精品解析：福建省厦门第一中学2024-2025学年下学期3月月考八年级数学试卷

福建省厦门第一中学2024—2025学年度第二学期 适应性练习（初二数学） （满分为150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠9 B. x＞9 C. x≤9 D. x≥9 2. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. AB= CD B. AD= BC C. AB=BC D. AC= BD 3. 已知在中，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 5或 D. 5 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D，E分别是的中点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ） A B. 0.8 C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 9. 如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：_______，_________． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于_______． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC＝8，则△ABC的面积为_____． 14. 与最简二次根式同类二次根式，则a＝_____． 15. 如图，和分别是的内、外角平分线，且交于点，若，，则的值是________． 16. 如图，在长方形纸片中，，，点为上一点，将沿翻至，交于点，交于点，且，则的长度是__________． 三、解答题（共9小题，86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形 19. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？ 20 如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 21. 观察下列各式： ； ； ； …… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1） ； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF//AE，DF与BC的延长线交于点F，AE，DC的延长线交于点G，连接FG，若AD=3，AG=2，FG=，求直线AG与DF之间的距离． 23. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知中，，，，求的面积． 24. 如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． （1）如图1，E是AB的中点，连接OE，若AC+BD＝2m，OE＝n，求△AOD的周长；（用含m，n的式子表示） （2）如图2，若∠ABD＝2∠BAC＝45°，若BD＝2，求▱ABCD的面积． 25 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． （1）求点A的坐标； （2）取中点M，连接与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接，请你直接写出线段长度的最大值_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2024—2025学年度第二学期 适应性练习（初二数学） （满分为150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠9 B. x＞9 C. x≤9 D. x≥9 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：x-9≥0， 解得：x≥9， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 如图，四边形ABCD对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. AB= CD B. AD= BC C. AB=BC D. AC= BD 【答案】D 【解析】 【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案． 【详解】解：可添加AC＝BD， ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 3. 已知在中，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 5或 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意，作出图形，数形结合，由勾股定理列式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式的加法，求一个数的立方根，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法、加法运算法则，立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，点D，E分别是的中点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ） A. B. 0.8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 由勾股定理可得，中，， 又， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， ． 故选：A． 8. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 9. 如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+，所以矩形的面积是，即可求得矩形内阴影部分的面积． 【详解】解：矩形内阴影部分的面积是 【点睛】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键． 10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， 因为，即 ， ， 所以， 的值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11 化简：_______，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质：即两个非负数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积，是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于_______． 【答案】130° 【解析】 【分析】根据平行四边形内角性质求解即可．平行四边形对角相等，邻角互补． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°， ∵∠B+∠D＝100°， ∴∠B＝∠D＝50°， ∴∠A＝130°， 故答案为130°． 【点睛】此题考查了平行四边形内角性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形内角性质．平行四边形对角相等，邻角互补． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC＝8，则△ABC的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理以及直角三角形的面积，难度不大，结合图形熟练运用知识点即可得解． 14. 与最简二次根式是同类二次根式，则a＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】首先化简二次根式，再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3，再解即可． 【详解】， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴2a﹣3＝3， 解得：a＝3， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 15. 如图，和分别是的内、外角平分线，且交于点，若，，则的值是________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据平角的定义结合角平分线的定义，推出，勾股定理得到，根据平行线的性质，结合角平分线的性质，推出，根据线段的和差关系求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵和分别是的内、外角平分线， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：36． 16. 如图，在长方形纸片中，，，点为上一点，将沿翻至，交于点，交于点，且，则的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换和矩形的性质，勾股定理，根据条件列出方程是解题的关键．先证明，再根据勾股定理设未知数列方程求解． 【详解】解：设，则， 由题意得：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 即：， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用平方差公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 原式， ， ； 【小问2详解】 原式， ， 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD． ∵D为BC的中点， ∴CD＝DB． ∴CD∥AE CD＝AE， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC， ∴AC＝DE． ∴平行四边形ADCE是矩形． 19. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车没有超速 【解析】 【分析】利用勾股定理先求得小汽车形式的路程BC，再利用路程、速度、时间之间的而关系求得小汽车实际形式的速度，与限速比较即可． 【详解】在Rt△ABC中，AC＝40m，AB＝50m； 据勾股定理可得：BC＝＝＝30（m） 小汽车的速度为v＝＝15（m/s）， ∵15m/s＜19.4m/s； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速了 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，把实际问题转化为数学模型是解题的关键． 20. 如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）以点为圆心，长为半径画弧，与相交，交点即为所求； （2）由矩形的性质和平行线的性质，可证三角形全等，根据全等的性质，可得线段的长度，从而可得线段的长． 【小问1详解】 解：如图，点为所求， 证明：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）作图知，， 在矩形中有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 观察下列各式： ； ； ； …… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1） ； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意知，． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF//AE，DF与BC的延长线交于点F，AE，DC的延长线交于点G，连接FG，若AD=3，AG=2，FG=，求直线AG与DF之间的距离． 【答案】直线与之间的距离为 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形得到，再证明四边形AEFD是平行四边形，接着证明△ECG≌△FCD，可得AE=DF=EG=1，利用勾股定理的逆定理证明∠EGF=90°即可解决问题 【详解】证明: 四边形是平行四边形， ． （两直线平行，内错角相等）， 又是边中点， ， ， ． ． , 又 四边形是平行四边形． ． 在中， 又∵ ． （勾股定理的逆定理）， ． 又 线段的长是直线与之间的距离． 即直线与之间的距离为； 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知中，，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）0.2千米 （3）84 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； 【小问2详解】 设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米； 【小问3详解】 作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． ． 24. 如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． （1）如图1，E是AB的中点，连接OE，若AC+BD＝2m，OE＝n，求△AOD的周长；（用含m，n的式子表示） （2）如图2，若∠ABD＝2∠BAC＝45°，若BD＝2，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质，得到，由三角形的中位线定理，得到，即可求出△AOD的周长； （2）过点O作OE⊥AB于E，延长EO交CD于点F，作点B关于OE的对称点G，连接OG，由平行四边形的性质、勾股定理先求出EF的长度，然后利用轴对称的性质，求出AB的长度，即可求出面积． 【详解】解：（1）如图，在平行四边行ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC=，OB=OD=，即点O是BD的中点， ∵AC+BD＝2m， ∴， ∵E是AB的中点，OE＝n， ∴， ∴△AOD的周长=； （2）过点O作OE⊥AB于E，延长EO交CD于点F，作点B关于OE的对称点G，连接OG，如图： ∵BD=2，点O为BD的中点， ∴， ∵∠ABD＝2∠BAC＝45°，∠OEB=90°， ∴△OBE是等腰直角三角形，即OE=BE，∠BAC=22.5°， 设，则由勾股定理， ， 解得：（负值已舍去）； ∴， 由平行四边形的性质，则； ∵点B关于OE的对称点是点G， ∴，， ∴， ∵∠BAC=22.5°， ∴∠AOG=22.5°， ∴∠BAC=∠AOG， ∴AG=OG=1， ∴， ∴▱ABCD的面积为：； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，以及三角形的中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 25. 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． （1）求点A的坐标； （2）取中点M，连接与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接，请你直接写出线段长度的最大值_________． 【答案】（1）（10，6） （2）（5，0） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质，二次根式的性质，解一元二次方程，即可求出点A的坐标； （2）利用对称的性质，等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就可以得出NC和AP垂直，再得出两组对边分别平行证出平行四边形，由平行四边形的性质即可得点P是OB的中点，根据点A的坐标即可得出点B的坐标，即可得； （3）利用勾股定理和直角三角的性质可求出EQ和BQ的长，再利用三角形三边的关系得出当点P，Q，E三点共线时PE的长度最大，即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ， 即点A的坐标为（10，6）． 【小问2详解】 解：如图所示，连接NC， ∵△CMO与△NMO关于MO所在直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵M为AC的中点， ∴AM=CM， ∴AM=MN， ∴， ∵， 即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形MOPA是平行四边形， ∴， ∵点A的坐标为（10，6）， ∴点B的坐标为（10，0）， 即点P的坐标为：（5，0）． 【小问3详解】 解：如图所示，连接OD，取OD的中点Q，连接EQ，PQ， 由（2）知，点P的坐标为（5，0）， ∵CD=8，OC=6， ∴点D的坐标为（8，6）， ∴点Q的坐标为（4，3）， 则， ∵， ∴， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， ∴点P，Q，E三点共线时PE=EQ+PQ， 此时，PE的长度最大， 则PE的最大值：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解一元二次方程，对称图形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理和三角形三边的关系，解题的关键是掌握这些知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $