精品解析： 广东省韶关市仁化县 2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期 八年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，属于轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 截至2024年，世界上最先进的芯片已经达到了3纳米级别，3纳米就是米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在中，平分，交于点，于点，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6 6. 化简：（ ） A. B. C. D. 7. 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在边的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是______________． 12. 计算：______________． 13. 分解因式：_______． 14. 如图，若，则的度数为______________． 15. 如图，在等腰中，于点，已知，，，若E，F分别是线段上的动点，则的最小值为______________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，已知三个顶点的坐标分别是． （1）画出与关于轴对称的，并写出点和点的坐标； （2）求的面积． 20. 如图，在中，，． （1）【实践与操作】用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）【应用与计算】在（1）的条件下，连接，请解答以下问题： ①求的度数； ②填空：若，则的长为______________． 21. 韶关市某中学开展科技节活动，某社团为了调动同学们参加活动的积极性，准备用300元为通关的同学们购买奖品：套尺和笔记本． （1）已知购买套尺的金额比购买笔记本的金额的2倍少60元，求购买笔记本一共花了多少钱？ （2）在第（1）问的条件下，已知商店套尺的单价是笔记本单价的2倍，且购买笔记本比套尺多6件，求笔记本与套尺的单价． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 23. 【综合与探究】 已知，在中，，．请解答以下问题： （1）如图1，点A，B的坐标分别为，点在第二象限，过点作轴于点，可求得点的坐标为____________； （2）如图2，点在轴上，交轴于点，取的中点，连接、．若轴，求证：； （3）如图3，点为线段延长线上的动点，点在边上（不与点重合），连接，过点作，且，连接．在点运动的过程中，的度数是否为定值？请证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期 八年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式的定义是解答本题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分数，不是分式，故A选项不符合题意； B、是分式，故B选项符合题意； C、是整式，不是分式，故C选项不符合题意； D、是整式，不是分式，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，故该选项符合题意； C、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：B． 3. 截至2024年，世界上最先进的芯片已经达到了3纳米级别，3纳米就是米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是正确计算的前提，根据法则直接计算即可． 【详解】解：A、，故选项正确，符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，平分，交于点，于点，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，根据求出的长． 【详解】解：∵，平分，于点， ∴， ∵， ∴．   故选：B ． 6. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式除法．利用整式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 7. 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．利用多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n， 因为多边形的内角和公式为， 所以， 解得， 所以这个多边形的边数是． 故选：C． 8. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，解得， 故选：D． 9. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的加减．利用同分母分式加减法进行计算即可得出答案． 【详解】解：． 故选：A． 10. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在边的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据，，得到，根据三角形外角的性质得到，计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分式的分母不能为0，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 12. 计算：______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，绝对值的性质．根据零次幂，绝对值的性质化简，然后再计算即可． 【详解】解：； 故答案是：4． 13. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，若，则的度数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 15. 如图，在等腰中，于点，已知，，，若E，F分别是线段上的动点，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题等知识点．作F关于的对称点M，连接交于E，连接，过B作于N，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作F关于的对称点M，连接交于E，连接，过B作于N， ∵，，，， ∴， ∵F关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．先计算分式的乘法，再计算加法即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理： （1）先由平行线性质得到，再证明，即可利用证明； （2）先由三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出与关于轴对称，并写出点和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称： （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵与关于轴对称，， ∴． 【小问2详解】 解；由题意得，． 20. 如图，在中，，． （1）【实践与操作】用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）【应用与计算】在（1）的条件下，连接，请解答以下问题： ①求的度数； ②填空：若，则的长为______________． 【答案】（1）见解析 （2）①；②3 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）①由题意得．由线段垂直平分线的性质可得，则，即可得； ②由①可得为的平分线，则，，可得． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴为的平分线， ∵直线为线段的垂直平分线，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：3． 21. 韶关市某中学开展科技节活动，某社团为了调动同学们参加活动的积极性，准备用300元为通关的同学们购买奖品：套尺和笔记本． （1）已知购买套尺的金额比购买笔记本的金额的2倍少60元，求购买笔记本一共花了多少钱？ （2）在第（1）问的条件下，已知商店套尺的单价是笔记本单价的2倍，且购买笔记本比套尺多6件，求笔记本与套尺的单价． 【答案】（1）购买笔记本一共花了120元钱； （2）笔记本的单价为5元，套尺的单价为10元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设购买笔记本一共花了x元钱，购买套尺一共花了y元钱，根据准备用300元为通关的同学们购买奖品：套尺和笔记本，购买套尺的金额比购买笔记本的金额的2倍少60元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设笔记本的单价为m元，则套尺的单价为元，根据购买笔记本比套尺多6件，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设购买笔记本一共花了x元钱，购买套尺一共花了y元钱， 由题意得：， 解得：， 答：购买笔记本一共花了120元钱； 【小问2详解】 解：由（1）可知，购买笔记本一共花了120元钱，购买套尺一共花了180元钱， 设笔记本的单价为m元，则套尺的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：笔记本的单价为5元，套尺的单价为10元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 23. 【综合与探究】 已知，在中，，．请解答以下问题： （1）如图1，点A，B的坐标分别为，点在第二象限，过点作轴于点，可求得点的坐标为____________； （2）如图2，点在轴上，交轴于点，取的中点，连接、．若轴，求证：； （3）如图3，点为线段延长线上的动点，点在边上（不与点重合），连接，过点作，且，连接．在点运动的过程中，的度数是否为定值？请证明你的结论． 【答案】（1） （2）见解析 （3）在点F运动的过程中，的度数为定值，是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交y轴于N，证明和，即可得结论； （3）过点F作于F，交的延长线于K，证明是等腰直角三角形，得，再证明，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点A，B的坐标分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，过点A作，交y轴于N， ∵轴， ∴轴， 同理得：， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在点F运动的过程中，的度数为定值，是，理由如下： 如图3，过点F作于F，交的延长线于K， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在点F运动的过程中，的度数为定值，是． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，同角的余角相等等知识点的综合应用，主要考查了学生的推理和计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$