精品解析：江西省临川第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

临川一中2024-2025学年下学期第一次月考 高二年级数学试卷 一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1. 若复数 满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设 为等比数列 的前 项和，已知 ，则公比 （ ） A. 2 B. -2 C. D. 5. 已知，若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（ ） A. B. C. D. 6. 将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的一个焦点，点为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共有3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. C. 已知一组数据：7、7、8、9、5、6、8、8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强 10. 已知数列的通项公式为，前 项和为，前 项积为．则下列结论中正确的是（ ） A. 既有最小值，又有最大值 B. 满足的 的值共有6个 C. 使取得最小值的 为7 D. 有最小值，无最大值 11. 已知抛物线的焦点为 ，准线为，过 的一条直线与交于 ， 两点，若点在上运动，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当 时，三点的纵坐标成等差数列 D. 当 时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列为递增数列，且，，则__________． 13. 小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为________． 14. 已知在棱长为4的正方体中，点是底面 内的动点，点 为棱 上的动点，且，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分，解答时应写出必要的证明过程、文字说明或演算步骤． 15. 在三角形 中，角 所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 16. 为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍． （1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图1，在直角梯形 中， 分别为 的中点，沿 将平面折起，使二面角 的大小为，如图2所示，设分别为 的中点， 为线段 上的动点（不包括端点）． （1）求证： ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值是，求． 18. 已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为 （1）求数列的通项公式及数列的前n项和 （2）是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由. 19. 具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值； （2）由抛物线弧，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2024-2025学年下学期第一次月考 高二年级数学试卷 一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以，故. 故选：C 2. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，然后求交集即可. 【详解】因为， 又，所以. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 4. 设 为等比数列 的前 项和，已知 ，则公比 （ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的前 项和与的关系，两式相减，即可求解. 【详解】由已知，，两式相减得， ，即，即. 故选：A 5. 已知，若表示向量的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意有，结合已知向量坐标及线性运算的坐标表示求向量. 【详解】由题设，， 由向量的有向线段首尾相接能构成三角形， 所以，则. 故选：D 6. 将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列组合，先求出将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中的放法数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】将编号为 的4个小球随机放入编号为 的4个凹槽中，共有种放法， 恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法， 所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是， 故选：B. 7. 函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把函数解析式化成的形式，再结合函数的周期和值域求值. 【详解】因为. 由函数图象可知：； 又，所以，又. 故选：B 8. 设椭圆的一个焦点，点为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，求得，再利用，求得，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ， 椭圆 的离心率的取值范围是， 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及利用三角形的性质是解决本题的关键. 二、多选题：本大题共有3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. C. 已知一组数据：7、7、8、9、5、6、8、8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 相关系数 越大，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】AB 【解析】 【分析】二项分布的方差计算方法可得A，再根据条件概率与贝叶斯公式可得B，有限个数的百分位数计算公式可求的30百分位数，根据相关系数的定义可得D选项. 【详解】因为，所以，则，A正确， 因为且，由贝叶斯公式可得，B正确， 将该组数据从小到大排列为：5，6，7，7，8，8，8，9，又因为，所以第30百分位数是7，C错误， 由相关系数的定义可知，越大，成对样本数据的线性相关程度越强，而不是 越大，成对样本数据的线性相关程度越强，D错误. 故选: 10. 已知数列的通项公式为，前 项和为，前 项积为．则下列结论中正确的是（ ） A. 既有最小值，又有最大值 B. 满足的 的值共有6个 C. 使取得最小值的 为7 D. 有最小值，无最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简为，利用数列的单调性，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 可得，当，时，数列的各项小于 ，且是单调递减数列， 当，时，数列的各项大于 ，且是单调递减数列， 所以数列的最小项为，最大项为，所以 正确； 当时，满足 ； 当时，满足；当，时，， 所以满足时，，共有 个值，所以 错误； 当，时， ，随着 的增大而增大，且， 当时，满足，随着 的增大而减小， 且， 当，时，，所以， 综上所述，使得取得最小值的 为，所以 正确； 因为为前 项积，所以只有和为负数，且， 所以存在最小值或， 从第 项开始，为正数，结合，可知随着 的增大而增大， 所以无最大值，所以 正确. 故选：. 11. 已知抛物线的焦点为 ，准线为，过 的一条直线与交于 ， 两点，若点在上运动，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当 时，三点的纵坐标成等差数列 D. 当 时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的定义可判断A项，联立直线AB方程与抛物线方程求得、，进而可求得可判断B项，由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C项，设出点M坐标，计算可得，可得 ，运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D项. 【详解】对于选项A：如图所示， 由抛物线定义可知，若，则，故选项A正确； 对于选项B：如图所示， 当时， 为正三角形， 所以直线 的倾斜角为， 设直线 的方程为， 由可得， ， 所以，故选项B错误； 对于选项C：过点 作直线垂直于，垂足分别为，作 的中点N，如图所示， 由选项B可知， 又因为 ， 所以， 由抛物线定义可知， 所以， 所以M为的中点， 所以三点的纵坐标成等差数列，故选项 正确； 对于选项D：如图所示， 设，直线 的斜率为，直线 的斜率为， 则， 由B项可知， 由选项C可知， 所以， 所以， 所以 ， 又因为 ， 所以，且， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列为递增数列，且，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意分析可知，，可得，，结合等比数列的性质分析求解. 【详解】因为递增的等比数列中，，，且， 可知和是一元二次方程的两个根， 且，解得，， 可得，所以 故答案为：2. 13. 小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B， 则“小李周一、周二都去健身”为事件 ， 由题意可知：，，且， 由全概率公式可知：， 即，代入， 可解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知在棱长为4的正方体中，点是底面内的动点，点 为棱上的动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正切函数的定义可得，建立平面直角坐标系可得点的轨迹，又点 关于的对称点为，连接与圆交于点，与交于点 时，最小. 【详解】如图（一）： 因为，所以， 因为，所以， 如图（二）： 建立平面直角坐标系，则，，，设， 所以， 整理可得， ，， 则圆心，半径为， 点 关于的对称点为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分，解答时应写出必要的证明过程、文字说明或演算步骤． 15. 在三角形 中，角 所对的边分别为已知. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角； （2）由正弦定理可得，将转化为关于 的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围. 【详解】解：（1） 由正弦定理，，即 由余弦定理，， 又 （2）因为且，由正弦定理得， ， 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题. 16. 为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查．数据显示200名消费者中，青年人共有125人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍． （1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 中老年 合计 （2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析；消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄有关； （2）分布列见解析；. 【解析】 【分析】（1）填写列联表，求出卡方值，比较临界值即可判断； （2）由超几何分布求出分布列及其期望. 【小问1详解】 年龄段 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 100 25 125 中老年 50 25 75 合计 150 50 200 零假设：费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄无关， 因， 则根据小概率值的独立性检验，消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄有关. 【小问2详解】 愿意购买新能源车的消费者中，青年与中老年的人数之比为， 所以采用分层随机抽样抽取的6人中，4人是青年，2人是中老年， 记抽取的2人中，青年的人数为，则的可能取值为0，1，2， ，， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 . 17. 如图1，在直角梯形中， 分别为 的中点，沿 将平面折起，使二面角 的大小为，如图2所示，设分别为 的中点， 为线段 上的动点（不包括端点）． （1）求证： ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值是，求． 【答案】（1）证明如下： 分别为 的中点， ． 平面 平面 ， 平面 ， ， 是二面角 的平面角， ． ， 为等边三角形， ． 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， . （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可证得平面 ，进而可证得 ，通过证出 ，证得 平面 ，即可证得结果； （2）以 为原点， 所在直线分别为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出 平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 中点为 ，由（1）知 两两垂直，以 为原点， 所在直线分别为 轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ， ， ， ， 设平面 的法向量为，则 即， 取 ，则， 设， ， 设与平面 所成的角为，则 ， 解得或 （舍） . 18. 已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为 （1）求数列的通项公式及数列的前n项和 （2）是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ， （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和； （2）假设存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，得到方程，得到，求 范围，即得结论. 【小问1详解】 由题意在等差数列中，设公差为d， 由，得，则， 又，，成等比数列， ∴7，，成等比数列，得， 即，得， ∴，， ∴数列的通项公式为： （）． ∴， ∴ . 【小问2详解】 若存在正整数m，n（），使得，，成等比数列， 则，即， 化简得：，解得： 又且，所以，， 故存在正整数，，使得，，成等比数列. 19. 具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． （1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值； （2）由抛物线弧，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围． 【答案】 （1）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，则． 当时，（），， 即； 当时，（），． 即；∴为定值． （2）或，． 【解析】 【分析】（1）设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，再根据抛物线的方程表达出的解析式证明即可 （2）根据圆锥曲线的参数方程将A、B的坐标用三角函数表示，从而使求的范围问题转化为三角函数值域的求法即可 【详解】（1）略 （2）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧或椭圆弧上加以分类．由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上）， 当时，，此时，． 当时，A在椭圆弧上，由题设知代入， 得，整理得， 解得或（舍去）． 当时，A在抛物线弧上，由方程或定义均可得到，于是． 综上，或． 相应地，． ①当时，A在抛物线弧上，B在椭圆弧上， ； ②当时，A在椭圆弧上，B在抛物线弧上， ； ③当时，A、B在椭圆弧上， ． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $