6.1.4 求导法则及其应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第六章 导数及其应用· 6.1.4 求导法则及其应用 学业标准 素养目标 1.掌握导数的运算法则,并能运用法则求复杂函数1.通过学习导数的四则运算法则,培养数学运算核 的导数,(重点、难点) 心素养. 2.掌握简单的复合函数的求导法则,会求复合函数2.借助求复合函数的导数,提升逻辑推理、数学抽象 (仅限于形如f(a十b))的导数.(易混点) 核心素养。 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 1教梳理 2.积的导数 (1)[/(x)g(x)]'一 导学1 函数和、差、积、商的求导法则 (2)[cf(x)]'一 已知/(x)-,g(c)-1. 3.商的导数 问题1 #7 f(x),g(x)的导数分别是什么? g(x)0. 导学2复合函数求导法则 问题1 问题2 试说明一(3x十2)是如何复 2 合的. 的导数. 问题2 试求y-(3x十2)②,f(u)-u2,g(x) -3x十2的导数. 问题3 Q(x),H(x)的导数与f(x),g(x) 的导数有何关系? 问题③ 观察问题2中的导数有何关系. 问题4 [f(x)g(x)]'一f(x)·g'(x) ○结论形成 对吗? 1.复合函数的概念 已知函数y一f(u)与u一g(x),给定x的 任意一个值,就能确定u的值,如果此时还 结论形成 能确定y的值,则v可以看成 的 导数的运算法则 函数,此时称f(g(x))有意义,且称y一 1.和差的导数 h(x)一f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复 [/f(x)士g(x)]'一 合函数,其中 称为中间变量 69 ·数学·选择性必修 第三册(配RJB版) 2.复合函数的求导法则 2.函数y=sinx·cosx的导数是 ) 如果函数v三f(u)与u一g(x)的复合函数 A.'-cos^{}x十sin{}x 为y=h(x)=f(g(x)),则h'(x) B. y'-cos}x-sin2x [f(g(x))]=f'(u)g'(x)= C.y'-2cosx·sinx 也可以表示为y。一 D.y'-cosx·sinx 1基础自测 3.(多选)下列求导运算不正确的是 ) #A.()-一1 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“×”) (1)若f(x)=f(1)lnx,则/(x)-f(1) C.(3)'-3loge (2)若y-xr*cosx,则y--2xsinx.( __ D.(x*cosx)'--2xsinx ( 4.若f(x)=(2x十a)②},且f(2)=20,则a= 2 (4)若y-3x-e',则'-6x-2e$.( 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 利用四则运算法则求导数 [触类旁通] (一题多解) 1.求下列函数的导数, 例 求下列函数的导数: (1)y-x2+logx; (1)y-xsinx; (2)y-·e*; (2)=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y1+si 1-sinx (3)-1. 1’ -11# lnx-2. (4)y- (4)一 1-1 x十1 [自主解答] 规律方法 对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联 系基本初等函数的导数公式,当不易直接应用导数 公式时,应先对函数进行化简(恒等变形),然后求 导,这样可以减少运算量,优化解题过程 70 第六章 导数及其应用· 题型二 求复合函数的导数 题型三 求导法则的综合应用 (一题多变) 例② 求下列函数的导数 例 已知函数f(x)=ax{}+2ln(2-x) (1)y-e2x+1; (aER),设曲线y三f(x)在点(1,f(1))处 (2)y-(2x-1); 1 (3)-5log。(1-x) 切,求实数a的值 (4)y-sinx+sin3x. [自主解答 [自主解答] 规狸万法 复合函数求导的步骤 分解 选定中间变量,正确分解复合关系,即 去 说明函数关系y-/f(u),u=g(x) 分步求导(弄清每一步求导是哪个变量 [母题变式] 对哪个变量求导),要特别注意中问变量 对自变量求导,即先求y,再求 (变条件、变结论)若将上例中条件改为“直 ##### 计算y,并把中间变量转化为自变 线/与圆C:x{②+y}-相交”,求a的取值 量的函数 [触类旁通] 范围. 2.(2024·湖北黄冈高二月考)求下列函数的 导数: xln-ln(x+1); (1)y- 十1 (3)y-sin3x·cos4x 71 ·数学·选择性必修 第三册(配RJB版) [素养聚焦 ]本题通过复合函数的求导运算,培养 '切线方程为 --1失分警示- y+4--12(x-1). 数学运算核心素养。 不化简直线方 程扣1分. 规律万法 即y--12x+8. ......... 解决此类问题,正确求出复合函数的导数是前 .................6分) 提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含 y-3x -2x3-9.x2+4. (2)由 条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题, y--12x+8, 寻求切点是解决问题的关键。 得3x-2x3-9x2+12x-4-0,....... [触类旁通] ...................................分) 3.(1)(2024·江苏扬州高二期中)已知函数 ..(x-1)(x+2)(3x-2)-0. .2 f(x)-x-ln2x,则/(c)在P(()处 ....(10分) 3. 的切线方程为 分别代入y--12x十8. (2)(2024·广东惠州高二月考)已知点P 求得y--4,y。-32,y-0. 在函数f(x)一e^2*十x十9的图象上,则P 即公共点为(1,一4)(切点),(-2,32) 到直线/:3x-y-10-0的距离的最小值 #22,). 为 '除切点外,还有两个交点 1失分警示上 [填密思维提能区] 规范答题 过漏解扣2分 (-2.32)(2). 求曲线的切线方程 ......... [典例](13分)已知曲线C:y=3x-2x3 ....................分) -9x2十4. 课堂小结 (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线 知识落实 技法强化 方程; (1)应用和、差、积、商的求导法则求 (2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他 导数时,在可能的情况下,应尽量少 公共点? 用甚至不用积、商的求导法则,应在 求出切 求出斜率,点 [审题指导] 求导之前,先对函数进行化简,然后 点坐标 斜式方程求解 (1)函数和、 再求导,这样可以减少运算量,提高 差、积、商的 联立方程组求 运算速度,避免差错 求导法则. 出公共点坐标 (2)求复合函数的导数的注意点; (2)复合函数 ①内、外层函数通常为基本初等 [规范解答](1)把x三1代入C的方程, 求导法则. 函数. 求得y--4. ②求每层函数的导数时注意分清是 .切点为(1,一4). .................. (2分) 对哪个变量求导,这是求复合函数 “'-123-6x-18x, 的导数时的易错点 ·切线斜率为 -12-6-18--12. .. 请完成[课后案1学业评价(十六)、 ....................................4分) 阶段测评(三) 2) [例2] [解析] 因为y-,所以当工-e时,y-, 6.1.4 求导法则及其应用 课前案·自主学习 即切线斜率为-,所以切线方程为y-1-l(x-e),即 [教材梳理] x-ey-0. 导学1 [母题变式] [问题1][提示]f(x)-1,g(c)=- 1.解析 因为O(0,0)不在曲线上,所以设切点为Q(a,b), 则切线斜率 -,又因为--0且 --,且b-lna,所以 二) a=e,b-1,所以切线方程为x-ey=0. 2.解析 问题可以转化为函数y-ln工与y-nx的图象 1 有且仅有一个公共点,由图象易知m 0满足条件,另 外就是y一mx是y-lnx的切线时满足条件,因为y .Q()-l-lm(1-(+)-1- nx图象过(0,0),所以设切点为Q(a,b),则切线斜率 -_0,且b-lna,所以a-e,b-1, 同理H(2)-1+) [问题3] [提示]Q(x)的导数等于f(x),g(x)导数的 和,H(x)的导数等于f(x),g(x)导数的差. [触类旁通] [问题4][提示]不对,因为f(x)g(x)=1, 2.解析 (1)y'=e{。因为曲线y=e}在点A(xA,yA)处的 [#(2)g()]-0,而f(n)·g(g)-1x(-)- 切线与直线x十ey-l-0垂直,所以函数y=e在x= xA处的导数值为e,即e{A-e,所以工A=1,则yA=e, 结论形成 所以点A的坐标为(1,e).故选B 1.f(z)士g'(x) (2):'y--sinx.余弦曲线y-cosx在(,o)处的 2.(1)/'(x)g(x)十f(x)g'(x) (2)cf(x) 3.g(x)f'(x)-/(x)g() 切线斜来人--sin吾--1 g2(c) 导学2 .所求切线方程为y--(x-),即y---十.故 [问题1] [提示]令u=g(x)=3x十2,y=f(u)=^② 选A. 则y-f(u)=f(g(x))-(3x十2)②. 答案(1B(2)A [问题2][提示]y-(9-+12x+4)'-18x+12, [例3] [证明]设 P(co,so)为y-上任意一点, f(u)-2u,g'(x)-3. [问题3] [提示] y'=[f(g(x))]'=f(u)·g’(x) C结论形成 1.x u 2.f(g(x))g'(x) .双曲线在P (2o,)处的切线斜率 - l--。= y [基础自测] 1.解析(1)/(c)=f(1)·(lnx)'-/(1) 2 ro (2)由y=r?cosx,得y'-2xcosx-r2sinx. (3)由-sinx,得yxcosx-sinx. 所以切线与x轴、v轴的交点分别为(2xo,0),(o.2). 2 (4)根据导数四则运算法则,y'一(3x^{})一(e{)= 因此,所求三角形的面和为$-12o1· -2(常数). 6x-2e2. 答案(1)(2)×(3)×(4)× .在双曲线y--上任意一点处的切线与x轴、y轴围 2.B y=(sinx·cos x)'=cos x·cos x+sinx (-sinx)-cos?x-sin②x. 成的三角形的面积为常数 3.ACD 由求导法则易知只有B正确. [触类旁通] 4.解析 f(x)=4x2+4ax+a^②},''f'(x)=8x+4a, 3.解析 由图形的直观性可知,当P到直线l:x十y十2-0 '.f(2)=16+4a=20,.'a=1. 的距离最小时,过点P的切线与直线l是互相平行的,那 答案1 么它们的斜率是相等的,即切线的斜率也等于一1. 课堂案·互动探究 设P(xo,yo),则b-y'l-=2xo=-1,xo=- 2 [例1][解析] (1)y'=(x)'sinx十x(sinx)' P(,).由点到直线的距离公式知点P到1的距 -sinx十xcosx. (2)方法一y-[(x+1)(x+2)(x+3)]’ #-2# -[(x+1)(x+2)](x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)' 1-7#7.# 离为d二 -[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)](x+3)+(x+1) 2 (x十2) 23 =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) (4)函数y=sin3x可看作函数y=u和u=sinx的复 =(2x+3)(x+3)+r2+3x+2 合函数,函数y=sin3x可看作函数y=sinv和v-3x -3x2+12x+11. 的复合函数. 方法二.y=(x十1)(x+2)(x+3) 'y=(u3)'·(sinx)'+(sinv)'·(3x)' -(+3x+2)(x+3)-x3+6x2+11x+6. -3②·cosx十3cos v 'y'-[(x十1)(x+2)(x+3)] -3sin2xcos x+3cos 3x. -(+6x2+11x+6)'-3x2+12+11. [触类旁通] (3)方法一-(二1) 2.解析 (1)_(1+ìn z)(+1)-xln1_n (x十12 x+1(+1)2 (x-1)(x+1)-(x-1(x+1) (#2)因--1二# (x十1)2 x+1-(r-1)2 (2十1)2 (a十1)2· (2+1)2 “2-1 方法二:--1-+1-2-1-2 x1' (3)y'-12cos 3x· sin33x· cos34x-12sin 4x· sin'3x 21= x十1 -(1-)--() · cos②4x-12sin33x·cos{4x·cos 7x. 2(x+1)-2(x+1)2 (x+1)2 (2十1)2. (x<2),所以f(1)-2a-2, (4)y(ln-2*)'-(l)'-(2) 所以切线l的方程为2(a-1)x-y+2-a-0. 因为直线/与圆相切,所以圆心到直线/的距离等于半 1(x+1)-1nx 径,即d-__ --2*ln2 4(a-1)2+1 (x十1)2 +1-xlnx-2=ln 2. [母题变式] 解析 由例题知,直线/的方程为 x(2十1)② 2(a-1)x-y+2-a-0. [触类旁通] ·直线1与圆C:x2}+2-士相交, 1.解析 (1)y'=(x2+logax)'=(r②)'十(logax) 2+ .圆心到直线1的距离小于半径. (2)y'-(x3·e)'-(3)'·e*+x3.(e) 即d-- 4(a-12+1 -3?·+r3·e*-x2e(3+x). (3)y-(1-sin) [触类旁通] 3.解析 (1)由题意知:f(x)=x-ln2x,x(0,+oo). (1-sinx)'(1+cosx)-(1-sinx)(1+cosx)' f(2)#1-1,则切线斜率 -/r()--1, (1十cosx)2 --cos x-cos2x+sinx-sin2x-1-cos x+sinx. ##/()-..P(). (1十cosx)2 (1+cosx)② 1+1-(1+)2(1-)2 .f(x)在点P处的切线方程为 (4)因为y三 #-1--(-)# 1-x 1- 1+x 1-x 即x十y-1-0. (2)由f(x)-e^2十x十9,可得/f(x)=2e2*+1, 所以y-(14-2)#-4(1-)-4(1-)4 (1-x)2 (1-)2. 又点P在曲线y=f(x)上,设P(xo,yo),则过点P与 [例2] [解析] (1)函数y=e2x+1可看作函数y=e“和 1:3x一y-10-0平行的切线的斜率为3, 令f(xo)-2e2。+1-3,xo-0,则f(0)-10 u一2x十1的复合函数, 'y'.-y'..'-(e“)'(2x+1)'-2e"-2e2x+1. ..P(0,10),点P(0,10)与直线1的最小距离为 -1-10-101-210. (2)函数y= (2-1)可看作函数y--3和u-2x-1 32+12 的复合函数, 答案(1)x+y-1-0(2)2v10 .y-y'...'-(-3)(2x-1)'--6-4 6.2 利用导数研究函数的性质 =-6(2x-1)-4---6 6.2.1 导数与函数的单调性 (2x-1)· (3)函数y-5log(1一x)可看作函数y-5logu和u= 课前案·自主学习 1一x的复合函数, [教材梳理] 导学 .y,=y.·-5(log )'·(1-)--5 uln2 5 [问题1][提示] f(x)在(一,)上单调递增,其导 (a-1)ln2 函数f(x)>0.