精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级数学试卷

2024~2025学年厦门双十下学期八年级阶段考试 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数解答即可． 【详解】解：依题意，得 ， 解得，． 故选：C． 2. 下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2，2，3 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列式子计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的加法、乘法、减法逐一计算即可． 【详解】解：A、不等于，故本选项错误，不符合题意； B、不等于，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形,符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（　　） A. AE的长 B. MN的长 C. AB的长 D. AC的长 【答案】A 【解析】 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC， ∴AE的长为平行线AD与BC之间的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了两条平行线之间的距离的定义，掌握定义是解题的关键． 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 平行四边形对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】先写出各选项的逆命题，再判断真假即可求解． 【详解】解：A. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意； B. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意； C. 若，则，逆命题为若，则，是假命题，不合题意； D. 平行四边形对角线互相平分，逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了原命题与逆命题，命题真假的判断，熟知相关定义，并能正确进行判断是解题关键． 7. 若是整数，则正整数的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由，是整数，可求正整数的最小值． 【详解】解：∵，是整数， ∴正整数的最小值为7， 故选：B． 8. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A. 米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：A． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题共24分. 11. 计算：_____. 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键，属于基础题． 根据二次根式的乘法法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：7． 12. 比较大小：5________．（填“”“”“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据得到，进而根据不等式的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在平行四边形中，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，若，，则的周长为___． 【答案】15 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得出 ， ， ，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，D，E，F分别是，，的中点， ∴ ， ， ， ∵，， ， 即的周长为15． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形周长公式，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 15. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，根据题意可得图2中阴影小正方形的边长为，再由图2中阴影小正方形的面积为49即可求出答案． 【详解】解：由题意得，图2中阴影小正方形的边长为， ∵图2中阴影小正方形面积为49， ∴图2中阴影小正方形的边长为7， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 如图，在中，，于点E，于点F，、交于点H，、的延长线交于G，给出下列结论： ①；②点D是中点：③；④若平分，则； 其中一定正确的结论有______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，①由证明即可；③先证明，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④连接，证是等腰直角三角形，，设，得出，进而得出．②无法证明点D是中点． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故①正确； 在和中， ， ， ， ， 正确； 连接，如图： 平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设， ， ， ， ④正确 ∵是平行四边形， ∴， ∴，， 又， ∴三个角对应相等无法证明全等， ∴无法证明， 即无法证明点D是中点， 故②错误， 综上①③④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共9小题，共86分. 17. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减乘除运算以及化简二次根式，熟练掌握二次根式的有关运算是解题的关键． （1）直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，再合并同类二次根式即可； （2）直接化简二次根式，再去括号合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，点，分别在，上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知，． （1）直接写出_____，_____； （2）试求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式，完全平方公式变形计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据二次根式加减运算法则进行计算可以得出的值，根据平方差公式，求出的值即可； （2）将变形为，然后代入（1）中得出的结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 20. 如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， 在中， ∴， 在△ACD中，， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ． 故四边形的面积为． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算公式的运用，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 21. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即． 22. 观察下列各等式： ①；②；③；…… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）_____；_____； （2）若满足上述规律的等式为：，试求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，完全平方公式的应用，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果，将变形为，再根据等式的计算规律即可解答； （2）根据等式的计算规律得到，得到，再利用完全平方公式变形即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意； ； 【小问2详解】 解：根据等式的计算规律得：， ， ， ， ， ． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，交轴于点点在轴的正半轴上，且，连接，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或2或 【解析】 【分析】（1）根据，得到，结合，推出，得到，然后问题可求证； （2）根据题意可分①当时，②当时，③当时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由题意可分： ①当时，过点B作轴于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴； ②当时， 在中，由勾股定理得； ③当时， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得：； 综上所述：当为等腰三角形时，或2或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握数形结合的思想及分类讨论的思想是解题的关键． 24. 【综合与实践】 【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明． 如图（2），和的面积相等，求证：． 证明：分别过点、点作和底边上的高线，． 【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由． 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：如图（4），______． 求证：______． 证明： 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别过点、点作和底边上的高线，，利用三角形的面积公式与已知条件得到，则，再利用平行四边形的判定与性质解答即可； （2）利用平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等的性质解答即可； （3）连接，，过点作于点，过点作于点，利用等底同高的三角形的面积相等的性质得到，由（1）的证明过程可知：；利用等底同高的三角形面积相等的性质得到，则，化简即可得出结论． 【详解】证明：分别过点、点作和底边上的高线，，如图， 的面积，的面积，和的面积相等， ， ． ，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴； （2）1．连接， 2．过点作，交的延长线于点， 3．连接， 则为所画的三角形．如图， 理由：∵， 与为同底等高的三角形， ，， ． 四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变； 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：中，点为的中点，点为的中点． 求证：，． 证明：连接，，过点作于点，过点作于点，如图， 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ． 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ， ． 由（1）的证明过程可知：，． 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，四边形的面积，平行四边形的判定与性质，平行线之间的距离相等，三角形的中位线定理的证明，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 25. 已知. （1）如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 【答案】（1） （2）①作图见解析；②；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； （3）连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 【小问1详解】 解：解：作于点I， 由题意得，是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交延长线于点H，延长交于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：． 连接，作并交的延长线于点K， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年厦门双十下学期八年级阶段考试 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2，2，3 D. 4，5，6 3. 下列式子计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（　　） A. AE的长 B. MN的长 C. AB的长 D. AC的长 6. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 平行四边形对角线互相平分 7. 若是整数，则正整数的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 8. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A. 米 B. 米 C. 2米 D. 米 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 10. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题：本题共6小题共24分. 11 计算：_____. 12. 比较大小：5________．（填“”“”“”） 13. 在平行四边形中，，则的度数为______． 14. 如图，在中，D，E，F分别是，，中点，若，，则的周长为___． 15. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______． 16. 如图，在中，，于点E，于点F，、交于点H，、的延长线交于G，给出下列结论： ①；②点D是中点：③；④若平分，则； 其中一定正确结论有______．（填序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分. 17. 计算： （1）； （2）. 18. 如图，在中，点，分别在，上，且，求证：． 19. 已知，． （1）直接写出_____，_____； （2）试求的值． 20. 如图，在四边形中，，求四边形的面积． 21. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即，，，，求的长． 22. 观察下列各等式： ①；②；③；…… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）_____；_____； （2）若满足上述规律等式为：，试求的值． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，交轴于点点在轴的正半轴上，且，连接，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，当为等腰三角形时，求的值． 24. 【综合与实践】 【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明． 如图（2），和面积相等，求证：． 证明：分别过点、点作和底边上的高线，． 【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由． 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：如图（4），______． 求证：______． 证明： 25. 已知. （1）如图1，若，以为边作等边，且点恰好在边上，直接写出此时的面积_____； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点恰好在边上，过作交于，连接. ①依题意将图2补全； ②用等式表示此时线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，以为边作，且，.若，用等式表示此时与的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$