精品解析：河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期3月二模测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期03月二模测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合,再利用集合的包含关系得到参数满足的条件求解即可. 【详解】解集合， 解集合， 因为，所以， 故选：B. 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出，再根据公式求其模长. 【详解】; ; . 故选：C. 3. 在平面直角坐标系中，已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由，得可求出的值，从而可求出. 【详解】因为，所以 所以，故 故选：D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D. 【详解】函数的定义域为， 当时，，当时，，故选项C错误， 当时，，当时，，故选项A错误， 且，， 因为，所以，故选项D错误. 只有B中图象符合题意， 故选：B. 5. 已知点M是抛物线上的一点，过点M作的一条切线，P为切点，点M在C的准线l上的射影为点D．当M，E，D三点共线时，（ ） A. B. C. 60 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设出的坐标，结合抛物线的方程得到点的坐标，根据，，三点共线，求出，结合弦长公式和勾股定理求解即可． 【详解】设， 因为抛物线的方程为， 所以准线的方程为， 可得， 因为，，三点共线，则三点纵坐标相等， 易知圆的圆心，半径，所以， 所以， 在中，， 则． 故选：A． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解. 【详解】因为， 将式子的左右两侧同时除以，可得 ， 即. 故选：D 7. 在等比数列中，，记，则数列（ ） A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而结合等差数列的求和公式可得，设，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 则，解得，， 则， 则 ， 设，则， 所以， 则时，，即， 当时，，即， 则，则为最大项， 此时为正数项，且在正数项中最大； 再由,，，因此为最小项. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】因为，故为的中位线，,由此得到，再利用得到，推出，结合角平分线定理，找出，进而得解； 【详解】如图，记l与轴交于点， 由双曲线的定义，，, 因为，为中点，故为的中位线，, , 易知，,故,故， 由的角平分线为l，由角平分线的性质得：, 所以, 故为直角三角形，面积为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下， 甲：118，120，135，133，147，141； 乙：117，126，119，127，119，129． 则下列四个结论中，正确的是（ ） A. 甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差 B. 甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数 C. 甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值 D. 甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据一组数据的极差、中位数、平均数与方差的概念和计算公式，计算分析即可判断. 【详解】对于A，甲同学得分的极差为，乙同学得分的极差为， 甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差，故A正确； 对于B，甲的数据从小到大排列后，处于中间的数是133，135，所以甲得分的中位数是134， 同理求得乙得分的中位数是122.5，因此甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数，故B正确； 对于C，甲同学得分的平均值为， 乙同学得分的平均值为， 故甲同学得分的平均值大于乙得分的平均值，故C正确： 对于D，分别计算甲、乙两个得分的方差，方差小的成绩更稳定． 甲的方差为：， 乙的方差为：， 因为乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D不正确. 故选：ABC． 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 极大值点仅有一个 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，关于的方程共有3个实根 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，故A错误； 对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点， 当时，，则，此时函数单调递增， 当时，，此时函数有极小值点，无极大值点， 综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误. 故选：BC. 11. 在四棱锥中，，，，，，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为 C. D. 点在半径为的球面上 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，取的中点，连接、，证明四边形为梯形，结合线面平行担的性质，即可判断；对于B，设的中点为，连接、、，求出点的轨迹，即可判断；对于C，，求出的范围即可判断；对于D，设的中点为，连接，求出的长度即可判断. 【详解】对于A选项，取线段的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因为，则，则、、、四点共面， 若平面，且平面，平面平面，则， 事实上，因为，且，故四边形为梯形，则、不平行， 故假设不成立，即与平面不平行，A错； 对于B选项，取的中点，连接、、，如下图所示： 由题意四边形为直角梯形，，，，， 则为等腰直角三角形，则，则， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，， 由余弦定理可得， 所以，， 所以，， 则， 因为，所以点在以为球心，为半径的球面上运动（不过平面）， 则，所以，的长可能为，B对； 对于C选项，因为， ， 因为、不共线，所以， 所以，故C正确； 对于D选项，设的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，则， 所以点在以为球心，为半径的球面上运动，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有： （1）通过面面平行得到线面平行； （2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】总的基本事件有，共10个， 两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有，共4个， 所以所求概率. 故答案为： 13. 若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由台体体积公式进行求解. 【详解】体积. 故答案为： 14. 实数，满足，，则的最小值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】由，可得， 通过研究函数，可得，然后可化为 函数图象上一点到直线上一点距离的平方，据此可得答案. 【详解】 . 对于，，则在R上单调递增， 又，则，故， 表示函数图象上一点到直线上一点距离的平方， 则最小值为函数图象与直线平行切线上一点到直线的距离的平方. ，令， 则与直线平行切线对应的切点为：，其到直线距离为. 则最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点睛：对于指数，对数同时出现的题目，常利用指对互化产生相同结构；对于平方型问题，常可转化为两点距离公式来思考. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【小问1详解】 因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 16. 如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． （1）证明：平面AMC； （2）求平面和平面AMC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，由题意知平面， 所以，又，， 所以，因为M是的中点，所以． 因为平面ABC，所以， 又，，所以平面，所以． 因为，所以平面AMC． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，可证，由平面ABC，得，利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，由（1）知平面AMC的一个法向量为，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，以直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则，取， 由（1）知平面AMC的一个法向量为， 因为， 所以平面和平面AMC夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证. （3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 略. 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的条件，求出即可； （2）（i）设，由已知可得，根据点在椭圆上，可得，可求得最大值；（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意可得，设直线的方程为：，联立方程组，由根与系数的关系可得，求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 椭圆方程为， 【小问2详解】 （i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 的方程为. 19. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. （1）若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; （2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 【答案】（1）（i） 1 2 3 4 （ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）将事件 “”分拆成两两互斥的事件的和，利用概率的加法公式，结合等比数列前项和公式求解. （2）求出在的条件下，的可能取值，求出对应的概率及期望，再利用全概率公式求出，进而求出的期望的递推公式，利用等比数列通项公式求得. 【小问1详解】 （i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 的数学期望为 （ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞， 且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而， 因此， 所以事件 “” 的概率为. 【小问2详解】 在的条件下，的可能取值为， 则， ， 因此 ， （）， 由全概率公式得， 于是的期望 ，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以，即的期望为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期03月二模测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 在平面直角坐标系中，已知且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点M是抛物线上的一点，过点M作的一条切线，P为切点，点M在C的准线l上的射影为点D．当M，E，D三点共线时，（ ） A. B. C. 60 D. 68 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在等比数列中，，记，则数列（ ） A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下， 甲：118，120，135，133，147，141； 乙：117，126，119，127，119，129． 则下列四个结论中，正确的是（ ） A. 甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差 B. 甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数 C. 甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值 D. 甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 极大值点仅有一个 C. 无最大值，有最小值 D. 当时，关于的方程共有3个实根 11. 在四棱锥中，，，，，，是的中点，则（ ） A. 平面 B. 的长可能为 C. D. 点在半径为的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是_________． 13. 若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为____________. 14. 实数，满足，，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 16. 如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． （1）证明：平面AMC； （2）求平面和平面AMC夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 19. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. （1）若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; （2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $