精品解析： 重庆市长寿实验中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

实验中学初2023级八年级下期第一学月定时作业 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中，是二次根式的有（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式； B. 5是整数，不是二次根式； C. 是二次根式； D. 是三次根式，不是二次根式； 故选C． 2. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键． 4. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，从而得出，即可得解，正确估算无理数的值是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的值应在1和2之间， 故选：B． 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴ ∴这棵大树在折断前的高度为， 故选：C． 6. 如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D， E， 现测得， 则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理； 根据题意可知是的中位线，然后由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半计算即可． 【详解】解：∵点D， E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 三个角是直角的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； D、三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 8. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A. 24 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4， ∴AC⊥BD， OA=AC=3， OB=BD=2， AB=BC=CD=AD， ∴在Rt△AOB中，AB==， ∴菱形的周长为4． 故选C． 9. 如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁A点正对，离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 10. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为：且； ②存在实数x，使得； ③存在两个无理数x，使得是一个整数． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将M，N代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将M，N代入再整理，讨论得出答案． 【详解】根据题意可知且， 解得且． 所以①不正确； 由，得， 解得． 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解， ∴不存在． 所以②不正确； 根据题意，得 ． ∵是一个整数， ∴或， 解得或或或． ∵x为无理数，且， ∴． 所以③不正确． 所以正确的有0个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论． 二、填空题．（本大题共8小题，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 比较大小：______（填“，，”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 12. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 13. 已知a，b，c是的三边长，且，，，则的最大内角的度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最大内角的度数为． 故答案为：． 14. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算，因式分解，求代数式的值．将变形为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及，可得是等边三角形，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 17. 如图，中，，，点D是上一点，连接，将沿翻折得到，若于点E，则的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】过C作于点F；由勾股定理建立方程求得的长，从而求得；再证明，则得，从而求得结果． 【详解】解：如图，过C作于点F； 则， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 由折叠性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；关键是作垂线构造全等三角形． 18. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为，则称四位数为“快乐数”．如，＋，是“快乐数”，最大的“快乐数”是___________；若一个“快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的关键．设四位数为，由新定义得，当时，，或，即可求解；由新定义可设，可得，，结合、、的取值范围，即可求解． 【详解】解：设四位数为， ， 当时， ， 或， 当时， ， ， ，， 或，， 故这个四位数是或， 最大的“快乐数”是； “快乐数”，百位数字与个位数字相等， 可设， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍， ，为整数， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 为或， ； 故答案为：，． 三、（解答题．（本大题共8小题，19题8分，20-26每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、绝对值，再计算加减即可得解； （2）根据二次根式除法法则计算即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 20. 学习了平行四边形的性质后，小磊对平行四边形进行了拓展性研究．如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，①______， ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴， 在和中： ， ∴， ∴，③______， ∴， ∴④______， ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，⑤____________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）证明，得出，，证明，得出，根据，，得出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的角平分线； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴ 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，围成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，尺规作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 21. 已知的顶点分别是，，． （1）作出关于轴的对称图形，并求出的面积； （2）已知点的坐标为，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析， （2）是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据勾股定理及其逆定理，进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， ； 【小问2详解】 是等腰直角三角形．理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，． ∴是等腰直角三角形． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 23. 如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）96 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，推出平行四边形是矩形，即可证明； （2）根据矩形的性质可得，，利用勾股定理求出，再结合菱形的性质求出、，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为：． 24. 阅读下面的问题： ； ； …… （1）求 =___________ （2）已知n是正整数，求=___________ （3）计算 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）仿照给出的解法求解即可． （2）仿照给出的解法求解即可． （3）先仿照解法，逐一计算，后按照左右求和计算即可． 【小问1详解】 ， 故答案为：． 【小问2详解】 ． 故答案为：． 【小问3详解】 ． 【点睛】本题考查了新定义运算，正确理解运算法则是解题的关键． 25. 如图，海面上有，两个小岛，在的正东方向，有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为30海里． （1）求小岛，渔船之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船在处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从地出发前往点进行救援，救援船从点出发的同时，一艘补给船从点出发，以每小时30海里的速度沿射线方向前往点，已知、，三点在同一直线上，从测得在的北偏西方向，请通过计算说明救援船和补给船哪个先赶到点．（参考数据：，，） 【答案】（1）海里 （2）救援船先赶到点 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，含的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，可得，然后在中，利用勾股定理求出，的长，再在中，利用含的直角三角形的性质求出的长即可解答； （2）结合（1）可得海里，过点作，垂足为，利用含30度的直角三角形的性质求出，证明是等腰直角三角形，求出，利用勾股定理求出，得到、，再分别算出两艘船分别到达点P的时间，判断即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ， 在中，，海里， ∴，则， ∴， （海里）， 在中，，则（海里）， 小岛，渔船之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：由（1）可知，在中，（海里）， 则海里， 如图，过点作，垂足为， ， 由题意得：，， ， ∴是等腰直角三角形， 在中，， 海里， ∴海里， 海里 ∴海里， ∴， ∴救援船赶到点的时间为：小时， 补给船赶到点的时间为：小时， 而， ∴救援船先赶到点． 26. 已知是等边三角形， （1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：； （3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值及此时的长． 【答案】（1） （2）见详解 （3）的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； （2）在线段上截取一点G，使得，连接，由题意易得是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证； （3）连接，由题意易证，则有，然后可得点N在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得的最小值，及此时的长． 【小问1详解】 解：过点D作于点E，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 证明：在线段上截取一点G，使得，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点N在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当时，最短， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学初2023级八年级下期第一学月定时作业 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中，是二次根式的有（ ） A. B. 5 C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D， E， 现测得， 则长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 三个角是直角的四边形是矩形 8. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　) A. 24 B. 16 C. D. 9. 如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁A点正对，离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ） A. B. C. D. 10. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． 已知两个根分式与．则下列说法： ①根分式中x的取值范围为：且； ②存在实数x，使得； ③存在两个无理数x，使得是一个整数． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题．（本大题共8小题，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 比较大小：______（填“，，”）． 12. 使有意义的x的取值范围是______． 13. 已知a，b，c是的三边长，且，，，则的最大内角的度数为______． 14. 若，则________． 15. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是______． 16. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 17. 如图，中，，，点D是上一点，连接，将沿翻折得到，若于点E，则的长为_________． 18. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为，则称四位数为“快乐数”．如，＋，是“快乐数”，最大的“快乐数”是___________；若一个“快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为___________． 三、（解答题．（本大题共8小题，19题8分，20-26每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 学习了平行四边形的性质后，小磊对平行四边形进行了拓展性研究．如图，在平行四边形中，连接对角线，的角平分线交于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问所作的图形中，连接、，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，①______， ∴． 又∵、分别平分、． ∴，． ∴， 在和中： ， ∴， ∴，③______， ∴， ∴④______， ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 通过以上探究，请你用一句话概括他的结论： 作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角所连的对角线相交，⑤____________． 21. 已知的顶点分别是，，． （1）作出关于轴的对称图形，并求出的面积； （2）已知点的坐标为，判断的形状，并说明理由． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 阅读下面的问题： ； ； …… （1）求 =___________ （2）已知n是正整数，求=___________ （3）计算 25. 如图，海面上有，两个小岛，在的正东方向，有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为30海里． （1）求小岛，渔船之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船在处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从地出发前往点进行救援，救援船从点出发的同时，一艘补给船从点出发，以每小时30海里的速度沿射线方向前往点，已知、，三点在同一直线上，从测得在的北偏西方向，请通过计算说明救援船和补给船哪个先赶到点．（参考数据：，，） 26. 已知是等边三角形， （1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：； （3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值及此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $