．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，垂线段最短，勾股定理；连接，当时，最小，由勾股定理得，可得，由即可求解；能熟练利用勾股定理求解，并能由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 当时，最小， 当时，， 当时，， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 36．如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，过A作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知，当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过A作于， ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴，则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， ∵平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴由得， 即的最小值为, ∴的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线性质，将的最小值转化为求的最小值是解答的关键． 37．如图，在中，，，，，点、、分别是、、上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接、、，如图，先证明为等腰直角三角形，则根据等腰直角三角形的性质得，，再证明得到，，则可判断为等腰直角三角形，所以，所以，利用两点之间线段最短得到（当且仅当、、共线时取等号），则的最小值为的长，过点作于，然后利用含度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【详解】解：过点作于点，连接、、，如图： ， ， ， ，为等腰直角三角形， 而， ，， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 的最小值为的长， 过点作于， 在中，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 38．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键． 连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】如图，连接，   ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵点P是的中点， ∴点P是和的交点， ∵，，， ， ∵， 当时，取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故答案为：． 39．如图，正方形的边长为4，M，N为线段上的两个动点，，交对角线于点E，连接，交于点F，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、圆、勾股定理，全等三角形的判定和性质，等知识．先证明和，推出，点F在以为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接交于点，此时最小，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接交于点，此时最小， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 40．如图，在等边中，，点在边上，且，点为边上一点，连接，在的右侧作，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】将绕点旋转，交于点，倍长至点，连接，交于点，易得为等边三角形，证明，得到，进而得到为等边三角形，点在射线上运动，得到，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据垂线段最短，得到的最小值即为的长即可． 【详解】解：将绕点旋转，交于点，倍长至点，连接，交于点，如图，则：， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在射线上运动， ∴当点与点重合时，的值最小，即为的长， ∴的最小值为9． 故答案为：9 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造旋转相似，确定点的运动轨迹． 41．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是 ．    【答案】8 【分析】作点D关于的对称点，连接，则，那么，由于，即，当且仅当共线时，取得最小值，即为，然后在运用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，则，    ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，即， 当且仅当共线时，取得最小值，即为， ∴在中，， ∴， 即，即的最小值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，正确运用转化思想是解题的关键． 42．如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．由折叠的性质知，在中，由三角形三边关系得，当D在边上运动时，总有，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知， 在中，由三角形三边关系得， 当点落在边上时，， ∴当D在边上运动时，总有， ∴的最小值为， 故答案为：2． 43．如图，在矩形中，，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，四点共圆．如图，过点B作于点H，连接．由，推出E，B，F，H四点共圆，证明定值，推出点E在射线上运动，当时，的值最小，求出 ，可得结论． 【详解】解：如图，过点B作于点H，连接，    ∵， ∴E，B，F，H四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴定值， ∴点E在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】点睛片段 44．如图，在等腰中，，，点是延长线上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质得，， 进而，，连接，取的中点，连接，，证明，、、四点共圆．得，再证明是等边三角形，得，从而求的最小值，即求的最小值，根据垂线段最短及直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， 在等腰中， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 连接，取的中点，连接，， ∵于点，于点． ∴， ∴，、、四点共圆． ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴求的最小值，即求的最小值 ，当时．最小，此时的值最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，垂线短最短，以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 45．如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，如图，在上取一点，使得，连接，，得，推出，求出，可得结论． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 46．如图，中．，，D、E分别是AB，AC上的动点．且，则的最小值为 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．作，使，利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出，得到，当点在线段上时，有最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：作，使，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值，最小值为， 故答案为：6． 47．如图，为的直径，C为半圆上的一动点，以为边向外作等边（点D在直线的上方），连接．若的半径为2，则线段的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，点到圆的距离，以为边作等边三角形，连接，证明，可得点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动，即可解答，正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动， 当O，E，D三点共线时，OD最大，最大值为． 故答案为：． 48．如图，在中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 3 【分析】如图，取的中点，连接，求解，在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，则为最小，为最长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，则为最小，为最长， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴的最小值为2，最大值为3； 故答案为：2，3 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，圆的确定，圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，确定E的轨迹是解本题的关键． 49．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则a的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，点和圆的位置关系； 首先求出，根据条件可知，然后求出上到点A的最大距离即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 如图，延长交于M，当点P与M重合时，最大，即a最大， ∵，， ∴， ∴， ∴a的最大值为． 故答案为：． 50．如图，凸四边形中，，．若，，则对角线的最大值为 ． 【答案】10 【分析】在上方作，使，连接，，根据题意证明出，得到，勾股定理求出，然后根据三角形三边关系求解即可． 【详解】如图所示，在上方作，使，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴当点C，D，E三点共线时，有最大值10 ∴对角线的最大值为10． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 51．如图，在中，，点D是的中点，，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】求的最大值，要先作的外接圆，作交圆于E ，根据同弧所对的圆周角相等，可求出的长度；两次运用勾股定理可以得到，即可求出答案． 【详解】解：作的外接圆，过点C作交圆于点E，连接 作于则是圆的直径； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ， 即的最大值为6． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直角对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是作的外接圆． 52．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，过作于，根据等边三角形可得，，都是直角三角形，设，利用直角三角形的性质和勾股定理即可表示出，，然后根据列出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：过作于， ∵等边，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 中，，， ∴，， 同理，中，由可得， 中，由可得， ∴， ∵， ∴当时，最大， 即的面积最大值为． 53．如图所示，在平面直角坐标系中，的半径为2，动弦，是的中点，直线与轴交于，与轴交于，连接和，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先证明点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆，过点O作于F，交小圆于，则，观察图象可知，当点C与重合时，面积最大． 【详解】解：与轴交于，与轴交于， ，， ，，， 连接，． ，， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 过点作于，交小圆于，则， 观察图象可知，当点与重合时，的面积最大，最大值． 【点睛】本题考查了垂径定理，一次函数的性质，轨迹，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点C的运动轨迹． 54．如图，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】由抛物线得，，，可得，顶点，点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，由垂径定理得到，从而得出点在以点为圆心，半径为1的半圆上，如图，当点运动到点，点运动到点时，的长最大，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，并取中点，连接，，，， ∵抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，C， ∴当时，，即， 当时，，解得：，，即，， ∵以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I， ∴点，的半径为2， ∵， ∴顶点D的坐标为：， ∴，， ∴和为等腰直角三角形，，点D在上， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵点Q为弦的中点， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为1的半圆上，如图，当点运动到点，点运动到点时，的长最大，最大为， ∴线段的长最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，本题综合性较强，关键在于确定，本题综合性强，难度较大． 55．已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数由解析式求顶点坐标、交点坐标，三角形中位线的性质，圆外一点到圆周上一动点连线的最值问题，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意，可求出点Ｂ和顶点Ｃ的坐标，利用三角形的中位线转化成求圆外一定点Ｂ到圆周上动点Ｇ连线的最大值问题，根据圆心到定点的距离加上圆的半径为距离的最大值，继而求解 【详解】解：如图，连接． 由题意得， ， 当的值最大时，的值最大， ， , , 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值为， 的最大值为．　 故答案为：． 三、解答题 56．问题探究： (1)如图1，在中，，是边上的点，过点作于，则的值为_________； (2)如图2，在等腰直角中，，，是边的中点，若是边上一点，试求：的最小值； (3)如图3，为等边三角形，为中点，连接，以为斜边向上作等腰，为线段上的一个动点，连接，若，则当取最小值时，_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质，即可求解； （2）作，于，于交于，利用等腰直角三角形的性质得到，，再求出，得到，由此得到最小值为的长，计算即可得到答案； （3）过点作于点，过点作于点，作于点，且交于点，根据等边三角形的性质可得：，，求出，由等腰直角三角形的性质可得：，得到，当、、三点共线，即点与点重合时，最小，推出，得到，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为：； （2）如图3中，作，于，于交于． 是等腰直角三角形，， ，， 点是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 根据垂线线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，， 即的最小值为； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，作于点，且交于点， 为等边三角形，为中点，， ，， ，， 以为斜边向上作等腰， ， ，， ， ， 当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，最短路径问题，等边三角形的性质，将所求线段和转化为一条线段是此类题的特点，依此做辅助线解答． 57．如图，是正方形外一点，连接，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，连接． (1)如图所示，______与______互为全等三角形（写出一组即可）． (2)探究并回答下列问题： ①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； ③当的最小值为时，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1)与，与，与，与，与，（写出一组即可） (2)①当点在中点处时，的值最小；②与的交点即为所求点，理由见解析；③正方形的边长为 【分析】(1)根据证明三角形全等即可； (2)①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在的中点时，的值最小；根据“两点之间线段最短”，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长即可，③过点作交的延长线于，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理即可求得正方形的边长． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 故答案为：与，与，与，与，与，（写出一组即可）； （2）解：①四边形为正方形， 对角线，互相平分， 点三共线，此时的值最小， 当点在中点处时，的值最小； (②如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小， 理由如下：连接，由(1)知，， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 根据“两点之间线段最短”可知，与的交点即为所求点，使得取得最小值，最小值为； ③如图，过点作交的延长线于， ， 设正方形的边长为， 则根据勾股定理得，， 在中， ， 解得，(舍去负值)， 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度的直角三角形三边的关系，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能正确找出取线段和最小值时M的位置是解决此题的关键． 58．如图，在矩形中，，点为边上一动点，以为边向右作直角三角形，使，连接，求的最小值．    【答案】 【详解】以为斜边向下作，使，连接，如图所示，由含的直角三角形性质得到相应边长，再由相似三角形的判定与性质得到，作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图所示，利用含的直角三角形性质得到相应边长，再由勾股定理求出，最后由三角形三边关系确定的最小值． 【分析】解：以为斜边向下作，使，连接，如图所示：    在矩形中，，则， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图所示：    则，，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查动点最值问题-胡不归，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握动点最值问题-胡不归的解法是解决问题的关键． 59．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标； (3)以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 60．如图，等腰直角中，斜边，点D、E分别为线段和上的动点，，求的最小值． 【答案】 【详解】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段的最值问题，作 并且使得，证明，推出，则，可得当三点共线时，取最小值，此时，反向延长，过点A作于点H，用勾股定理解即可． 【分析】解：作 并且使得，连接， ∵等腰直角中，斜边， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取最小值，此时， 反向延长，过点A作于点H，得等腰直角， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 中考最值汇编训练 中考几何最值问题综合性强，常结合对称、旋转、勾股定理、圆的性质等知识，以下是近年常考题型： （1） 将军饮马问题（最短路径） （2） 垂线段最短 （3） 动点轨迹型 （4） 旋转/翻折型 （5） 隐圆模型（定角对定边 （6） 费马点问题 （7） 胡不归 （8）阿氏圆 一、单选题 1．如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为（　　） A． B． C． D．2 2．如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，若点M，点N分别在边和边上运动，且，连接，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 4．如图，直线与轴、轴分别交于两点，点是以为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接，则面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 5．如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B． C．3 D． 7．如图，，，交于点，是中点，过点作交于点．在线段上，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，点是边的中点，点是边的上任意一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则周长的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 9．如图，，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 二、填空题 10．如图，抛物线与轴交于A，B两点，点是以抛物线的顶点为圆心，2为半径的圆上的动点，点是线段PB的中点，连接OQ则线段OQ的最小值是 ． 11．如图，在矩形中，，，E，F分别是和上的两个动点，M为的中点，则的最小值是 ． 12．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的最小值是 ． 13．如图，四边形是边长为2的正方形，E是平面内一点，，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接．则长的最小值为 14．如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为 ． 15．如图，在正方形中，，点分别在边上，，连接与交于点G，连接，则的最小值为 ． 16．如图，在中，，，．如果，分别为，上的动点，那么的最小值是 ． 17．如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为 ． 18．已知，如图点A是直线上任意一点，点B在以为圆心1为半径的圆上，以AB为底边作等腰直角（A、B、C按逆时针顺序排列），连接OC，则OC的最小值是 ． 19．如图，中，，，，点分别在边上运动，且，连接，则的最小值为 ． 20．如图，在中，，，动点、分别在、上，且，连接、．若，则的最小值为 ． 21．如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点为射线上一点，过点作于点，连接，点为中点，则的最小值为 ． 22．如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 23．如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，则的最小值为 ． 24．如图，在中，，，是平面内一点，，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的最大值为 ，最小值为 ． 25．如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 26．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的一动点，且，则的最小值是 ．    27．如图，已知，，为边上一动点，连接，点在延长线上，且，则的最小值为     28．已知，在中，，点P是内一动点，则的最小值为 29．如图，为半圆O的直径，点C在半圆上一动点（与A、B不重合）．将绕点A逆时针旋转得，连接．若，则的最小值为 ． 30．如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，，，，点为以为半径的圆上一动点，则的最小值为 ． 32．如图，在中，，，D为上的一个动点，以为直径的圆O与相切于点B，交于点E，则的最小值为 ． 33．如图，正方形的边长为4，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为 ．    34．如图，边长为4的等边中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接A．则在点M运动过程中，的度数是 ，线段长度的最小值是 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线上的一个动点，则长的最小值为 ． 36．如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是 ． 37．如图，在中，，，，，点、、分别是、、上的动点，且，则的最小值为 ． 38．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 ． 39．如图，正方形的边长为4，M，N为线段上的两个动点，，交对角线于点E，连接，交于点F，连接，则线段的最小值为 ． 40．如图，在等边中，，点在边上，且，点为边上一点，连接，在的右侧作，且，连接，则的最小值为 ． 41．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是 ．    42．如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ． 43．如图，在矩形中，，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为 ．    44．如图，在等腰中，，，点是延长线上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ． 45．如图，在中，，，，点D为内一动点，且满足，则的最小值为 ． 46．如图，中．，，D、E分别是AB，AC上的动点．且，则的最小值为 47．如图，为的直径，C为半圆上的一动点，以为边向外作等边（点D在直线的上方），连接．若的半径为2，则线段的最大值为 ． 48．如图，在中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 49．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则a的最大值是 ． 50．如图，凸四边形中，，．若，，则对角线的最大值为 ． 51．如图，在中，，点D是的中点，，则的最大值为 ． 52．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ． 53．如图所示，在平面直角坐标系中，的半径为2，动弦，是的中点，直线与轴交于，与轴交于，连接和，则的面积的最大值为 ． 54．如图，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．则线段的最大值为 ． 55．已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ． 三、解答题 56．问题探究： (1)如图1，在中，，是边上的点，过点作于，则的值为_________； (2)如图2，在等腰直角中，，，是边的中点，若是边上一点，试求：的最小值； (3)如图3，为等边三角形，为中点，连接，以为斜边向上作等腰，为线段上的一个动点，连接，若，则当取最小值时，_______． 57．如图，是正方形外一点，连接，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，连接． (1)如图所示，______与______互为全等三角形（写出一组即可）． (2)探究并回答下列问题： ①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； ③当的最小值为时，请直接写出正方形的边长． 58．如图，在矩形中，，点为边上一动点，以为边向右作直角三角形，使，连接，求的最小值．    59．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标； (3)以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值． 60．如图，等腰直角中，斜边，点D、E分别为线段和上的动点，，求的最小值． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$