精品解析：四川省成都市第七中学初中学校2024--2025学年下学期一模数学试题

成都七中初中学校2024--2025学年度下校一诊质量检测(数学) (命题人：吴智伟，审题人：梁艳华)(满分150分，120分钟完成) 一、选择题(每小题4分，共32分) 1. 在3，，0,1四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 1 2. 据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次．8.26亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A. 4 B. 10 C. D. 5. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 6. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）． A. B. 当时，随的增大而减小 C. 点的坐标为 D. 二、填空题(每小题4分，共20分) 9. 分解因式：2a3﹣8a=________． 10. 在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为______． 11. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 12. 如果抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为_____________． 13. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，与交于点E，连接，若，直线恰好经过点A，则的长为 _____． 三、解答题(本大题共5个小题，共48分) 14. （1）计算∶ ； （2）解不等式组： 15. 某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长（单位：分种） 人数 所占百分比 A B C D 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为___，表中x的值为___； （2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数； （3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 16. 某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点A 处，测得高架桥顶端C的仰角为，在离A点的点B 处测得高架桥顶端C 的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．(结果精确到．参考数据：     17. 如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC （1）求证：； （2）若，于点，，，求的值 18. 已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，交y轴于点C． （1）当A点的横坐标为4时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）在（1）的条件下，若点A关于原点的对称点为，求的面积； （3）探究：点P在y轴上，是否存在一点P，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点P．若存在，求出P点坐标及此时的k值；若不存在，请说明理由． 一、填空题(每小题4分，共20分) 19. 若，则代数式 的值为_______． 20. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 21. 从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是_________． 22. 若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则_____ ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是________． 23. 如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 二、解答题 (本大题共3个小题，共30分) 24. 为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图． （1）直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； （2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若与的面积之比是，求的值； （3）若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都七中初中学校2024--2025学年度下校一诊质量检测(数学) (命题人：吴智伟，审题人：梁艳华)(满分150分，120分钟完成) 一、选择题(每小题4分，共32分) 1. 在3，，0,1四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的能力，运用有理数大小比较的知识进行求解，熟练掌握正数大于负数，0大于负数且小于正数的大小比较法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴最大的数是3， 故选：A． 2. 据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次．8.26亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：8.26亿； 故选：B． 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式与平方差公式逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式与平方差公式，熟练掌握合并同类项，积的乘方，完全平方公式与平方差公式是解题的关键． 4. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A. 4 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， ，四边形与四边形相似， ， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 故选：B． 5. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55， 把这6个数从小到大排序：50，51，55，55，61，64， ∴这组数据的中位数是：， 故选：B． 6. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接OB，OC， ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径为：3， ∵∠BOC360°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3， ∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3， 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 7. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵， 依题意，得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）． A. B. 当时，随的增大而减小 C. 点的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得出该二次函数对称轴为直线，再根据点A坐标为，即得出，可判断C；结合A，B，C三点坐标可判断其图象开口向上，可判断A；根据对称轴为直线，图象开口向上，即得出当时，随的增大而增大，可判断B；根据图象开口向上，与轴交于点和点，即得出当时，，代入，即得出，可判断D． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴，故C错误，不合题意； ∵二次函数的图象与轴交于点和点，其顶点坐标为， ∴抛物线开口向上， ∴，故A错误，不合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故B错误，不合题意； ∵二次函数的图象开口向上，与轴交于点和点， ∴时，， ∴，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 二、填空题(每小题4分，共20分) 9. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 10. 在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标平移规律可得点平移后的点坐标，再根据该点恰好落在直线上，代入求解即可． 【详解】解：将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点， 根据题意，得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键． 11. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 12. 如果抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，即可解得抛物线为，将代入即可求得顶点坐标． 【详解】解：∵的对称轴是轴， ∴， 解得： ∴抛物线为：， 将代入得：， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴为直线，与y轴的交点为． 13. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N； ②作直线，与交于点E，连接，若，直线恰好经过点A，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，，再根据菱形的性质利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：根据作图可知直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵菱形中，， ，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 三、解答题(本大题共5个小题，共48分) 14. （1）计算∶ ； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、实数的运算，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和实数运算的运算法则． （1）先算零指数幂、负整数幂、特殊角的三角函数值、去绝对值，然后计算乘法，再算加减即可； （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 原不等式组的解集是． 15. 某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长（单位：分种） 人数 所占百分比 A B C D 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数为___，表中x的值为___； （2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数； （3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）， （2）200 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等级的人数除以占比求得总人数，根据的人数除以总人数乘以即可求得的值； （2）根据样本估计总体，用乘以等级人数的占比即可求解； （3）根据画树状图的方法求得所有可能，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总人数为（人） ， 故答案为：，． 【小问2详解】 （人）， 答：等级为B的学生人数为200人． 【小问3详解】 画树状图，如图所示： 共有12种等可能结果，其中符合题意的有8种， 抽到一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查了频数分布表，条形统计图，样本估计总体，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点A 处，测得高架桥顶端C的仰角为，在离A点的点B 处测得高架桥顶端C 的仰角为．求这段高架桥离地面的高度．(结果精确到．参考数据：     【答案】这段高架桥离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设这段高架桥离地面的高度为．根据正切的定义分别用表示出、，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 设这段高架桥离地面的高度为． 在中，， ∴，即， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即． 解得． ∴这段高架桥离地面的高度约为． 17. 如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC （1）求证：； （2）若，于点，，，求的值 【答案】（1）连接 ∵是⊙O的切线，AE是⊙O的直径， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 根据圆周角定理可得： ∴， ∴； （2）18． 【解析】 【分析】（1）连接，根据是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，可得，利用，得到，根据圆周角定理可得，则可证得； （2）由（1）可知，易得，则有,则可得，并可求得，连接，易证，则有，可得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∵ ∴ ∴ ∴, ∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵中， ∴， 如图示，连接 ∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 18. 已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，交y轴于点C． （1）当A点的横坐标为4时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）在（1）的条件下，若点A关于原点的对称点为，求的面积； （3）探究：点P在y轴上，是否存在一点P，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点P．若存在，求出P点坐标及此时的k值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）24 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入解析式可求出，联立方程组即可得到答案． （2）求出点的坐标，再由三角形的面积公式即可得到答案． （3）过点A作轴于E，轴于D，设点，联立方程组求出点B的坐标，得到，证明，得到，从而得到，利用得到关于a的方程，求出a的值即可求解． 【小问1详解】 解：设点， 一次函数图象过点A， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交与Q，： ， 点A关于原点的对称点为的坐标为， 当时，， ∴，， 又， ， 即的面积是24； 【小问3详解】 解：如图，过点A作轴于E，轴于D， ， 设点， ，， 联立方程组可得： ∴， 解得：(点A的横坐标)， 当时，， 点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、填空题(每小题4分，共20分) 19. 若，则代数式 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先得到，然后把括号内分式通分，除法化为乘法，然后因式分解约分，再整体代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 21. 从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根的判别式，概率，先解方程组求出，根据整数解得到a的值，然后利用抛物线与x轴有交点得到，进而得到满足条件a的值，利用概率公式计算解题． 【详解】解方程组得， ∵有整数解， ∴为，，， 解得为，，，，，； 又∵当二次函数与x轴有交点， ∴，且， 解得：且， ∵当时，函数为， 此时函数与x轴有公共点， ∴符合的a的值为，，， ∴概率是， 故答案为：． 22. 若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则_____ ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，依据题意结合函数增减性及最值思考是解决本题的关键．根据题意把和代入相减得到，求出结果即可；把和代入求出解析式为，继而得到对称轴为，再分为和，根据题意分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：把和代入可得：， 两式相减得， 即， ∵， ∴； 把和代入得， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线， 当时，则， 若时，即， ∵在范围内，y随x的增大而减小， ①当时，即抛物线开口方向向下，由该部分图象位于对称轴右侧，即：，即， ②当时，即抛物线开口方向向上，由该部分图象位于对称轴左侧，即：，即， 综上所述，a的取值范围为或． 23. 如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、，利用三角形外接圆的性质得到是等边三角形，利用锐角三角函数的定义可得，，则有，，通过证明得到，，设，，在中利用勾股定理整理得到，再通过证明，得到，代入数据整理得到，联立方程解出的值，即可求出的长． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、， ，， ， 等边， ，， 是的外接圆，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，， ，，，， 在中，， 在中，， ， 整理得：； ，， ， ， ， ， 整理得：； 得，， 解得：或（舍去）， 代入到②，得， 解得：或（舍去）， ． 的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外接圆、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，利用三角形外接圆的性质建立方程是解题的关键．本题属于几何综合题，对几何知识储备要求较高，同时需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 二、解答题 (本大题共3个小题，共30分) 24. 为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分图象如图． （1）直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； （2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键． （1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式． （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值． 【小问1详解】 解：设解析式为 根据图像可知，点在上 ∴，解得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每天获利w元，根据题意得 ∵， ∴当时，w取最大值为1250， 答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若与的面积之比是，求的值； （3）若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的面积为定值，的面积为4 【解析】 【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，代入求解即可； （2）根据与的面积之比是，通过线段比例关系和韦达定理求解的值； （3）通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：若与的面积之比是， 则， ∵点在同一直线上， 则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得， ∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧， ∴， ∴，即， ∴，即． 【小问3详解】 解：点关于轴的对称点， 直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 将点的坐标代入上式得： ， 整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 同理可得，的表达式为： ， 联立上述两式得： ， 解得：， ， 则， ， ， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为， ∴． 26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $