精品解析： 山东省德州市第五中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试题

德州五中2024-2025学年第二学期月考水平测试 八年级数学试题卷 一、单选题(每小题4分共48分) 1. 式子成立的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案 【详解】式子成立的条件是：x-3＞0， 解得：x＞3． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式的二次根式是最简二次根式”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 3. 已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误． 【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k， ∵ ， 即 ， ∴三角形是直角三角形， 正确； B、∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠C=∠A+∠B， ∴2∠C=180°， 即∠C=90°， 正确； C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°， 又三角形内角和定理得x+5x+6x=180, 解得6x=90, 故正确； D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°， 又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180， 5x=75, 故不是直角三角形， 错误； 故本题选择D． 【点睛】本题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、证明最大角是直角． 4. 计算 的结果为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，分别化简各式，进而合并求出即可． 【详解】+++…+ =+2-+…+ =+ = 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的加减法， 绝对值，关键是利用绝对值的性质化简． 5. 若实数，满足，则的值为（ ） A. 3 B. 1或3 C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而求出b的值，代入即可得出答案， 【详解】∵， ∴a−1=0，则b=4， 解得：a=1(舍去)或a=−1， ∴a+b=3 故选A. 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于得出a的值 6. 下列计算正确的是（　　） A. =2 B. 2=6 C. D. =2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则运算即可. 【详解】解：，，，则A、C、D均错误； 2，则B正确， 故选择B. 【点睛】本题考查了二次根式的运算. 7. 在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是(　　) A. 22 B. 20 C. 22或20 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE，BC=BE+EC， 如图， ①当BE=3，EC=4时， 平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20． ②当BE=4，EC=3时， 平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22． 故选C． 考点：平行四边形的性质． 8. 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质，根据题意找出边长之间的数量关系是解题关键．根据正方形①的面积，得到，再根据勾股定理，分别求出，，即可求解． 【详解】解：如图标记各点， 正方形①的面积为16， ， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， 即正方形③的边长是2， 故选：A 9. 下列说法：①一组对边平行另一组对边相等的四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A. ②④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是准确理解并运用各个判定条件来判断四边形是否为平行四边形．对每个说法逐一根据平行四边形的判定定理进行分析判断，确定哪些说法能判定四边形是平行四边形． 【详解】一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形，它满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，所以①错误，不符合题意； 根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以②正确，符合题意； 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线都相等，但等腰梯形不是平行四边形 ，所以③错误，不符合题意； 已知一组对角相等，一组对边平行，可通过平行线的性质和等角的补角相等推出另一组对角也相等，根据 “两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，可知这个四边形是平行四边形，所以④正确，符合题意； 综上，能判定一个四边形是平行四边形的是②④， 故选： A． 10. 如图，O是平行四边形的中心，过O点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，．则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的中心对称性质可知，，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：过点作于点， 由平行四边形的中心对称性质可知，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系，中心对称图形的性质，勾股定理知识，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 11. 如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x， 则和，， 在中，， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二．填空题（每小题4分共24分） 13. 若直角三角形两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为__________cm． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】先分类讨论，①当5cm长的边为直角边时，②当5cm长的边为斜边时，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】①当5cm长的边为直角边时， 第三边长为cm， ②当5cm长的边为斜边时， 第三边长为cm， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键． 14. 读材料：我们规定，若，则称a与b是关于的平衡数，若与m是关于的平衡数，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，根据新定义列出算式计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 15. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 16. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理等知识点．根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．若∠A＝80°，则∠GFH＝______°． 【答案】100 【解析】 【分析】先证明FG是△BDE的中位线，FH是△BCE的中位线，推出∠EFG=∠ABE，∠EFH+∠BEC=180°，再由三角形外角的性质得到∠EFH+∠A+∠ABE=180°，再根据∠GFH=∠EFG+∠EFH进行求解即可． 【详解】解：∵F、G、H分别是BE，DE，BC的中点， ∴FG是△BDE的中位线，FH是△BCE的中位线， ∴， ∴∠EFG=∠ABE，∠EFH+∠BEC=180°， ∵∠BEC=∠A+∠ABE， ∴∠EFH+∠A+∠ABE=180°， ∵∠GFH=∠EFG+∠EFH， ∴∠GFH=∠ABE+180°-∠A-∠ABE=100° ， 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 18. 如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理等知识点，根据中位线定理先确定它们是平行四边形，然后在图（1）中，可证出有3个平行四边形；在图（2）中，可证出有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，熟练掌握三角形的中位线定理的性质是解决此题的关键． 【详解】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点， ∴， ， ∴四边形是平行四边形，共有3个． 在图（2）中，分别是的边的中点， 同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个． … 按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个， 故答案为：． 三．解答题（共78分） 19. 计算 （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，利用二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，即可作答． （2）先利用二次根式的性质化简，再进行乘法，最后运算加减，即可作答． （3）先利用二次根式的性质化简，运算加减，得，然后代入数值化简，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：依题意，，， 则把，分别代入， 得． 20. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“海天”号沿西北方向航行 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据路程=速度时间分别求得，的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，从而进行分析求解． 【详解】解：根据题意， ，，， 因为， 即，所以， 由“远航”号沿东北方向航行可知，， 因此，即“海天”号沿西北方向航行， 答：“海天”号沿西北方向航行． 21. 在图中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形． （1）在图中，每个小正方形的边长为时，　　； （2）在图中，若每个小正方形的边长为，请在此网格上画出三边长分别为、、的格点三角形； 【答案】（1） （2）画图见解析（答案不唯一） 【解析】 分析】（）利用勾股定理计算即可； （）取格点，由勾股定理可得，，，故即为所求； 本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所求，即为所求． 22. 如图，在▱中，，连接并延长交的延长线于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出，，证出，由即可证出，证出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 【阅读】我们将与称为一对“对偶式”， 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是____________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 （2）已知，，求； （3）解方程：． ［提示：令，］． （4）求的值． 【答案】（1）C （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值， （1）计算对偶式，可得两数互为倒数； （2）根据已知分别化简x，y，然后求和即可； （3）令，则两边同乘以，得，求出t，根据，，解得，即可求出x值，检验即可； （4）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴对偶式与之间的关系是互为倒数； 故选：C； 【小问2详解】 解：由题意得 ， ； ∴ 【小问3详解】 解：令，则两边同乘以， 得， 解得， ∵， ， ∴①+②，得 ， 两边同时平方得， 解得， 经检验，是原方程的解． 【小问4详解】 解： 24. 八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点 （1）【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； （2）【问题解决】在（1）的条件下，求的长； （3）【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是几何综合题，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可得； （2）由勾股定理可求BD的长； （3）由直角三角形的性质可求，可得，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿直线折叠， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∵，， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 的面积 25. 如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． （1）当时，求t的值； （2）连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）2或6 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定可知：，列方程可解答； （2）根据梯形面积公式可解答； （3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：四边形平行四边形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， 如图2，当点的对称点在线段上时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图3，当点的对称点在线段的延长线上时， ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是2或6． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德州五中2024-2025学年第二学期月考水平测试 八年级数学试题卷 一、单选题(每小题4分共48分) 1. 式子成立的条件是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 3. 已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算 的结果为(　　) A. B. C. D. 5. 若实数，满足，则的值为（ ） A. 3 B. 1或3 C. 1 D. 5 6. 下列计算正确的是（　　） A =2 B. 2=6 C. D. =2 7. 在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是(　　) A. 22 B. 20 C. 22或20 D. 18 8. 如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 下列说法：①一组对边平行另一组对边相等的四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A. ②④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③ 10. 如图，O是平行四边形的中心，过O点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，．则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 11. 如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 12. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 二．填空题（每小题4分共24分） 13. 若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为__________cm． 14. 读材料：我们规定，若，则称a与b是关于的平衡数，若与m是关于的平衡数，则_______． 15. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）． 16. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为________． 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．若∠A＝80°，则∠GFH＝______°． 18. 如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 三．解答题（共78分） 19. 计算 （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 21. 在图中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形． （1）在图中，每个小正方形的边长为时，　　； （2）在图中，若每个小正方形的边长为，请在此网格上画出三边长分别为、、的格点三角形； 22. 如图，在▱中，，连接并延长交延长线于点．若，求的度数． 23. 【阅读】我们将与称为一对“对偶式”， 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是____________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 （2）已知，，求； （3）解方程：． ［提示：令，］． （4）求的值． 24. 八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在中，，，，点D边上一动点，于点 （1）【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______； （2）【问题解决】在（1）的条件下，求的长； （3）【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积． 25. 如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． （1）当时，求t的值； （2）连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$