6.1.4 第2课时 简单的复合函数求导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

高二数学导学案 编写人：梁松峰 1 第 2 课时 简单复合函数的求导法则 学习标准：能求简单的复合函数(限于形如 f(ax＋b))的导数． 学习重点：复合函数的求导法则． 学习难点：复合函数求导法则的运用． 【温故知新】回顾：导数的四则运算法则 和、差：[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]′= ； 积：[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′ = ；特殊：[𝐶𝑓(𝑥)]′ = ； 商：[ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ] ′ = ；[ 1 𝑔(𝑥) ] ′ = ； 知识点 1：简单复合函数的求导法则 情境：假设某商品的利润 y 是销售量 u 的函数，销售量 u 是销售价格 x 的函数，且 2 ,( ) 60 ( ) 60 3 ,y f u u u u g x x= = − = = − 那么，不难看出，利润 y 是销售价格 x 的函数，且有 2 2( ) 60 3( ) ( ) 60( ) (60 3 ) 180 9 .u g xf xx xy f x= = = −−= −− 复合函数 一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定 x 的任意一个值，就能确定 u 的值.如果 此时还能确定 y 的值，则 y 可以看成 x 的函数，此时称 f (g(x)) 有意义，且称 ( ) ( ( ))y h x f g x= = 为函数 f (u)与 g(x)的复合函数，其中 u 称为中间变量. 问题 1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的： (1)𝑦 = (3 + sin 𝑥)4； (2)𝑦 = ln 1 2𝑥+1 ； (3)𝑦 = 22𝑥−1； (4)𝑦 = 1 1−cos𝑥 . 问题 2：已知ℎ(𝑥) = sin 2𝑥，𝑓(𝑢) = sin𝑢，𝑔(𝑥) = 2𝑥. (1)ℎ(𝑥)可以由𝑓(𝑢)与𝑔(𝑥)得到吗？ (2)分别求出h′(𝑥)，𝑓′(𝑢)，𝑔′(𝑥)，并总结它们之间的关系. 高二数学导学案 编写人：梁松峰 2 归纳总结：复合函数求导法则 一般地，如果函数𝑦 = 𝑓(𝑢)与𝑢 = 𝑔(𝑥)的复合函数为 𝑦 = ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))， 则可以证明，复合函数的导数ℎ′(𝑥)与𝑓′(𝑢)，𝑔′(𝑥)之间的关系为 ℎ′(𝑥) = [𝑓(𝑔(𝑥))] ′ = . 这一结论也可以表示为𝑦′𝑥 = 𝑦′𝑢𝑢′𝑥. 即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 例 1：求下列函数的导数 (1) ℎ(𝑥) = 𝑒5𝑥−1； (2) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(2𝑥 − 1)； (3) 𝑦 = √2𝑥 − 1； (4) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 + 𝜋 3 ). 练习 1.求下列函数的导数. （1）𝑦 = (2𝑥 − 1)5； （2）y = 22x+1 . 例2 求下列函数的导数． (1)y＝xe5x ＋2； (2)y＝x cos    2x＋ π 2 sin    2x＋ π 2 . 高二数学导学案 编写人：梁松峰 3 练习 2 求下列函数的导数． (1)f(x)＝sin 2x＋e2x； (2)f(x)＝ 5 3 x ln (2x＋1)； (3)f(x)＝ sin （1－2x） a4x －1 (a＞0，且 a≠1). 例 3 证明：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数是周期函 数； *练习 3 [2022 全国 1 卷 12 题]（多选）已知函数 ( )f x 及其导函数 ( )f x 的定义域均为R ，记 ( ) ( )g x f x= ，若 3 2 2 f x   −    ， (2 )g x+ 均为偶函数，则（ ） A． (0) 0f = B． 1 0 2 g   − =    C． ( 1) (4)f f− = D． ( 1) (2)g g− = *练习 4 (多选)已知定义在 R 上的函数 f(x)和 g(x)的导函数分别为 f′(x)和 g′(x)，若 f(x)＝ g    x＋1 2 ＋x，且 f(x)为偶函数，g′(x＋1)为奇函数，则( ) A．f′(1)＝1 B．g′   1 2 ＝4 C．g′   3 2 ＝2 D．g′(2)＝4 *练习 5(多选)知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)，其导函数分别为 f′(x)，g′(x)，若 f(x)＝f(－ x)，g(－2)＝0，f(x)＋g′(x－2)＝cos x，f′(x－2)＋g(x)＝x－2，则( ) A．g′(x)的图象关于直线 x＝－2 对称 B.g(x)的图象关于点(－2，0)对称 C．g′(x)是周期函数 D.f′(4)＝0 高二数学导学案 编写人：梁松峰 4 【课后精练】 1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A．y＝－x3－ 1 x ＋1 B．y＝cos    x＋ π 4 C．y＝ 1 ln x D．y＝(2x＋3)4 2．函数 y＝cos (1＋x2)的导数是( ) A．2x sin (1＋x2) B．－sin (1＋x2) C．－2x sin (1＋x2) D．2cos (1＋x2) 3．设函数 f(x)＝(1－2x3)10，则 f′(1)＝( ) A．0 B．60 C．－1 D．－60 4．函数 f(x)＝ln (x＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为________． 5．求下列函数的导数． (1)y＝sin    －2x＋ π 3 ； (2)y＝ 1 1－2x2 ； (3)y＝ln (4x＋5)3； (4)y＝e－x＋2(2x＋1)5. *6．(多选)(2023·广东揭阳高二期末)已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x)，g(x)＝ f′(x)，g(1)＝1，且 f(x＋1)为奇函数，g(x－1)为偶函数，则( ) A．f(1)＝0 B．g(－3)＝0 C．g(2025)＝1 D．g(21)＝0 第2课时简单复合函数的求导法则 学习标准：能求简单的复合函数（限于形如十b)的导数. 学习重点：复合函数的求导法则. 学习难点：复合函数求导法测的运用， 【温故知新】回顾：导数的四则运算法则 和、差：[f(x)±g(x)'=f(x)y±g(x)': 积：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 特殊：[Cf(x)]'=Cf'(x): 商： f(e' =I')-)') La(x)l g2(x) [1' La(x) =、9 g2(x) 知识点1：简单复合函数的求导法则 情境：假设某商品的利润y是销售量“的函数，销售量“是销售价格x的函数，且 y=f0)=60u-w2,w=g)=60-3x 那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有 y=f(u)=f(g(x)=6060-3x)-(60-3x)y2=180x-9x2 概念生成 复合函数 一般地，已知函数y=f(0)和u=gx),给定x的任意一个值，就能确定u的值. 如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x)有意义，且称 y=h(x)=f(g(x)) 为函数f()与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量 问题1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的： (1)y =(3+sinx)4;(y=u,u=3+sinx) 2y=lnh0=lnu,u=zh》 (3y=22x-1:0y=24,u=2x-1) ④y=1os0=u=1-cosx刘 间题2：己知h(x)=sin2x,f(u)=sinu,g(x)=2x. (1)h(x)可以由f()与g(x)得到吗？ 如果在f(d)=sinu中，令u=g(x)=2x,则有 f(g(x))=sin(g(x))=sin2x=h(x) (2)分别求出h'(x),f'(u),g'(x),并总结它们之间的关系. 因为h(x)=sin2x=2 sinx cosx,所以 h'(x)=(2sinx cosx)' =2(sinx)'cosx +2 sinx (cosx)' 2cos2x-2sin2x =2c0s2x. 又因为f'(u)=cosu,g(x)=2,所以 h'(x)=f'(g(x)g'(x). 归纳总结 复合函数求导法则 一般地，如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为 y=h(x)=f(g(x)). 则可以证明，复合函数的导数h'(x)与f'(u),g(x)之间的关系为 h'(x)=[f(g(x)=f'(u)g'(x)=f(g(x))g'(x). 这一结论也可以表示为 yx=yuu'x 即：y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 例1：求下列函数的导数 (I)h(x)=e5x-1: (2)f(x)=ln(2x-1): (3)y=V2x-1; (④y=sin(2x+) 解：(1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数， 因此h'(x)=f'()g'(x)=(e)y(5x-1)y=eu×5=e5x-1 (2)f(x)=ln(2x+1)可以看成h(u)=lnu与u=g(x)=2x+1的复合函数， 因此 f')=h'(wg')=nwy2x+1y=是×2= (3)y=V2x-1可以看成y=Vu和u=2x-1的复合函数，因此 片=发4@'2x-1y-×2== 2x-1 (④)y=sin(2x+)可以看成y=sinu和u=2x+的复合函数，因此 发=yu4=(sin四'(2x+'=cosu×2=2cos(2x+3 练习1求下列函数的导数 (1)y=(2x-1)5: (2)y=22+1 解：(1)y=5(2x-1)5-1×(2x-1)'=5(2x-1)4×2=10(2x-1)4 (2)y'=22x+1ln2×(2x+1)'=22x+1n2·2=22x+2,n2. 例2求下列函数的导数. (I)v=xesr+2; 2y=xcos(2r+》in(2r+ (1)v/=x'esr*2+x(ese2)=esr+2+xesr+2x5=(5x+1)ess+2. (2)y=x cos (2x+2)sin (2x+-x(-sin 2x)cos 2x=-sin 4x, y'=气-sin4r=3in4r-os4r×4=-2in4-2xcos4x 练习2求下列函数的导数. (1)fr)=sin 2x+e2; (2)=子h(2x+1: a)-出22o>0.且4n 解(1)因为fx)=sin2x+e2,所以fx)=2cos2x+2e2 52_5 10x (2)因为)-子n(2x+),所以)-2x+)+2x中血(2r+)+3(2x+1) 3)因为)=sin1-2) ar—(a>0,且afl), 所以fx) -2cos (1-2x)atr-sin (1-2x)at-14ln a (a1)2 =-2cos(1-2r)-4sin(1-2x)na ai-1 例3证明：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数是周期函 数： *练习3[2022全国1卷12题]（多选）已知函数f(x)及其导函数∫(x)的定义域均为R,记 g(x)=f'(x), g(2+x)均为偶函数，则() A.f(0)=0 B. 82 =0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据 函数的性质逐项判断即可得解。 【详解】方法一：对称性和周期性的关系研究 对于@，因为得-2x为偶函数，所以}2小得+2即传小很+ ①，所以B-)=f),所以关于x=对称，则-)=④，故C正确： 对于g(x),因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)关于 x=2对称，由①求导，和g(x)=∫"(x),得 [得*尾小r** ,所以 g3-+g()=0,所以g)关于兮0)对称，因为其定义域为R,所以g=0,结合 8)关于=2对称，从而周期7=4×2-引-2，所以g》g)-0。 g(-1)=g()=-g(2),故B正确，D错误： 若函数f()满足题设条件，则函数(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定 (x)的函数值，故A错误。 故选：BC 方法二：【最优解】特殊值，构造函数法 由方法一知g(x)周期为2，关于x=2对称，故可设g(x)=cos(x),则 f(x)=-sin()+e,显然A,D错误，选BC 故选：BC 防法因为侣2 g(2+x)均为偶函数， 所以行2/传+2即传任+82+0=82-. 所以f(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x),则f(-)=f(4),故C正确： 3 函数/国，g)的图象分别关于直线x=x=2对称， 又g(x)=f"(x),且函数fx)可导， 所以[}-0g(6-=-g, 所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x), 所以8》8[)-0，g()=g0=8,故B正确，D错误 若函数f()满足题设条件，则函数(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定 (x)的函数值，故A错误 练习4（多选）(2023河北保定六校联盟高二期末联考)已知定义在R上的函数x)和g(x)的导 函数分别为/田和g.若)=生)+，且四为偶函数，g+1为奇函数，则 () A.(1)=1 B.g'(=4 c.g周=2 D.g'(2)=4 [解析]因为gx+1)为奇函数，所以g(一x+1)+gx+1)=0①，g'(x)的图象关于点 0,0对称，则g(0)=0,而/)（生）+1，则/0)0)+1=1，A正确：因为 x)为偶函数，所以一x)=fx),则一f(一x)=子(x),即fx)+f(x)=0,故fx)的图象关 于限点对称了@=0因为/x（生+1，所以g-22x-)-2,g固 22x号-1一2=-2，B错误：因为g)的图象关于点，0对称，所以g=一g付 2,c正确：又gG-+gG+=2W-2x+/2训-4=-4，故gw的图象关于点 -2小对称，所以g+1+g-)=-4②.由@②可得g(-)-g(-x+1)=-4,即 g'(x十1)一g(x)=4,所以g(2)=4十g(1)=4,D正确.故选ACD [答案]ACD 练习5（多选）(2023山东名校联盟高二联考)已知定义在R上的函数x),gx),其导函数分 别为fx),g'(x),若fx)=-x),g(-2)=0,x)十g(x一2)=cosx,f(x-2)+gx)=x 2,则() A.g'(x)的图象关于直线x=一2对称 B.g(x)的图象关于点（一2,0）对称 C.g'(x)是周期函数 Df(4)=0 答案ABC 解析因为x)+g(x一2)=cosx,所以一x)+g（一x一2)=cos(一x)=cosx.因为x)= (一x),所以g(x一2)=g(一x一2)，所以g'(x)的图象关于直线x=一2对称，A正确：设 Gx)=gx-2)+g(一x-2),则G(x)=gx一2)-g(一x-2)=0,所以Gx)=(c为常 数).G(0)=g-2)+g(-2)=2g(-2)=0,所以Gx)=0,即gx-2)+g(-x-2)=0①，则 g(x)的图象关于点（一2,0）对称，B正确：因为x)=一x),所以fx)=一f(一x,则fx)为 奇函数.函数y=x一f)仍然是奇函数，其图象关于原点对称.又g(x)=(c一2)一fx一2)， 所以gx)的图象关于点(2,0)对称，有g(2一x)十g(2+x)=0,即g(6-x)十gr一2)=0② 由①②可得g(6一x)=g(一x一2)，故g(x)为周期函数，T=8为gx)的一个周期，也是g'(x) 的一个周期，C正确：令x=6,可得f(6-2)+g(6)=6一2，即f(4)=4一g6)=4-g(一2)= 4,D错误. 【课后精练】 1.(多选)下列函数是复合函数的是( A.y=--1 B.y=cos(+到 1 C.y=Inx D.y=(2x+3) 答案BCD 解析A中的函数是一个多项式函数：B中的函数可看作函数“=x+平y=c0su的 复合函数；C中的函数可看作函数u=lnx,y=的复合函数：D中的函数可看作函数“ =2x+3,y=的复合函数.故选BCD 2.函数y=c0s(1+x2)的导数是( A.2x sin (1+x) B.-sin(1+x) C.-2x sin (1+x) D.2cos (1+x2) 答案C 解析y'=[cos(1+x2)]'=-sin(1+x2)(1+x2)y'=-2xsin(1+x2). 3.设函数x)=(1-2x)°，则f(1)=( A.0 B.60 C.-1 D.-60 答案B 解析因为fx)=101-2x)(-6r2),所以f(1)=10×(1-2)°×(-6=60. 4.函数x)=ln(x+1)的图象在点(1,1)》处的切线方程为 答案y=克+ln2-分 解析因为=h+,得/=中则)=n2,了①=2 所以切线的方 程为y-n2=-),即y=分+ln2-号 5.求下列函数的导数 0w=sm(-2x+引2r--2示 (3y=ln(4x+5);(4)y=e+2(2x+1) 解(0因为y=sn（-2x+引，所以y=60（-2x+-2x+到引=-2c0s (-2x+到 2咽为V7-2示=0-2的， 所以y=-01-29(1-2y=2x1-29= 2x (1-22)V1-2F 1 (3)因为y=l血(4r+5,所以y=(4r+5)×[4+5r=4r+5》×34r+5列 ×4=,12 4x+5 (4)因为y=e+(2x+1)5,所以y=(e+)(2x+1)户+e*2[(2x+1)]=e+2(-x+ 2)y(2x+1)5+er+2×5(2x+1)(2x+1)/=-e-r+2(2x+1)5+10(2x+1)'e-r+2=e-r+2(2x+ 1)(-2x-1+10)=e-x+2(2x+1)(9-2x). 6.(多选)(2023广东揭阳高二期末)已知定义在R上的函数fx)的导函数为fx),g(x) =子w),g(I)=1,且x+1)为奇函数，gx-1)为偶函数，则() A.1)=0 B.g(-3)=0 C.g(2025)=1 D.g(21)=0 答案AC 解析因为x+1)为奇函数，gx-1)为偶函数，所以-x+1)=-x+1),-(- x+1)=-fx+1),g(-x-1)=gx-1),所以x)的图象关于点(1,0)对称，gx)的图象 关于直线x=-1对称，(x)的图象关于直线x=1对称，又gx)=x),则g(x)的图象 关于直线x=1对称，所以g(x)=g2-x)=g(-2-x),gx)是以4为周期的函数，令x= 0,则1)=-1)，得1)=0，A正确；令x=2,则g(-3)=g(1)=1,B错误；因为2025 =4×506+1,所以g(2025)=g(1)=1,C正确；因为21=4×5+1，所以g21)=g1)=1, D错误，故选AC 第2课时　简单复合函数的求导法则 学习标准：能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 学习重点：复合函数的求导法则． 学习难点：复合函数求导法则的运用． 【温故知新】回顾：导数的四则运算法则 和、差：= ； 积：， 特殊：； 商：； . 知识点 1：简单复合函数的求导法则 情境：假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且 那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有 概念生成 复合函数 一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称 为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. 问题1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的： (1)；() (2)；() (3)；() (4). () 问题2：已知. (1)可以由得到吗？ 如果在中，令，则有 (2)分别，并总结它们之间的关系. ，所以 . 又因为，所以 . 归纳总结 复合函数求导法则 一般地，如果函数与的复合函数为 ， 则可以证明，复合函数的导数与之间的关系为 . 这一结论也可以表示为 . 即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 例 1：求下列函数的导数 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 解：(1) 可以看成与的复合函数， 因此 . (2)可以看成与的复合函数， 因此 . (3) 可以看成和的复合函数，因此 ==. (4) 可以看成和的复合函数，因此 =. 练习1.求下列函数的导数. （1）； （2）y = 22x+1 . 解：(1) . (2) . 　求下列函数的导数． (1)y＝xe5x＋2； (2)y＝x cos sin . [解]　(1)y′＝x′e5x＋2＋x(e5x＋2)′＝e5x＋2＋xe5x＋2×5＝(5x＋1)e5x＋2. (2)∵y＝x cos sin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－x sin 4x， ∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x×4＝－sin 4x－2x cos 4x. 练习2　求下列函数的导数． (1)f(x)＝sin 2x＋e2x； (2)f(x)＝x ln (2x＋1)； (3)f(x)＝(a＞0，且a≠1). 解　(1)因为f(x)＝sin 2x＋e2x，所以f′(x)＝2cos 2x＋2e2x. (2)因为f(x)＝x ln (2x＋1)，所以f′(x)＝ln (2x＋1)＋x·＝ln (2x＋1)＋. (3)因为f(x)＝(a＞0，且a≠1)， 所以f′(x) ＝ ＝. 例3 证明：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数是周期函数； *练习3 [2022全国1卷12题]（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]：因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 练习4 (多选)(2023·河北保定六校联盟高二期末联考)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，若f(x)＝g＋x，且f(x)为偶函数，g′(x＋1)为奇函数，则(　　) A．f′(1)＝1 B．g′＝4 C．g′＝2 D．g′(2)＝4 [解析]　因为g′(x＋1)为奇函数，所以g′(－x＋1)＋g′(x＋1)＝0　①，g′(x)的图象关于点(1，0)对称，则g′(1)＝0，而f′(x)＝g′＋1，则f′(1)＝g′(1)＋1＝1，A正确；因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则－f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)＋f′(－x)＝0，故f′(x)的图象关于原点对称，f′(0)＝0.因为f′(x)＝g′＋1，所以g′(x)＝2f′(2x－1)－2，g′＝2f′－2＝－2，B错误；因为g′(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g′＝－g′＝2，C正确；又g′＋g′＝2[f′(－2x)＋f′(2x)]－4＝－4，故g′(x)的图象关于点对称，所以g′(x＋1)＋g′(－x)＝－4　②.由①②可得g′(－x)－g′(－x＋1)＝－4，即g′(x＋1)－g′(x)＝4，所以g′(2)＝4＋g′(1)＝4，D正确．故选ACD. [答案]　ACD 练习5(多选)(2023·山东名校联盟高二联考)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，若f(x)＝f(－x)，g(－2)＝0，f(x)＋g′(x－2)＝cos x，f′(x－2)＋g(x)＝x－2，则(　　) A．g′(x)的图象关于直线x＝－2对称 B.g(x)的图象关于点(－2，0)对称 C．g′(x)是周期函数 D.f′(4)＝0 答案　ABC 解析　因为f(x)＋g′(x－2)＝cos x，所以f(－x)＋g′(－x－2)＝cos (－x)＝cos x．因为f(x)＝f(－x)，所以g′(x－2)＝g′(－x－2)，所以g′(x)的图象关于直线x＝－2对称，A正确；设G(x)＝g(x－2)＋g(－x－2)，则G′(x)＝g′(x－2)－g′(－x－2)＝0，所以G(x)＝c(c为常数).G(0)＝g(－2)＋g(－2)＝2g(－2)＝0，所以G(x)＝0，即g(x－2)＋g(－x－2)＝0　①，则g(x)的图象关于点(－2，0)对称，B正确；因为f(x)＝f(－x)，所以f′(x)＝－f′(－x)，则f′(x)为奇函数．函数y＝x－f′(x)仍然是奇函数，其图象关于原点对称．又g(x)＝(x－2)－f′(x－2)，所以g(x)的图象关于点(2，0)对称，有g(2－x)＋g(2＋x)＝0，即g(6－x)＋g(x－2)＝0　②.由①②可得g(6－x)＝g(－x－2)，故g(x)为周期函数，T＝8为g(x)的一个周期，也是g′(x)的一个周期，C正确；令x＝6，可得f′(6－2)＋g(6)＝6－2，即f′(4)＝4－g(6)＝4－g(－2)＝4，D错误． 【课后精练】 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 答案　BCD 解析　A中的函数是一个多项式函数；B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数；C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数；D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数．故选BCD. 2．函数y＝cos (1＋x2)的导数是(　　) A．2x sin (1＋x2) B．－sin (1＋x2) C．－2x sin (1＋x2) D．2cos (1＋x2) 答案　C 解析　y′＝[cos (1＋x2)]′＝－sin (1＋x2)(1＋x2)′＝－2x sin (1＋x2). 3．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　) A．0 B．60 C．－1 D．－60 答案　B 解析　因为f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2)，所以f′(1)＝10×(1－2)9×(－6)＝60. 4．函数f(x)＝ln (x＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为________． 答案　y＝x＋ln 2－ 解析　因为f(x)＝ln (x＋1)，得f′(x)＝，则f(1)＝ln 2，f′(1)＝，所以切线的方程为y－ln 2＝(x－1)，即y＝x＋ln 2－. 5．求下列函数的导数． (1)y＝sin ；(2)y＝； (3)y＝ln (4x＋5)3；(4)y＝e－x＋2(2x＋1)5. 解　(1)因为y＝sin ，所以y′＝cos ′＝－2cos . (2)因为y＝＝(1－2x2) ， 所以y′＝－(1－2x2) (1－2x2)′＝2x(1－2x2) ＝. (3)因为y＝ln (4x＋5)3，所以y′＝×[(4x＋5)3]′＝×3(4x＋5)2×4＝. (4)因为y＝e－x＋2(2x＋1)5，所以y′＝(e－x＋2)′(2x＋1)5＋e－x＋2[(2x＋1)5]′＝e－x＋2(－x＋2)′(2x＋1)5＋e－x＋2×5(2x＋1)4(2x＋1)′＝－e－x＋2(2x＋1)5＋10(2x＋1)4e－x＋2＝e－x＋2(2x＋1)4(－2x－1＋10)＝e－x＋2(2x＋1)4(9－2x). 6．(多选)(2023·广东揭阳高二期末)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，g(x)＝f′(x)，g(1)＝1，且f(x＋1)为奇函数，g(x－1)为偶函数，则(　　) A．f(1)＝0 B．g(－3)＝0 C．g(2025)＝1 D．g(21)＝0 答案　AC 解析　因为f(x＋1)为奇函数，g(x－1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，－f′(－x＋1)＝－f′(x＋1)，g(－x－1)＝g(x－1)，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，g(x)的图象关于直线x＝－1对称，f′(x)的图象关于直线x＝1对称，又g(x)＝f′(x)，则g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(x)＝g(2－x)＝g(－2－x)，g(x)是以4为周期的函数，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，得f(1)＝0，A正确；令x＝2，则g(－3)＝g(1)＝1，B错误；因为2025＝4×506＋1，所以g(2025)＝g(1)＝1，C正确；因为21＝4×5＋1，所以g(21)＝g(1)＝1，D错误．故选AC． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学导学案 编写人：梁松峰 第2课时　简单复合函数的求导法则 学习标准：能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 学习重点：复合函数的求导法则． 学习难点：复合函数求导法则的运用． 【温故知新】回顾：导数的四则运算法则 和、差：= ； 积： ；特殊： ； 商： ； ； 知识点 1：简单复合函数的求导法则 情境：假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且 那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有 复合函数 一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称 为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. 问题1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的： (1)； (2)； (3)； (4). 问题2：已知. (1)可以由与得到吗？ (2)分别，并总结它们之间的关系. 归纳总结：复合函数求导法则 一般地，如果函数与的复合函数为 ， 则可以证明，复合函数的导数与之间的关系为 . 这一结论也可以表示为. 即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 例 1：求下列函数的导数 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 练习1.求下列函数的导数. （1）； （2）y = 22x+1 . 　求下列函数的导数． (1)y＝xe5x＋2； (2)y＝x cos sin . 练习2　求下列函数的导数． (1)f(x)＝sin 2x＋e2x； (2)f(x)＝x ln (2x＋1)； (3)f(x)＝(a＞0，且a≠1). 例3 证明：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数是周期函数； *练习3 [2022全国1卷12题]（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． *练习4 (多选)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，若f(x)＝g＋x，且f(x)为偶函数，g′(x＋1)为奇函数，则(　　) A．f′(1)＝1 B．g′＝4 C．g′＝2 D．g′(2)＝4 *练习5(多选)知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，若f(x)＝f(－x)，g(－2)＝0，f(x)＋g′(x－2)＝cos x，f′(x－2)＋g(x)＝x－2，则(　　) A．g′(x)的图象关于直线x＝－2对称 B.g(x)的图象关于点(－2，0)对称 C．g′(x)是周期函数 D.f′(4)＝0 【课后精练】 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 2．函数y＝cos (1＋x2)的导数是(　　) A．2x sin (1＋x2) B．－sin (1＋x2) C．－2x sin (1＋x2) D．2cos (1＋x2) 3．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　) A．0 B．60 C．－1 D．－60 4．函数f(x)＝ln (x＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为________． 5．求下列函数的导数． (1)y＝sin ； (2)y＝； (3)y＝ln (4x＋5)3； (4)y＝e－x＋2(2x＋1)5. *6．(多选)(2023·广东揭阳高二期末)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，g(x)＝f′(x)，g(1)＝1，且f(x＋1)为奇函数，g(x－1)为偶函数，则(　　) A．f(1)＝0 B．g(－3)＝0 C．g(2025)＝1 D．g(21)＝0 2 学科网（北京）股份有限公司 $$