精品解析：湖南省衡阳市四校2024-2025学年八年级下学期第一次教学检测（3月月考）数学试题

2025年上学期八年级数学第一次教学检测试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列代数式中，属于分式是（　　） A. B. C. D. 2. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 3. 最薄的金箔的厚度为，用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ） 金额 数量/升 单价/元 A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 5. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以每小时80千米/小时的速度用了6小时，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数关系为（ ） A. v = 80t B. v = C. v = D. v =6－ 8. 如果把中与都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ） A. 缩小为原来 B. 不变 C. 扩大到原来的3倍 D. 扩大到原来的9倍 9. 解分式方程，去分母后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某施工队挖一条的渠道，开工后，每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 约分：__________． 12. 计算3-2的结果是_________ 13. 若分式的值为零，则的值为______． 14. 在边长为的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积（）与圆的半径（）之间的函数表达式为______（不要求写自变量的取值范围）． 15. 若分式方程无实数解，则______ 16. 下图是关于变量，的计算程序，若开始输入的值为，则最后输出因变量的值为__________． 17. 某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知类器材比类器材的单价低10元，用150元购买类器材与用300元购买类器材的数量相同，若设类器材的单价为元，则可列方程______． 18. 若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 _____． 三、解答题（共66分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 解分式方程：． 21. 先化简，再求值：，并从0，1，3中选一个合适数代入求值． 22. 如图，点在数轴上，它们所表示的数分别是，且点到原点的距离相等．求的值． 23. 王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为． （1）分别求出，与x之间的关系式； （2）王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 24. 下面是小彬同学进行分式化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______或填为______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请你写出该分式化简后的正确过程及结果． 25. “四方食事，不过一碗人间烟火”，地摊经济、小店经济是另一类就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用360元购进型玩具的数量比用100元购进型玩具的数量多20个，且型玩具单价是型玩具单价的2倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ （2）该经营者准备用1022元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 26. 如图， 在长方形中， ，点 是对角线 的中点．动点 从点出发，沿方向以的速度向点 匀速运动；同时动点从点出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延长交于点 ， 连接 并延长交 于点， 设运动时间为 ． 解答下列问题： （1） 的长为 ， 的长为 ； （2）当 为等腰直角三角形时，求值； （3）设四边形 的面积为 求与之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期八年级数学第一次教学检测试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的判断， 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】因为是单项式，所以A不符合题意； 因为是单项式，所以B不符合题意； 因为是分式，所以C符合题意； 因为是多项式，所以D不符合题意． 故选：C． 2. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了通分，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是 故选：A． 3. 最薄的金箔的厚度为，用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ） 金额 数量/升 单价/元 A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：D． 5. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是理解并掌握分式有意义的条件：当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．据此可得，求解即可获得答案． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：A． 6. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 7. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以每小时80千米/小时的速度用了6小时，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数关系为（ ） A. v = 80t B. v = C. v = D. v =6－ 【答案】B 【解析】 【分析】先求得路程，再由等量关系“速度=路程÷时间”列出关系式即可． 【详解】解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6=480千米， ∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v =． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系． 8. 如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大到原来的3倍 D. 扩大到原来的9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质即可求解． 【详解】解：把中的与都扩大3倍，得． 故选：B． 9. 解分式方程，去分母后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程去分母的知识，分式方程中的分母分别为x和，确定出最简公分母为；再根据等式的基本性质，给方程两边同乘最简公分母，问题即可迎刃而解． 【详解】解：， 方程的两边同乘，得． 整理得， 故选：C． 10. 某施工队挖一条的渠道，开工后，每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务”列方程求解．设原计划每天挖，根据“每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务”可列出方程． 【详解】解：设设原计划每天挖，根据题意得： 2 故选A． 二、填空题（共24分） 11. 约分：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了约分，掌握约分的定义是解题关键． 直接将分子与分母约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算3-2的结果是_________ 【答案】 【解析】 【分析】直接运用负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，熟练掌握计算公式务正整数）是解答本题的关键． 13. 若分式的值为零，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据且，计算即可． 本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得， 故答案为：． 14. 在边长为的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积（）与圆的半径（）之间的函数表达式为______（不要求写自变量的取值范围）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式．剩下铁皮的面积正方形的面积圆的面积．据此求解即可． 【详解】解：依题意得． 故答案为：． 15. 若分式方程无实数解，则______ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解；原方程去分母，解整式方程求得x，再根据分式方程无解可得的值．掌握分式方程增根的概念是解决此题的关键． 【详解】解：分式方程去分母，得， 整理得：， 当，即时，分式方程无解， 把代入，得， 解得：； 故答案为：． 16. 下图是关于变量，的计算程序，若开始输入的值为，则最后输出因变量的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查按照程序流程图进行有理数运算，求函数值，看懂程序流程图按要求求解是解决问题的关键． 根据程序流程图，按照要求，当开始输入的值为6时，代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，当时，， 输出， 故答案为：42． 17. 某学校为了增强学生体质，准备购买一批体育器材，已知类器材比类器材的单价低10元，用150元购买类器材与用300元购买类器材的数量相同，若设类器材的单价为元，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式方程的实际运用，设B类器材的单价为x元，则A类器材的单价是元，根据150元购买A类器材与用300元购买B类器材的数量相同列出方程即可． 【详解】解：设B类器材的单价为x元，则A类器材的单价是元，由题意得， 故答案为：． 18. 若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴， ∵不等式组至少有4个整数解，即，0，1，2， ∴， 解得：， 根据分式方程解得：， ∵分式方程解为非负数， ∴且， 解得：且， ∴a的范围是且， 则整数解，0，2，3，4, 整数a的值之和为． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 三、解答题（共66分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再加减即可； （2）根据分式的乘除混合运算解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并得：， 系数化为1得：， 经检验是分式方程的解． ∴分式方程的解为． 21. 先化简，再求值：，并从0，1，3中选一个合适数代入求值． 【答案】，当时，原式的值为 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可先对分式进行加减乘除运算，然后再去能使分母不为0的数代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ； ∵ ∴当时，则原式． 22. 如图，点在数轴上，它们所表示的数分别是，且点到原点的距离相等．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了分式方程．根据列出方程，再解出方程，即可求解． 【详解】解：由题意，得． 去分母，得， 解得． 检验∶当时，， ∴是原方程的根， 的值是． 23. 王华用练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为． （1）分别求出，与x之间的关系式； （2）王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 【答案】（1）， （2）买25个练习本到乙商店购买更优惠，见解析 【解析】 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，求函数值； （1）根据甲、乙两个商店的优惠方案写出关系式即可； （2）把分别代入两个关系式求出费用，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意，得： ， ； 【小问2详解】 解：买25本练习本， 甲商店的费用为（元） 乙商店的费用为（元） 因为44＞42.5， 所以买25个练习本到乙商店购买更优惠． 24. 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______或填为______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请你写出该分式化简后的正确过程及结果． 【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变 ②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 任务二：过程见解析， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算：先化简各个分式，再通分化为同分母，然后进行同分母的减法运算，运算的结果要化成最简分式或整式． 任务一：①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空； ②根据去括号法则进行分析判断； 任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算； 任务三：结合分式的化简求值要求，异分母分式加减法运算法则进行分析解答． 【详解】解：解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变， 故答案为：三，分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变； ②第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：五；去括号时，括号前面是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二：原式 ． 25. “四方食事，不过一碗人间烟火”，地摊经济、小店经济是另一类就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用360元购进型玩具的数量比用100元购进型玩具的数量多20个，且型玩具单价是型玩具单价的2倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ （2）该经营者准备用1022元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 【答案】（1）型玩具单价是8元，型玩具的单价是4元 （2）则最多可购进型玩具55个 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据数量关系分别列出分式方程和一元一次不等式． （1）设型玩具的单价是元，则型玩具的单价是元，根据A，B型玩具的数量关系列出分式方程求解； （2）设购进型玩具个，则购进型玩具个，根据总价不超过1022元列出一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设型玩具的单价是元，则型玩具的单价是元， 由题意，可列方程， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：型玩具的单价是8元，型玩具的单价是4元； 【小问2详解】 解：设购进型玩具个，则购进型玩具个，由题意得， ， 解得， 整数最大值为55． 答：则最多可购进型玩具55个． 26. 如图， 在长方形中， ，点 是对角线 的中点．动点 从点出发，沿方向以的速度向点 匀速运动；同时动点从点出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延长交于点 ， 连接 并延长交 于点， 设运动时间为 ． 解答下列问题： （1） 的长为 ， 的长为 ； （2）当 为等腰直角三角形时，求的值； （3）设四边形 的面积为 求与之间的关系式． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的判定和性质，求函数的解析式； （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形到现在列方程即可得到结论； （3）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，证明，根据长方形的面积的面积的面积，即可得到结论． 【小问1详解】 解： ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 四边形是长方形， ， ， 点是对角线的中点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ； 【小问3详解】 四边形是长方形， ， ， ，， ， 由（2）知，， 又∵ ， 同理， 长方形的面积的面积的面积 ， 即与之间关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$