河南省信阳高级中学2024-2025学年高三下学期3月二模测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期03月二模测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D D A D C C ABC BC BC 12．/0.4 13． 14．2 15．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【详解】（1）因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. （2）（ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 16．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，可证，由平面ABC，得，利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，由（1）知平面AMC的一个法向量为，利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）（1）如图，连接，由题意知平面，所以，又，，所以， 因为M是的中点，所以． 因为平面ABC，所以，又，，所以平面，所以． 因为，所以平面AMC． （2）以A为坐标原点，以直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则，取， 由（1）知平面AMC的一个法向量为， 因为， 所以平面和平面AMC夹角的余弦值为． 17．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证. （3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （3）由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 18．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题目所给的条件，求出即可； （2）（i）设，由已知可得，根据点在椭圆上，可得，可求得最大值；（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意可得，设直线的方程为：，联立方程组，由根与系数的关系可得，求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 椭圆方程为， （2）（i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 的方程为. 19．(1)（i）分布列见解析，期望为；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）将事件 “”分拆成两两互斥的事件的和，利用概率的加法公式，结合等比数列前项和公式求解. （2）求出在的条件下，的可能取值，求出对应的概率及期望，再利用全概率公式求出，进而求出的期望的递推公式，利用等比数列通项公式求得. 【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 的数学期望为 （ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞， 且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而， 因此， 所以事件 “” 的概率为. （2）在的条件下，的可能取值为， 则， ， 因此 ， （）， 由全概率公式得， 于是的期望 ，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以，即的期望为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期03月二模测试（二） 数学试题 命题人： 审题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，若，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 2．若，则 A．0 B．1 C． D．2 3．在平面直角坐标系中，已知且，则 A． B． C． D． 4．函数的大致图象是 1 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 5．已知点M是抛物线上的一点，过点M作的一条切线，P为切点，点M在C的准线l上的射影为点D．当M，E，D三点共线时， A． B． C．60 D．68 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．在等比数列中，，记，则数列 A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为 A．20 B．12 C．24 D．10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某校高三甲、乙两名同学6次月考数学得分情况记录如下， 甲：118，120，135，133，147，141； 乙：117，126，119，127，119，129． 则下列四个结论中，正确的是 A．甲同学得分的极差大于乙同学得分的极差 B．甲同学得分的中位数大于乙同学得分的中位数 C．甲同学得分的平均值大于乙同学的平均值 D．甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定 10．已知函数，则 A．在区间上单调递增 B．极大值点仅有一个 C．无最大值，有最小值 D．当时，关于的方程共有3个实根 11．在四棱锥中，，，，，，是的中点，则 A．平面 B．的长可能为 C． D．点在半径为的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是 ． 13．若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为 . 14．实数，满足，，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，. (1)求角； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 16．如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． (1)证明：平面AMC； (2)求平面和平面AMC夹角的余弦值． 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 18．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. (1)若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; (2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. $$