第18章 平行四边形微专题二 三角形的中位线的应用-2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题二 三角形的中位线的应用 类型归纳 类型1 利用三角形的中位线求解 应用三角形的中位线定理进行线段或面积的计算时， ①找：找出中位线两个端点所在的边是那个三角形的两边。 ②定：确定这个三角形的第三边； ③用：应用三角形中位线定理，写出三角形中位线与第三边的关系。 类型2 利用三角形的中位线证明 巧用三角形中位线定理解题： 三角形中位线定理是证明线段相等、 倍分关系及平行的重要方法. 它在同一条件下有两个结论, 一个结论表明位置关系, 另一个结论表明数量关系，若已知一个中点，通常作平行线或找另一个中点，构造三角形的中位线。 类型3 利用三角形的中位线解决面积问题 中位线分三角形为四个面积相等的小三角形 三条中线将原三角形分成六个小三角形，其中三个由中位线围成的三角形面积相等，且每个小三角形的面积是原三角形面积的1/6 类型4 利用三角形的中位线解决实际问题 1.通过构造中位线，利用中位线平行且等于底边一半的性质，结合角转移或等腰三角形底角相等的定理，证明角相等 2 .若三角形顶点位置动态变化，利用重心坐标公式可实时更新关键点的位置， 类型5 构造三角形中位线解决相关问题 可以通过以下方法构造中位线： （1） 已知双中点，连接两中点或连接第三边； （2） 已知单中点，取另一边中点并连接这两个中点 （3） 已知角平分线+垂直，延长有关线段（被平分角的边或垂直的边） 典例精析、跟踪训练 【类型1 利用三角形的中位线求解】 【例1-1】．如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为　 　． 【例1-2】．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是　 　 【变式1-1】．如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 　 　． 【变式1-2】．如图， 矩形 中， 为 的中点， 为 边上任意一点， 分别为 ， 的中点， 则 的长是 (　　) A．6 B．5.5 C．6.5 D．5 【变式1-3】．在中，点M是边的中点，平分，．的延长线交于点E，． （1）求证：； （2）求的长． 【类型2 利用三角形的中位线证明】 【例2-1】．问题背景：如图，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长． 【例2-2】．如图，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接． （1）若，，求的值； （2）求证：； （3）当等腰的点落在正方形的边上，如图，连接，点是的中点，连接，延长交于点请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【变式2-1】．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G. （1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由； （2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长. 【变式2-2】．【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容. 如图，D，E分别是的边与的中点.根据画出的图形，可以猜想：且.对此，我们可以用演绎推理给出证明. （1）【结论应用】 如图1，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点.请判断的形状，并说明理由. （2）【应用拓展】 如图2，在四边形中，，M是的中点，N是的中点，连接，延长，交于点E.若，求的度数. 【变式2-3】． 如图 1， 在 Rt 中， ， 点 分别在边 上， ， 连结 分别为 的中点． （1） 观察猜想： 图 1 中，线段 与 的数量关系是　 　， 位置关系是　 　． （2） 探究证明： 把 绕点 逆时针旋转到图 2 的位置， 连结 ， 判断 的形状，并说明理由． （3） 拓展延伸： 绕点 在平面内自由旋转， 若 ， 请直接写出 面积的最大值． 【类型3 利用三角形的中位线解决有关面积】 【例3-1】如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 【例3-2】．如图，在中，，点D、E分别是的中点，点F在的延长线上，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【变式3-1】如图，D，E，F分别是的边上的中点，连接交于点G，，的面积为6，设的面积为，的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为　 　． 【变式3-3】．如图，在Rt中，是的中点，过点作交于点是延长线上的一点，且，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形的周长是的长为，求四边形的面积． 【类型4 利用三角形的中位线解决实际问题】 【例4-1】．用两个图钉将一个橡皮筋的两个端点A，B固定在桌面上，拉动橡皮筋构成△ABP，点C、点D分别为AP，BP的中点，拉动点P至的过程中，CD的长度（　　） A．增长 B．缩短 C．不变 D．先增长后缩短 【例4-2】．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，.然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（　　） A． B． C． D．2 【变式4-1】．如图，爷爷家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=6米，爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（　　） A．16 米 B．22 米 C．27 米 D．30 米 【变式4-2】如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=60cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为 ． 【变式4-3】.如图，要测定被池塘隔开的两点的距离，可以在外选一点,连接AC,BC，并分别找出它们的中点D、E， 连接ED，现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB= 【类型5 构造三角形的中位线解决相关问题】 【例5-1】．如图，在中，，为边上中线，过D作于点E，将沿翻折得到，交于点G，若，则　 　，　 　． 【例5-2】．如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为　 　． 【变式5-1】．如图， 的中线 相交于点 分别是 的中点． 求证： ， 且 ． 【变式5-2】．如图，在中，，，是的中点，是上一点若平分的周长，则的长为　 　．、 【变式5-3】．如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为(　　) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题二 三角形的中位线的应用（解析版） 类型归纳 类型1 利用三角形的中位线求解 应用三角形的中位线定理进行线段或面积的计算时， ①找：找出中位线两个端点所在的边是那个三角形的两边。 ②定：确定这个三角形的第三边； ③用：应用三角形中位线定理，写出三角形中位线与第三边的关系。 类型2 利用三角形的中位线证明 巧用三角形中位线定理解题： 三角形中位线定理是证明线段相等、 倍分关系及平行的重要方法. 它在同一条件下有两个结论, 一个结论表明位置关系, 另一个结论表明数量关系，若已知一个中点，通常作平行线或找另一个中点，构造三角形的中位线。 类型3 利用三角形的中位线解决面积问题 中位线分三角形为四个面积相等的小三角形 三条中线将原三角形分成六个小三角形，其中三个由中位线围成的三角形面积相等，且每个小三角形的面积是原三角形面积的1/6 类型4 利用三角形的中位线解决实际问题 1.通过构造中位线，利用中位线平行且等于底边一半的性质，结合角转移或等腰三角形底角相等的定理，证明角相等 2 .若三角形顶点位置动态变化，利用重心坐标公式可实时更新关键点的位置， 类型5 构造三角形中位线解决相关问题 可以通过以下方法构造中位线： （1） 已知双中点，连接两中点或连接第三边； （2） 已知单中点，取另一边中点并连接这两个中点 （3） 已知角平分线+垂直，延长有关线段（被平分角的边或垂直的边） 典例精析、跟踪训练 【类型1 利用三角形的中位线求解】 【例1-1】．如图，在中，，是的中线，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为　 　． 【答案】6 【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】∵点E，F分别是AD，AC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴EF＝CD， ∴CD=6， ∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中线， ∴AD=CD=6． 【分析】由题意知，EF是△ACD的中位线，则EF＝CD，CD=6，由∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，可知AD=CD，最后得解。 【例1-2】．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是　 　 【答案】20° 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点， ∴PF是△BCD的中位线， ∴. ∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴. ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴ 故答案为：20°． 【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP． 【变式1-1】．如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 　 　． 【答案】10 【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵在中，，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【分析】根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AB求出CD的值，然后根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得EF=AB即可求解． 【变式1-2】．如图， 矩形 中， 为 的中点， 为 边上任意一点， 分别为 ， 的中点， 则 的长是 (　　) A．6 B．5.5 C．6.5 D．5 【答案】D 【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ，E为中点， ， ， ， ∵G，H分别为，中点， 是的中位线， ． 故答案为：D 【分析】连接，先根据矩形的性质得到，进而根据中点得到AE=6，从而运用勾股定理即可得到BE，再根据三角形中位线定理结合题意即可求解。 【变式1-3】．在中，点M是边的中点，平分，．的延长线交于点E，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAE， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB=∠ADE=90°， 在△ADB与△ADE中， ， ∴△ADB≌△ADE， ∴BD=DE. （2）解：∵△ADB≌△ADE， ∴AE=AB=12， ∴EC=AC-AE=8． ∵M是BC的中点，BD=DE， ∴DM是△BCE的中位线， . 【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理 【解析】【分析】（1）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠BAD=∠DAE，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可得△ADB≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等的即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得出AE=AB=12，求出EC=AC-AE=8，根据根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半即可求解. 【类型2 利用三角形的中位线证明】 【例2-1】．问题背景：如图，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点． （1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长； （3）拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）解：解：且．理由： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：且. （2）解：在线段AD上取点G，使DG=NC，连接GC，GM，GN，如图： ∵四边形是正方形，边长为， ∴AD//CN，AD=AB=4，∠ADC=90°， ∴四边形DGNC是长方形，CG，ND为对角线， 又∵点E为DN中点， ∴CG和DN相交于点E，即点E为CG中点， 又∵点F为MC的中点， ∴EF为△GMC的中位线， ∴GM=3EF. ∵DG=CN=MB=1， ∴AG=AM=3， ∴在中，， ∴， ∴的长为； ​​​​​ （3） 【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解析】解：（3）过点作于点，如图： ∵正方形的边长为，， ∴， ∴. ∵BH⊥PN，∠BPC=45°， ∴PH=BH，∠HMB+∠HBM=90°. 又∵∠HMB+∠HCB=90°， ∴∠HBM=∠HCB， ∴△HBM∽△BCM. ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【分析】（1）证明，得出，，再证即可； （2）在线段AD上取点G，使DG=NC，连接GC，GM，GN，证明四边形DGNC是长方形，即可证得点E为CG中点，EF为△GMC的中位线，根据勾股定理求出GM，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点作于点，根据勾股定理求出，，，即可求得PM的长． 【例2-2】．如图，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接． （1）若，，求的值； （2）求证：； （3）当等腰的点落在正方形的边上，如图，连接，点是的中点，连接，延长交于点请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）解：四边形是正方形，， ， 等腰中，，，， ， ， ， 点是的中点， ； （2）证明：如图，延长与的延长线交于一点， 则是等腰直角三角形，为的中点， ， 点是的中点， （3）解： 如图，延长与的延长线交于一点， 则是等腰直角三角形，为的中点， ， ， 点是的中点， ， 【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【分析】（1）先根据AB和CM的长求出AC，CN的长，再用勾股定理计算出AN的长，得出AE的长。 （2）延长NC，AB相交于G，证明AC＝CG，BG＝AB，再根据中位线的性质得出2BE＝NG，从而推导出结论. 【变式2-1】．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G. （1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由； （2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长. 【答案】（1）解：四边形DEFG是平行四边形， 理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点， ∴EF= BC，EF∥BC， 同理DG= BC，DG∥BC， ∴EF=DG，EF∥DG， ∴四边形DEFG是平行四边形 （2）解：∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠BOC=90°， ∵M为EF的中点，OM=2， ∴EF=2OM=4， ∴BC=2EF=8. 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；（2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可. 【变式2-2】．【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容. 如图，D，E分别是的边与的中点.根据画出的图形，可以猜想：且.对此，我们可以用演绎推理给出证明. （1）【结论应用】 如图1，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点.请判断的形状，并说明理由. （2）【应用拓展】 如图2，在四边形中，，M是的中点，N是的中点，连接，延长，交于点E.若，求的度数. 【答案】（1）解：是等腰三角形 理由：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点， ∴，. ∵， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：如图，连接，取的中点P，连接，. ∵M是的中点，N是的中点，， ∴，，， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴，. 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为. 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；三角形的中位线定理 【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线定理得到，，进而结合题意等量代换得到，再根据等腰三角形的判定即可求解； （2）连接，取的中点P，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，再根据平行线的性质得到，进而根据题意进行角的运算得到，从而根据平行线的性质得到，，再根据三角形内角和定理结合他进行角的运算得到，从而即可求解。 【变式2-3】． 如图 1， 在 Rt 中， ， 点 分别在边 上， ， 连结 分别为 的中点． （1） 观察猜想： 图 1 中，线段 与 的数量关系是　 　， 位置关系是　 　． （2） 探究证明： 把 绕点 逆时针旋转到图 2 的位置， 连结 ， 判断 的形状，并说明理由． （3） 拓展延伸： 绕点 在平面内自由旋转， 若 ， 请直接写出 面积的最大值． 【答案】（1）； （2）解：是等腰直角三角形 理由如下，由旋转可知 又 易得 易得 ∴是等腰直角三角形 （3）解：如图，连结AM，AN， 可得 ∵是等腰直角三角形 ∴MN取最大值时，的面积最大， ∴当DE∥BC且DE与BC在店A的异侧时，MN最大= 【知识点】三角形的面积；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB-AD＝AC-AE，∴BD＝CE， ∵ 分别为 的中点， ∴PM是△CDE的中位线，PN是△BCD的中位线， ∴PM∥CE，PM＝CE，PN∥BD，PN＝BD， ∴PM＝PN ∵∠A＝90°，∴AB⊥AC，∴PM⊥PN。 故答案为：PM＝PN，　PM⊥PN。 【分析】 （1）根据三角形中位线的性质可得出PM和CE的数量关系和位置关系，PN和BD的数量关系和位置关系，再结合已知条件推导出结论； （2）先结合旋转的性质推导出BD＝CE，BD⊥CE，证明PM，PN分别是△CDE和△BCD的中位线，得出PM和CE的数量关系和位置关系，PN和BD的数量关系和位置关系，进而推导出结论； （3）△PMN是等腰直角三角形，当MN最大时，△PMN的面积最大。当DE在A点上方且DE∥BC时MN＝AM+AN，此时MN最大。求出此时MN的长，再计算面积即可。 【类型3 利用三角形的中位线解决有关面积】 【例3-1】如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大． 【详解】解：延长相交于点H，设交于点O． ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：2． 【例3-2】．如图，在中，，点D、E分别是的中点，点F在的延长线上，． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：如图， 在和中， ∵，点D、E是分别是的中点． ∴， ∴， 又∵． ∴， 又∵ ∴， ∴ （2）解：在中，∵∴， ∵点D、E分别是的中点， ，又， 四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD，再根据等边对等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）证明四边形是平行四边形，根据勾股定理求得，由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得． 【变式3-1】如图，D，E，F分别是的边上的中点，连接交于点G，，的面积为6，设的面积为，的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答．关键是根据三角形的面积得出的面积的面积，的面积的面积． 【详解】解：∵D，E，F分别是的边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴的面积相等， ∴， 故选：B 【变式3-2】如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为　 　． 【答案】30 【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：，，，是四边形的中点四边形， 四边形的对角线、互相垂直， 四边形为矩形， 设，， 是的中位线， ， 同理可得， 四边形的面积为． ， 四边形的面积， 故答案为：30． 【分析】先利用中点四边形的性质求出，，再求出四边形的面积为，可得，最后求出四边形的面积即可. 【变式3-3】．如图，在Rt中，是的中点，过点作交于点是延长线上的一点，且，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形的周长是的长为，求四边形的面积． 【答案】（1）证明： ∵F是的中点，且， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=AC， ∵ ， ∴EF=AD， ∵ ∴ 四边形是平行四边形． （2）解：∵BC=6cm，F是的中点， ∴CF=3cm ∵平行四边形的周长是24cm， ∴AD+AF=12cm， 设AD=x，则AF=12-x，AC=2x， 在Rt△ACF中，AC2+CF2=AF2， ∴（2x）2+32=(12-x)2， 解得x=或（舍） ∴AD=， ∴ 四边形的面积=AD· CF=()×3=-12. 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【分析】（1）利用一组邻边平行且相等的四边形是平行四边形即证； （2）由线段的中点可得CF=3cm，由平行四边形的性质及周长可求AD+AF=12cm，设AD=x，则AF=12-x，AC=2x，在Rt△ACF中，利用勾股定理建立方程并求出x值，即得AD，利用平行四边形的面积=AD· CF进行计算即可. 【类型4 利用三角形的中位线解决实际问题】 【例4-1】．用两个图钉将一个橡皮筋的两个端点A，B固定在桌面上，拉动橡皮筋构成△ABP，点C、点D分别为AP，BP的中点，拉动点P至的过程中，CD的长度（　　） A．增长 B．缩短 C．不变 D．先增长后缩短 【答案】C 【知识点】三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵点C、点D分别为AP，BP的中点， ∴线段CD是△ABP的中位线， ∴CD=AB， ∵ 拉动点P至P'的过程中，点C、点D分别为AP'，BP'的中点， ∴线段CD是△ABP'的中位线， ∴CD=AB， ∴CD的长度不变，始终等于AB的一半. 故答案为：C. 【分析】根据三角形中位线定理得CD=AB，拉动点P至P'的过程中，点C、点D分别为AP'，BP'的中点，则线段CD是△ABP'的中位线，从而根据三角形中位线定理可得CD的长度不变，始终等于AB的一半. 【例4-2】．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，.然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：连接CF、CA、AF， ∵点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点， ∴CF过点Q，CA过点P， ∴点Q是CF的中点，点P是CA的中点， ∴PQ是△CAF的中位线， ∴PQ=AF， 在矩形框架ABCD中，AB=5，AD=8， ∴矩形ABCD的面积为5×8=40，BC=AD=8，∠ABC=90°， 由题意得，BC=EF，CE=BF， ∴四边形BCEF是平行四边形， ∴EF∥BC， ∴∠BHF=∠AHF=90°， ∵扭动后四边形面积减少了8， ∴四边形BCEF的面积为40-8=32， ∴8BH=32， ∴BH=4， ∴AH=AB-BH=5-4=1， ∵BF=CE=AB=5， ∴由勾股定理得，FH===3， 在Rt△AHF中，由勾股定理得，AF===， ∴PQ=AF=， 故答案为：A. 【分析】连接CF、CA、AF，先证PQ是△CAF的中位线，得出PQ=AF，再证四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形BCEF的面积，即可求出BH的长，进一步求出AH、FH的长，根据勾股定理即可求出AF的长，从而求出PQ的长. 【变式4-1】．如图，爷爷家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=6米，爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（　　） A．16 米 B．22 米 C．27 米 D．30 米 【答案】D 【知识点】三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵点E，F分别是边，的中点， ∴，，是的中位线， ∵米， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴篱笆的长为：， 故答案为：D 【分析】先根据中点结合中位线的性质结合题意得到，，，进而根据等边三角形的性质得到，从而得到，再根据篱笆的长为，即可求解。 【变式4-2】如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=60cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为 ． 【答案】120cm 【分析】判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD． 【详解】∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面， ∴OD是△ABC的中位线， ∴AC=2OD=2×60=120(cm)． 故答案为：120cm． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式4-3】.如图，要测定被池塘隔开的两点的距离，可以在外选一点,连接AC,BC，并分别找出它们的中点D、E， 连接ED，现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB= 【答案】48m 【分析】根据中位线定理可得AB=2DE，即可求出答案． 【详解】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AB， ∵DE=24m， ∴AB=2DE=48m； 故答案为：48m． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【类型5 构造三角形的中位线解决相关问题】 【例5-1】．如图，在中，，为边上中线，过D作于点E，将沿翻折得到，交于点G，若，则　 　，　 　． 【答案】1； 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：①如图，过点A作于点H， ∴∠AHB=90°， ∵， ∴∠BED=∠AHB=90°， ∴， ∵为边上中线， ∴，， ∴是中位线， ∵DE=3， ∴， ∵，，BE=3， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②如图，连接，，、交于点K， ∵CE=1，DE=3， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为边上中线， ∴， ∵， ∴， ∴点F、A到直线的距离相等， ∴， ∵为边上中线， ∴为的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【分析】①过A作于点H，得∠BED=∠AHB=90°，从而根据平行线的判定证出，进而证明是中位线，根据三角形中位线定理可得，，从而，，，然后在中，利用勾股定理可得，解方程求解的值即可； ②连接，，、交于点K，利用勾股定理求出CD的值，从而得AC=AB=2CD的值，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，根据翻折的性质再证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，即有，，接下来证明，即有点F、点A到直线的距离相等，可得，则证明，由相似三角形对应边成比例的性质得，则，最后代入数值即可求解出BG的值. 【例5-2】．如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：如图，记的中点为，连接， ∵分别是边上的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【分析】设BC的中点为G，连接EG，求出EG的长，由AC=BC，BC=2CF，可求CF的长，GF的长，利用角的和差关系可证，由勾股定理得计算求解即可． 【变式5-1】．如图， 的中线 相交于点 分别是 的中点． 求证： ， 且 ． 【答案】证明：连结 DE，FG，∵BD，CE 是△ABC的中线. ∴D，E是AC，AB的中点. 同理：FG∥BC，FG=BC ∴DE∥FG，DE=FG， ∴四边形 DEFG 是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG. 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【分析】本题主要考查三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质；因为E，D分别为AB，AC中点，可得ED平行且等于BC的一半，又因为F，G分别为BO，CO中点，可得FG平行且等于BC的一半，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”可证四边形DEFG为平行四边形，得到另一组对边EF与DG平行且相等. 【变式5-2】．如图，在中，，，是的中点，是上一点若平分的周长，则的长为　 　．、 【答案】​​​​​​​​​​​​​​ 【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：如图，延长至，使得，连接， ， 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ，即， 是的中位线， ． 故答案为：． 【分析】延长BA至F，使得AF=AC，连接CF，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形得到，再证明，进而推出ED是△CBF的中位线，则． 【变式5-3】．如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=20， ∵E，F分别是AD，CD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴， ∵G，H分别是BE，BF的中点， ∴GH是△BEF的中位线， ∴. 故答案为：B. 【分析】连接AC、EF，由矩形的对角线相等得出AC的长，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得求出EF的长，同理可求出GH的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$