精品解析：北京市东城区广渠门中学 2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试题

北京市广渠门中学2025届初三年级3月检测数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于（　　） A. 140° B. 120° C. 100° D. 80 3. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( ) A. a+b＞0 B. ab＞0 C. a＞b D. |a|＞|b| 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 5. 已知太阳光射到地球上的时间约为8分20秒，光速约为，则地球与太阳的距离约为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线 ．其作图过程如下：(1)如图2，在射线 上取一点D(不与点O重合)，作，且点C落在内部； (2)如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线 于点P，作射线 ，射线 就是的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线 是的平分线过程中不可能用到的依据是( ) A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，内错角相等 C. 等边对等角 D. 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________. 10. 分解因式_____． 11. 分式方程的解为_______． 12. 在平面直角坐标系 中，点 在双曲线上．点 关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______. 13. 某商场为了解顾客对某一款式围巾的不同花色的需求情况，调查了某段时间内销售该款式的30条围巾的花色，数据如下： 花色 A B C D E F G H 销售量/条 2 2 4 5 3 9 1 4 若商场准备再购进200条同款式围巾，估计购进花色最多的围巾数量为________条． 14. 如图，点A，B，C是上的三点．若 ，，则的度数为______． 15. 如图，在矩形中，，，为矩形内部一点，连接，，，当，时，的长为______． 16. 餐厅用西瓜、哈密瓜、火龙果三种水果两两搭配做成水果拼盘，有以下三种搭配方式： 搭配方式 西瓜 哈密瓜 火龙果 总质量 搭配一 搭配二 搭配三 （1）若三种水果共用了，则搭配三的数量为_______； （2）若使用的西瓜不超过，使用的火龙果不超过，则搭配二的数量最多是_______． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知 ，求代数式的值． 20. 如图，在菱形中，对角线 相交于点，点为的中点，连接 并延长至点 ，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，菱形的周长为80，求的值． 21. 某公司为节能环保，安装了一批 型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏 型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏 型节能灯每年的用电量． 22. 在平面直角坐标系 中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． （1）求该函数的表达式及点C的坐标； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 23. 为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图． （1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； （2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）： 已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______； （3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为_______． 24. 如图，是的直径，，与交于点E，的切线 交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接 并延长，交 的延长线于点G．若E为 的中点，的半径为4，求 的长． 25. 光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在 至 气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（ ） 呼吸作用耗氧速率（ ） （1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； （2）结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线的对称轴为直线 ． （1）求 的值（用含的代数式表示）； （2）点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 27. 如图，等边 中， 是边上一点，且，点 关于直线的对称点为连接， ，在线段上取一点 ，使得，直线 与直线 交于点 ． （1）①依题意补全图形； ②若，求的度数（用含 的代数式表示）； （2）用等式表示线段与 的数量关系，并证明． 28. 如图，在平面直角坐标系 中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α． （1）点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； （2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当 时，若轴，求点P的坐标； （3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2025届初三年级3月检测数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 北京城区的胡同中很多精美的砖雕美化了生活环境，砖雕形状的设计采用了丰富多彩的图案．下列砖雕图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义与判断，根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项验证即可得到答案．熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于（　　） A. 140° B. 120° C. 100° D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对顶角相等得出∠AOC＝80°，再根据角平分线的定义得出∠COM＝40°，最后解答即可. 【详解】解：∵∠BOD＝80°， ∴∠AOC＝80°，∠COB＝100°， ∵射线OM是∠AOC的平分线， ∴∠COM＝40°， ∴∠BOM＝40°+100°＝140°， 故选A． 【点睛】此题考查对顶角和角平分线的定义,关键是得出对顶角相等. 3. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( ) A. a+b＞0 B. ab＞0 C. a＞b D. |a|＞|b| 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上点表示的数右边的总比左边的大，绝对值的意义，有理的数的运算，可得答案． 【详解】解：由数轴，得a=-2，1＜b＜2，|a|＞|b| A. a+b<0，故A不符合题意； B. ab＜0，故B不符合题意； C.a＜b，故C不符合题意； D. ，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点表示的数右边的总比左边的大，绝对值的意义得出a=-2，1＜b＜2，|a|＞|b|是解题关键． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. -1 C. -5 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5． 故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0． 5. 已知太阳光射到地球上的时间约为8分20秒，光速约为，则地球与太阳的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案． 【详解】解：8分20秒秒， 则地球与太阳的距离约为， 故选：B． 6. 不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黑球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到红球的概率为； 故选：A 【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 7. 综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线 ．其作图过程如下：(1)如图2，在射线 上取一点D(不与点O重合)，作，且点C落在内部； (2)如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线 ，射线 就是的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线 是的平分线过程中不可能用到的依据是( ) A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，内错角相等 C. 等边对等角 D. 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线性质和判定，等腰三角形性质，角平分线判定，熟练掌握相关性质并灵活运用得到其证明过程，根据其过程判断不可能用到的依据即可． 【详解】解：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故A、B会用到，不符合题意； 以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P， ， （等边对等角）， ， 射线 就是的平分线． 故C会用到，不符合题意； 综上所述，D不可能用到， 故选：D． 8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到①AE＝BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；由Rt△ABE≌Rt△BCF得S△ABE＝S△BCF即可判定④正确． 【详解】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ∴CF＝BE， 在△ABE和△BCF中，， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确； 又∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CBF+∠BEA＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF，故②正确； 根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CFB＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠PFB， ∴QF＝QB，故③正确； ∵Rt△ABE≌Rt△BCF， ∴S△ABE＝S△BCF， ∴S△ABE﹣S△BEG＝S△BCF﹣S△BEG， 即S四边形ECFG＝S△ABG，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要是考查了三角形全等、正方形的性质，熟练地综合应用全等三角形以及正方形的性质，证明边相等和角相等，是解决本题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则 的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可. 【详解】要使有意义，则需要，解出得到. 【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键. 10. 分解因式_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，先提公因式，再用公式法分解． 先提取公因式3，再利用平方差公式对括号内的式子进行分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系 中，点 在双曲线上．点 关于 轴的对称点 在双曲线上，则的值为______. 【答案】0. 【解析】 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上， ∴k1=ab； 又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，-b） ∵点B在双曲线上， ∴k2=-ab； ∴k1+k2=ab+（-ab）=0； 故答案为0． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 13. 某商场为了解顾客对某一款式围巾的不同花色的需求情况，调查了某段时间内销售该款式的30条围巾的花色，数据如下： 花色 A B C D E F G H 销售量/条 2 2 4 5 3 9 1 4 若商场准备再购进200条同款式围巾，估计购进花色最多的围巾数量为________条． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 总数量乘以花色数量所占比例即可． 【详解】解：估计购进花色最多的围巾数量为（条， 故答案为：60． 14. 如图，点A，B，C是 上的三点．若 ， ，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理求得 的度数，根据 的度数求即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得 的度数是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，为矩形内部一点，连接，，，当，时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过A作 干F，根据相似三角形的判定与性质得出比例式，进而利用勾股定理列出方程求解即可． 本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的判定与性质得出比例式是解题的关键． 【详解】解：如图：过A作 干F，即：， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则, 在中，,即，解得： (负值舍去)， ∴． 故答案为：． 16. 餐厅用西瓜、哈密瓜、火龙果三种水果两两搭配做成水果拼盘，有以下三种搭配方式： 搭配方式 西瓜 哈密瓜 火龙果 总质量 搭配一 搭配二 搭配三 （1）若三种水果共用了，则搭配三的数量为_______； （2）若使用的西瓜不超过，使用的火龙果不超过，则搭配二的数量最多是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数加法及乘法的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列式是解题的关键． （1）当每种搭配的数量是 时，，不符合题意，此时水果还剩 ，，得到，得出若三种水果共用了，则搭配三的数量为，即可得到答案； （2）设搭配二的数量最多是 ，根据题意得，解得，得到搭配二的数量最多是 ，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每种搭配的数量是 时，， 不符合题意， ，， ， 若三种水果共用了，则搭配三的数量为， 故答案为：； （2）解：设搭配二的数量最多是 ， 根据题意得， 解得：， 搭配二的数量最多是 ， 故答案为： ． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及0指数幂的计算法则，计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解：解不等式， 得：， 解不等式， 得：， 所以原不等式组的解集是． 19. 已知 ，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键；将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值； 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 20. 如图，在菱形中，对角线 相交于点，点为 的中点，连接 并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，菱形的周长为80，求的值． 【答案】（1） 证明：为 的中点，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，求角的正切值，勾股定理： （1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得 即可推出四边形是矩形； （2）由菱形的性质得到 ，， ，则由矩形的性质得到，，由勾股定理得到，再根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的周长为80， ∴，， ， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，． 21. 某公司为节能环保，安装了一批 型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的 型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏 型节能灯每年的用电量比一盏 型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏 型节能灯每年的用电量． 【答案】 千瓦·时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列出分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏 型节能灯每年的用电量为 千瓦·时， 则一盏 型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏 型节能灯每年的用电量为 千瓦·时. 22. 在平面直角坐标系 中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． （1）求该函数的表达式及点C的坐标； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数与不等式之间的关系： （1）先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出当 时， ，即可求出点C的坐标； （2）解不等式组得到，再根据不等式组有解，以及当 时，不等式组一定成立可得，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， 在中，当 时， ， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 解得， ∵当 时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3， ∴， ∴． 23. 为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图． （1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； （2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）： 已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______； （3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为_______． 【答案】（1）①90，87．5； ②如图所示，在图中圈出的就是所求． （2）B （3）180 【解析】 【分析】（1）①根据图象直接得到，再求平均即可；②符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，圈出即可； （2）根据统计图数出落在各区间的频数，再与在直方图上表示的数对照即可求解； （3）用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可． 【小问1详解】 解：①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是（85+90）÷=87．5， 故答案为：90，87．5． ②符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上． 【小问2详解】 由统计图可以看出，70≤x<75的点有7个，75≤x<80的点有2个，80≤x<85的点有1个，85≤x<90的点有1个，90≤x<95的点有5个，95≤x≤100的点有4个， ∴B作图正确． 【小问3详解】 解：400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为： （人）． 【点睛】本题考查了看图知识，求平均数，频数分布直方图，解题的关键是掌握频数分布直方图知识． 24. 如图， 是 的直径，，与 交于点E， 的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接 并延长，交的延长线于点G．若E为的中点， 的半径为4，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ 的切线交的延长线于点F， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴三点共线， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理的推论，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定： （1）由垂径定理的推论可得，再由切线的性质得到 ，据此可证明结论； （2）连接，先解直角三角形得到，则可求出，则由垂径定理的推论可得；证明 是等边三角形，得到 ，可求出，证明，求出，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵E为的中点， 的半径为4， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 25. 光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在 至 气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（ ） 呼吸作用耗氧速率（ ） （1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为 ，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； （2）结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 【答案】（1） 描点及图象如图所示： （2）① ；② 或 【解析】 【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键． （1）描点并用光滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根据图象作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由图象可知，当 时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大， 故答案为： ； ②由图象可知，当 或 时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率． 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线的对称轴为直线 ． （1）求的值（用含的代数式表示）； （2）点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）， 理由如下： 令 ，得． ∴． ∴抛物线与x轴的两个交点为，． ∵抛物线与x轴的一个交点为，其中， ∴． ∵， ∴． ∴，． 设点关于抛物线的对称轴 的对称点为． ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由，得． ∴． ∴． ∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线开口向上． 当时， 随 的增大而增大． ∵点，，在抛物线上，且， ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础． （1）直接根据对称轴公式即可解答； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【小问1详解】 解：由题意得，对称轴为直线， 即． 【小问2详解】 略 27. 如图，等边 中， 是 边上一点，且，点 关于直线的对称点为连接，，在线段上取一点，使得，直线与直线 交于点． （1）①依题意补全图形； ②若，求的度数（用含 的代数式表示）； （2）用等式表示线段与 的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；② （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据题意作图即可； ②根据等边三角形性质得，则，再根据可得出的度数； （2）连接，，延长，交于点 ，根据对称性得， ，，，进而得 ，，则，，，由此可证，，进而可依据“”判定和全等，则，由此得，则，据此可得线段与 的数量关系． 【小问1详解】 解：①如图所示， ②∵ 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 线段与 的数量关系是：， 证明如下： 连接，，延长，交于点 ，如图所示： ∵点 关于直线的对称点为， ∴， ，，， ，， ∴，，， ，， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又∵， ∴， ∴ ， ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，理解等边三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 28. 如图，在平面直角坐标系 中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α． （1）点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； （2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当 时，若轴，求点P的坐标； （3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在 上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 【答案】（1）B，C； （2）①2；②； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确理解题目所给“对称旋转”的定义，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）根据“α对称旋转”新定义即可判断; （2）①由旋转可得和均为等边三角形，进而推出即可证得结论;②根据“α对称旋转”新定义得点Q的坐标为，，，进而得出，再利用勾股定理即可求得答案; (3) 点M在 上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且,则与x轴相切，再证得，即可求得答案； 【小问1详解】 解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点T顺时针旋转得，再绕点S逆时针旋转得，如图所示： 不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 同理可得，是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 故答案为： B，C； 【小问2详解】 ①当时，如图， x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：2； ②当 时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点，则, 如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线， 轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 点Q的坐标为， 点绕点T逆时针旋转30°得到点Q， ，， ， ， ， ， ， ， , 点P的坐标为． 【小问3详解】 点M在 上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且, 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使， ″ ， ，，， ， ， 故； 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $