精品解析：福建福州高级中学2025-2026学年高一上学期第二次适应性考试数学试题

福州高级中学2025-2026学年第一学段考试 高一第二次适应性考试数学试题 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在第二象限，则角的终边位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，，，，则方程的根落在区间（ ）． A. B. C. D. 5. 若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围为（   ） A. B. C. D. 7. 已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 8. 已知是上的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有7个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设是定义域为的单调函数，对，则（    ） A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 当时， 11. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______. 13. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为________． 14. 已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知角α终边上一点求的值． （2）已知，求的值. 16. 已知函数，． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递减区间； （3）当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 17. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数． （1）求的解析式； （2）已知时，．若正实数满足，求的最小值． 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）若函数是否满足性质？请说明理由. （2）若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）； （3）在（2）的条件下，已知，，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2025-2026学年第一学段考试 高一第二次适应性考试数学试题 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断出、、的范围,比较大小即可. 【详解】由，即； 由，即， 所以. 2. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得答案. 【详解】扇形的圆心角为，半径为， 则扇形的面积为. 故选：A. 3. 已知点在第二象限，则角的终边位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据象限内的点的坐标特征得到三角不等式组，结合三角函数在各象限的符号即得. 【详解】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. 4. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，，，，则方程的根落在区间（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程在区间（a，b）上有零点，则f（a）f（b）＜0，对各点的函数值的符号进行判断，即可得到答案． 【详解】∵二分法求方程在（1，3）内近似解的过程中， f（1）＞0，f（1.5）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0， 故方程的根落在区间（1，1.5） 故选：C． 【点睛】本题考查二分法求方程的近似解，考查函数零点的判定定理，属于基础题. 5. 若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的幂函数图象可得，再变形函数并由函数值的特性得解. 【详解】由幂函数图象可得， 函数定义域为， 而，则恒成立，BCD错误，A正确. 故选：A 6. 设函数，则使得成立的的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式可得为增函数，且为偶函数，根据单调性、奇偶性解不等式即可. 【详解】在上单调递增，为增函数， 所以在上单调递增， 又，且的定义域为，所以为偶函数， 又， 所以，即， 所以，得， 即，解得或. 故选：. 7. 已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（ ） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 8. 已知是上的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有7个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的性质画出图像，可得关于的方程有且只有7个不同实数根，则方程必有两个根，数形结合可知其中,再根据根与系数之间的关系，即可得出结论． 【详解】根据的解析式，画出的图像如图所示， 且，最小值为，当时，， 又因为关于的方程有且只有7个不同实数根, 设，由图可知，最多有4个不同实数根，则方程必有两个根 其中，故则 即. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将等式两边取平方，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围求出，再与原式联立求出的值，进而求出即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 10. 设是定义域为的单调函数，对，则（    ） A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 11. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据时，函数图象的对称性，可判断B的真假；根据时，函数的解析式即对数的运算可判断C的真假；举反例可说明D是错误的. 【详解】左函数草图如下： 对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故错误； 对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确； 对C：因为，所以，， 由，故C正确； 对D：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指对数的运算求解即可. 【详解】 故答案为： 13. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上是减函数， ，即， 所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以. 由题意可得，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知角α终边上一点求的值． （2）已知，求的值. 【答案】（1）－；（2）. 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义、诱导公式即可求解； （2）由平方关系、商数关系即可求解. 【详解】（1）因为角α终边上一点， 所以，所以. （2）因为＝ ＝，解得. 16. 已知函数，． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递减区间； （3）当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 【答案】（1），， （2）， （3）当时，最大值为；当时，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，，进而计算可得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递减区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值及相应的取值. 【小问1详解】 由函数， 可得函数的最小正周期为， 令，，解得，， 所以函数的对称中心为， 【小问2详解】 由，可得， 令，可得； 令，可得， 所以函数的单调递减区间为，． 【小问3详解】 由，可得， 当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为． 17. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数． （1）求的解析式； （2）已知时，．若正实数满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）结合图象，分类讨论求函数的解析式； （2）由（1）结论，结合基本不等式求最小值． 【小问1详解】 当时，， 当时，； 当时，； 综上所述 【小问2详解】 由（1）知，当时，，或-1（舍去）； 当时，，或3（舍去）； 所以． ， 都是正实数，， 当且仅当，即，时，等号成立， 取最小值，的最小值为． 19. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）若函数是否满足性质？请说明理由. （2）若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）； （3）在（2）的条件下，已知，，若，证明：. 【答案】（1） 当时， ，所以满足性质. （2） 当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； （3） 已知，，若， ， ， ∵在上是单调函数， ，， ∵，当且仅当，即时，取等号， 又∵，∴. 【解析】 【分析】（1）通过验证函数在定义域上是否满足，即可判断； （2）由函数满足性质，求得的值，由函数在的不等式得到函数单调性，从而将函数值不等式转化为自变量的不等式，通过分类讨论来解答含参二次不等式，求得解集； （3）由（2）得到函数满足且，从而得到，再由基本不等式求得，得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若满足性质， 时，得到， 在上单调，在时恒有， 所以在上是单调减函数， 得到，即， 所以，即，即， ①当时，即时，不等式为，不等式解集为； ②当时，，不等式解集为； ③当时，，不等式解集为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛，本题对函数的性质做了新的定义，我们要验证函数是否满足这个性质就得严格按照定义进行证明；同理在已知函数满足这个性质的时候，定义中的等量关系就是我们去解题的关键.所以在解决这类题目的时候应该认真阅读定义，并灵活运算相关知识进行运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $