6.1.4 第1课时 导数的四则运算法则学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数的四则运算法则 学习目标：能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数． 学习重点：导数的四则运算法则． 学习难点：导数的四则运算法则的证明过程及其应用． 【学习过程】 知识点 1：函数和与差的求导法则 问题1：设由，且，猜测 的关系. 猜测： . 证明：设，则 +， 所以， 即=+. 一般的如果与都可导，则=+ 即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和. 类似地，如果都可导，则= 即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差. 上述法则可以推广到任意有限个函数，即 . 例 1：求下列导数 (1)y＝＋； (2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝x2＋log3x； [解]　(1)y＝＋＝2x－2＋3x－3， y′＝－4x－3－9x－4. (2)解法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′ ＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1) ＝12x2＋4x＋6x2－3 ＝18x2＋4x－3. 解法二：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′ ＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－1′ ＝18x2＋4x－3. (3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋. 知识点 2：函数积的求导法则 问题2：如果都可导，你认为 的导数与，有什么关系？ 一般来说，. 例如，当时，，因此， ，，因此 ，即. 事实上，可以证明，当都可导时，有 即，两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数. 特别地，当=C 时，因为，所以由上述法则立即可以得出 即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数. 例 2：求下列导数 (1)y＝x3·10x；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝x3·ex； 解：(1)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x2·10x＋x3·10x·ln 10. (2)y′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′＝－sin x·ln x＋. (3)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x). 知识点 3：函数商的求导法则 问题3：如果都可导，且，，你认为的导数与有什么关系？ 一般来说， 例如，当 时， ，因此 ， ， 即. 事实上，可以证明，当都可导，且，有 特别地，当时，因为，所以 例3求下列函数的导数 (1) (2) (3)y＝. 解：(1)= = = = . (2)= ()' = = = . (3)y′＝ ＝. 练习1 求下列函数的导数． (1)y＝sin x＋x；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝. (5)y＝x－sincos；(6)y＝cosx；(7)y＝xtanx；(8)y＝. 解　(1)y′＝(sin x)′＋x′＝cos x＋1. (2)y′＝＝. (3) y′＝＝ ＝＝. (4)由于y＝＝e2×x－1，则y′＝(e2×x－1)′＝－1×e2×x－1－1＝－. (5)∵y＝x－sincos＝x－sinx， ∴y′＝(x－sinx)′＝1－cosx. (6)解法一：y′＝(cosx)′ ＝()′cosx＋(cosx)′＝(x－)′cosx－sinx ＝－x－cosx－sinx＝－－sinx ＝－－sinx＝－. 解法二：y′＝(cosx)′＝()′ ＝ ＝＝－ ＝－. (7)y′＝(xtanx)′＝()′ ＝ ＝＝. (8)解法一：y′＝()′ ＝ ＝＝. 解法二：∵y＝＝＝1－， ∴y′＝(1－)′＝(－)′ ＝－ ＝. 例 4 求曲线在， 处的切线方程. 解：因为 所以所求切线的斜率为 又因为所以切点为(，1)， 从而可知所求切线的方程为 ， 即 练习2 (2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　C 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C． 【课堂总结】导数的四则运算法则 和、差：= ______________________________； 积： __________________________________，特殊：_ _______； 商： __________________________________； ________________. 【随堂检测】 1．下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C．′＝ D．(cos x sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x 答案　A 解析　对于A，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，A正确；对于B，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，B错误；对于C，′＝，C错误；对于D，(cos x sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，D错误．故选A． 2．(多选)若函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0可能等于(　　) A．a B．－a2 C．－a D．a2 答案　AC 解析　y′＝′＝＝，由x－a2＝0，得x0＝±a.故选AC． 3．已知函数f(x)＝ex cos x－x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________． 答案　y＝1 解析　因为f(x)＝ex cos x－x，所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. 4．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________． 答案　1　2 解析　由题得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋2，所以f′(1)＝1，所以f′(x)＝x2－2x＋2，所以f′(2)＝4－4＋2＝2. 5．已知点P是曲线y＝x2－ln x上一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 答案　 解析　作一直线与直线y＝x－2平行，且与曲线y＝x2－ln x相切于点P，则切点P到直线y＝x－2的距离最小．设P(x0，x－ln x0)，f(x)＝y＝x2－ln x，∴f′(x)＝2x－，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴点P的坐标为(1，1)，∴dmin＝＝. 6．[2022全国1卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 7．求满足下列条件的函数f(x)： (1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1. 解　(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0， 由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组 解得所以f(x)＝x3－3x2＋3. (2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b. 由x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1， 得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0. 要使方程对任意x都成立， 则需a＝b，b＝2c，c＝1. 解得a＝2，b＝2，c＝1， 所以f(x)＝2x2＋2x＋1. 【课后精练】 一、选择题 1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.∴a＝. 2．下列求导数运算正确的是(　　) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx 答案　B 解析　对于A，′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确；对于C，(3x)′＝3xln 3；对于D，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx.故选B. 3．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　D 解析　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋.令x＝2，得f′(2)＝4＋3f′(2)＋，即2f′(2)＝－，∴f′(2)＝－，故选D. 4．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A．3 B．2 C．1 D. 答案　A 解析　因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3或x＝－2(不符合题意，舍去)． 二、填空题 5．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________． 答案　2x－y＋3＝0 解析　∵f′(x)＝cosx＋ex，f′(0)＝cos0＋e0＝2，f(0)＝sin0＋e0＋2＝3，∴切线方程为y－3＝2x，即2x－y＋3＝0. 6．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，且它们的倾斜角互补，则a的值为________． 答案　 解析　设切点坐标为(t，t3－at＋a)，切线的斜率为k＝f′(t)＝3t2－a　①.所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)　②，将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝.代入①式，得k＝－a或k＝－a.由两条切线的倾斜角互补，知－a与－a互为相反数，即－a＋－a＝0，解得a＝. 7．已知f(x)＝，则f′(x)＝________，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________． 答案　　 解析　f′(x)＝＝，由f′(x0)＋f(x0)＝0，得，解得x0＝. 三、解答题 8．已知函数f(x)＝，且f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图像上的任意一点，直线l与f(x)的图像切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 解　(1)f′(x)＝＝. ∵f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切， ∴即∴a＝4，b＝1， ∴f(x)＝. (2)∵f′(x)＝， ∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝＝4[－]，令t＝，则t∈(0,1]，∵k＝4(2t2－t)＝82－，∴k∈，即直线l的斜率k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$null高二数学导学案 编写人:lsf 6.1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数的四则运算法则 学习目标：能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数． 学习重点：导数的四则运算法则． 学习难点：导数的四则运算法则的证明过程及其应用． 【学习过程】 知识点 1：函数和与差的求导法则 问题1：设由，且，猜测 的关系. 猜测： . 证明： 一般的如果与都可导，则= . 即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和. 类似地，如果都可导，则= . 即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差. 上述法则可以推广到任意有限个函数，即 . 例 1：求下列导数 (1)y＝＋； (2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝x2＋log3x； 知识点 2：函数积的求导法则 当都可导时，有 . 即，两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数. 特别地，当=C 时，因为，所以由上述法则立即可以得出 . 即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数. 例 2：求下列导数 (1)y＝x3·10x； (2)y＝cos x·ln x； (3)y＝x3·ex； 知识点 3：函数商的求导法则 当都可导，且，有 . 特别地，当时，因为，所以 . 例3求下列函数的导数 (1) (2) (3)y＝. 练习1 求下列函数的导数． (1)y＝sin x＋x； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝. 例 4：求曲线在， 处的切线方程. 练习2 (2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为 . 【课堂总结】导数的四则运算法则 和、差：=______________________________； 积：____________________________，特殊：___________； 商：___________________；特殊：______________. 【达标检测】 1．下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C．′＝ D．(cos x sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x 2．(多选)若函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0可能等于(　　) A．a B．－a2 C．－a D．a2 3．已知函数f(x)＝ex cos x－x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________． 4．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________． 5．已知点P是曲线y＝x2－ln x上一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 6．[2022全国1卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 7．求满足下列条件的函数f(x)： (1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1. 【课后精练】 一、选择题 1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　) A. B. C. D. 2．下列求导数运算正确的是(　　) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx 3．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 4．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A．3 B．2 C．1 D. 二、填空题 5．曲线C：f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________． 6．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，且它们的倾斜角互补，则a的值为________． 7．已知f(x)＝，则f′(x)＝________，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________． 三、解答题 8．已知函数f(x)＝，且f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图像上的任意一点，直线l与f(x)的图像切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学导学案 编写人:lsf 1 6.1.4 求导法则及其应用 第 1 课时 导数的四则运算法则 学习目标：能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数． 学习重点：导数的四则运算法则． 学习难点：导数的四则运算法则的证明过程及其应用． 【学习过程】 知识点 1：函数和与差的求导法则 问题 1：设由𝑓(𝑥) = 𝑥2，𝑔 (𝑥) = 𝑥，且ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥，猜测ℎ′(𝑥) 与 𝑓′(𝑥)，𝑔′(𝑥)的关系. 猜测： . 证明： 一般的如果𝑓(𝑥)与𝑔 (𝑥)都可导，则[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′= . 即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和. 类似地，如果𝑓(𝑥)，𝑔 (𝑥)都可导，则[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′= . 即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差. 上述法则可以推广到任意有限个函数，即 [𝑓1(𝑥) ± 𝑓2(𝑥) ±⋯± 𝑓𝑛(𝑥)]′ = . 例 1：求下列导数 (1)y＝ 2 x2 ＋ 3 x3 ； (2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝x2＋log3x； 知识点 2：函数积的求导法则 当𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)都可导时，有 [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′ = . 即，两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘上 第二个函数的导数. 特别地，当𝑔(𝑥)是常函数，即𝑔(𝑥)=C 时，因为𝐶′ = 0，所以由上述法则立即可以得出 [𝐶𝑓(𝑥)]′ = . 即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数. 高二数学导学案 编写人:lsf 2 例 2：求下列导数 (1)y＝x3·10x； (2)y＝cos x·ln x； (3)y＝x3·ex； 知识点 3：函数商的求导法则 当𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)都可导，且𝑔(𝑥) ≠ 0，有 [ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ] ′ = . 特别地，当𝑓(𝑥) = 1时，因为1′ = 0，所以 [ 1 𝑔(𝑥) ] ′ = . 例 3 求下列函数的导数 (1)𝑦 = ln 𝑥 𝑥 (2)𝑦 = 1 𝑥 (3)y＝ x2 sin x . 练习 1 求下列函数的导数． (1)y＝sin x＋x； (2)y＝ ln x x2＋1 ； (3)y＝ 1－sinx 1＋cos x ； (4)y＝ e2 x . 例 4：求曲线𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥在( 𝜋 4 ，𝑡𝑎𝑛 𝜋 4 ) 处的切线方程. 高二数学导学案 编写人:lsf 3 练习 2 (2023·全国甲卷)曲线 y＝ ex x＋1 在点   1， e 2 处的切线方程为 . 【课堂总结】导数的四则运算法则 和、差：[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]′=______________________________； 积：[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′ =____________________________，特殊：[𝐶𝑓(𝑥)]′ =___________； 商：[ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ] ′ =___________________；特殊：[ 1 𝑔(𝑥) ] ′ =______________. 【达标检测】 1．下列运算中正确的是( ) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C．   sin x x2 ′＝ （sin x）′－（x2）′ x2 D．(cos x sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x 2．(多选)若函数 y＝ x2＋a2 x (a>0)在 x＝x0处的导数为 0，那么 x0可能等于( ) A．a B．－a2 C．－a D．a2 3．已知函数 f(x)＝ex cos x－x，则曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________． 4．已知函数 f(x)＝ 1 3 x3－f′(1)x2＋2x＋5，则 f′(1)＝________，f′(2)＝________． 5．已知点 P 是曲线 y＝x2－ln x 上一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离为________． 6．[2022 全国 1 卷]若曲线 y＝(x＋a)ex 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是 ________． 7．求满足下列条件的函数 f(x)： (1)f(x)是三次函数，且 f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，且 x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1. 高二数学导学案 编写人:lsf 4 【课后精练】 一、选择题 1．已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为( ) A. 19 3 B. 10 3 C. 13 3 D. 16 3 2．下列求导数运算正确的是( ) A.   x＋ 1 x ′＝1＋ 1 x2 B．(log2x)′＝ 1 xln 2 C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx 3．已知函数 f(x)的导函数 f′(x)，且满足关系式 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2)的值为( ) A．2 B．－2 C. 9 4 D．－ 9 4 4．已知曲线 y＝ x2 4 －3ln x 的一条切线的斜率为 1 2 ，则切点的横坐标为( ) A．3 B．2 C．1 D. 1 2 二、填空题 5．曲线 C：f(x)＝sinx＋ex＋2 在 x＝0 处的切线方程为________． 6．已知曲线 C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线，且它 们的倾斜角互补，则 a 的值为________． 7．已知 f(x)＝ ex x ，则 f′(x)＝________，若 f′(x0)＋f(x0)＝0，则 x0的值为________． 三、解答题 8．已知函数 f(x)＝ ax x2＋b ，且 f(x)的图像在 x＝1 处与直线 y＝2 相切． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 P(x0，y0)为 f(x)图像上的任意一点，直线 l 与 f(x)的图像切于 P 点，求直线 l 的斜 率 k 的取值范围．