精品解析： 重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

长寿中学校2024-2025学年春期第一次学科素养测评 八年级数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立是（ ）． A. a＋c＞b＋c； B. c－a＞c－b； C. ac＞bc； D. ． 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 等边三角形的三个内角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 若，那么 D. 两个锐角之和一定是钝角 3. 下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 5. 在数轴上表示不等式解集，下列表示正确的是（ ） A. B. C D. 6. 如图，，点在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8. 下列说法正确是（ ） A. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． B. 如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称． C. 等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合． D. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形三边距离相等． 9. 在中，的对边分别记作，下列结论中不正确的是（　　） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么为直角三角形 D. 如果，那么是直角三角形且 10. 如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（共32分） 11. x与y的平方和不大于用不等式可表示为__________． 12. 已知等腰三角形一个内角的度数为．则这个等腰三角形底角的度数为___________． 13. 不等式的解集是________． 14. 已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为_____． 15. 如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为______． 16. 采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长必须超过______． 17. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 18. 如图，在等腰直角中，，点为上一点，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接，交于点，若，则的度数为______． 三、解答题 19. （）解不等式：； （）解不等式组：． 20. 如图，在中，，是边上的中线，于点．试说明：． 21. 【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） （1）若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少； （2）已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少； 22. 已知方程组解满足，均为负数． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 23. 如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）求度数． 24. 为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表： A型 B型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求，的值； （2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由． 25. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，且与的图象交于点． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． （3）求四边形的面积． 26. 如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接DE，CE． （1）求证：BD=CE； （2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长寿中学校2024-2025学年春期第一次学科素养测评 八年级数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）． A. a＋c＞b＋c； B. c－a＞c－b； C. ac＞bc； D. ． 【答案】A 【解析】 【详解】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案． 解答：解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确； B，∵a＞b， ∴-a＜-b， ∴-a+c＜-b+c， 故此选项错误； C，∵a＞b，c＜0， ∴ac＜bc， 故此选项错误； D，∵a＞b，c＜0， ∴， 故此选项错误； 故选A． 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 等边三角形的三个内角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 若，那么 D. 两个锐角之和一定是钝角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，平行线的判定，绝对值的意义，锐角与钝角的含义，掌握判断命题真假的方法是解题的关键. 由等边三角形的三个内角相等可判断A，由平行线的判定可判断B，由绝对值的意义可判断C，通过举反例，比如 可判断D，从而可得答案. 【详解】解：等边三角形的三个内角相等，都等于．是真命题，故选项A不符合题意， 同位角相等，两直线平行是真命题，故选项B不符合题意； 若，则是真命题，故选项C不符合题意； 两个锐角的和不一定是钝角，比如所以两个锐角的和是钝角是假命题，故D符合题意； 故选：D 3. 下列各式中，是不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键．由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 4. 如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理应用，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 在数轴上表示不等式的解集，下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再合并同类项，把的系数化为，把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 在数轴上表示为： 故选：C． 6. 如图，，点在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7. 若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：A． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． B. 如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称． C. 等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合． D. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形三边距离相等． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及轴对称图形的性质依此排除选项即可． 【详解】解：A、到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，故符合题意； B、如果两个三角形全等，则它们不一定关于某直线成轴对称，说法错误，故不符合题意； C、等腰三角形底边上的中线、底边上的高线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，故不符合题意； D、三角形两边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等，原说法错误，故不符合题意； 故选A． 9. 在中，的对边分别记作，下列结论中不正确的是（　　） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么直角三角形 D. 如果，那么是直角三角形且 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴设， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 10. 如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】解二元一次方程组求出x，y的值，根据x>y得到关于m的不等式，根据不等式组只有4个整数解求出m的取值范围，取交集，找出符合条件的所有整数m，即可求解． 【详解】解：解方程组得， ∵ x>y， ∴， ∴， 解不等式组得， ∴， ∵关于x的不等式组有且只有4个整数解， ∴， ∴， ∴， ∴整数m为5和6， ∴符合条件的所有整数m的和为11． 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和解二元一次方程组，根据不等式组只有4个整数解求出m的取值范围是解题的关键． 二、填空题（共32分） 11. x与y的平方和不大于用不等式可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题目中的语句可知x的平方与y的平方之和不大于10，然后写出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形一个内角的度数为．则这个等腰三角形底角的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理．由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 13. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 根据题意可得，再求出解集即可. 【详解】解：根据题意，得 ， 解得. 故答案为：. 14. 已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得，解得， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得． 则“”表示的数为5， 故答案为：5． 15. 如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式的解集，就是指直线在直线的下方的自变量的取值范围，据此求解即可． 本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：观察图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 16. 采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长必须超过______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式应用，设需要导火线的长为，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设需要导火线的长为， 由题意得，， 解得， ∴需要导火线的长必须超过， 故答案为：． 17. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理列式求出，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点D为的中点， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在等腰直角中，，点为上一点，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接，交于点，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】在上截取，由与都是等腰直角三角形可得，，，，进而可得，由等边对等角可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，则，进而可得，利用可证得，，于是可得，，由，再结合，可得，进而可得，则是等边三角形，于是可得，由对顶角相等可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，在上截取， 与都是等腰直角三角形， ，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等边对等角等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 19 （）解不等式：； （）解不等式组：． 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，正确计算是解题的关键 【详解】解：（）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 20. 如图，在中，，是边上的中线，于点．试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形三线合一的性质可得，在结合互余关系证明即可． 【详解】解：因为，是边上的中线， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 21. 【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） （1）若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少； （2）已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少； 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题意，理解“开心角”的定义并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）先判断不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数； （2）分两种情况讨论：当是开心角时，则另一开心角为，由三角形的内角和定理即可求出剩余的一个角；当不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数，进而可求出剩余的一个角． 【小问1详解】 解：若为开心三角形，， 当时，， 此时，不合题意，故舍去； 当时，， 此时，不合题意，故舍去； 或， 设这个三角形中最小的内角为， 则， ， 答：这个三角形最小的内角是； 【小问2详解】 解：已知开心三角形的其中一个内角为，则可设， 当是开心角时，则另一开心角为，剩余的一个角为； 当不是开心角时， 设这个三角形中最小的内角为， 则， ， 则； 答：这个三角形的其他内角是，或，． 22. 已知方程组的解满足，均为负数． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 【答案】（1） （2）整数m的值为 【解析】 【分析】（1）将m当做已知数解方程组，把x和y用含有m的式子表示出来，再根据，均为负数，列出关于m的一元一次不等式组，解之即可； （2）不等式的解为，根据不等式得性质得到，得到m的取值范围，再根据（1）m的范围，求得m最终的取值范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：解方程组得： ， ∵，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴m的取值范围为， ∴整数m的值为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 23. 如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）求度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论； （2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∵， ， ， ， ． 24. 为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表： A型 B型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求，的值； （2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由． 【答案】（1）a的值为100，b的值为150 （2）总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找到题目中的等量关系或者不等关系是解题的关键． （1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得； （2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组求解m值，最后求出各方案的总费用进行对比即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为100，b的值为150． 【小问2详解】 解：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆， 理由如下： 设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为6，7，8． 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）； 当时，，购买总费用为（万元）． 答：总费用最少的购买方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆． 25. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，且与的图象交于点． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． （3）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）将代入，求出值，再将点代入即可求出的值； （）求出点坐标，再根据图象解答即可求解； （）连接，求出点坐标，再根据计算即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求函数的解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， 由函数图象可得，当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接DE，CE． （1）求证：BD=CE； （2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，即可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE； （2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论； 【详解】（1）∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴△ADE是等边三角形， 在等边△ABC和等边△ADE中， ∵ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， △BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE； （2）如图，过点C作CG∥BP交DF的延长线于点G， ∴∠G=∠BDF， ∵∠ADE=60°，∠ADB=90°， ∴∠BDF=30°， ∴∠G=30°， 由（1）可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA， ∵AD⊥BP， ∴∠BDA=90°， ∴∠CEA=90°， ∵∠AED=60°， ∴∠CED=30°=∠G， ∴CE=CG， ∴BD=CG， 在△BDF和△CGF中， ， ∴△BDF≌△CGF（AAS）， ∴BF=FC ， 即F为BC的中点． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$