精品解析：江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，则（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 5. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 7. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，与位似，位似中心为点O， ，的面积为18，则面积为（ ） A. 54 B. 24 C. 32 D. 9. 若二次函数图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，，，，点M在折线段上运动，令，点D到的距离为y，则y的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是_______． 12. 如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域，分别标有字母A和B，标有A的扇形圆心角的度数为，自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率为______． 13. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA=______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则______． 15. 如图，已知等边的边长6，点D、E分别在、边上且，，作交边于点F，则的长是______． 16. 平面直角坐标系中，抛物线对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本． （1）小明抽取到《周髀算经》这本书的概率为______； （2）请用列表或画树状图方法求小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 20. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 21. 如图，在和中，的延长线经过点C，且， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点 （1）求b的值及点B的坐标； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）若直线l：（、n为常数且）经过B、C两点，则关于x的不等式的解集为______． 23. 如图，已知是的直径，点是的中点，弦交于，过点的直线交延长线于点且． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求阴影部分的面积（结果保留． 24. 在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： （1）观察图①图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是______； （2）如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由；（参考数据：，） （3）在（2）的条件下，若以点B为圆心，r为半径的与所在的直线有唯一的公共点，则r的值为______． 25. 图1、图2、图3、图4、图5均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点． （1）如图1，连接交于点E，则的值为______； （2）仅用无刻度的直尺在给定的网格中，按下列要求作图（保留作图痕迹并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，不写作法）． ①如图2，在线段上确定一点P，使； ②如图3，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，在线段BF上确定一点Q，使； ③如图4，在上确定一点H，使∽； ④如图5，在上确定一点M，使的面积为 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：与x轴交于，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点，是抛物线上不同的两个点，设，求w关于k的函数表达式并证明； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴交于B、C两点（在C的左侧）． ①若A、B是线段的三等分点，则t的值为______； ②若A、B两点重合，则抛物线的函数表达式为______； ③在②的条件下，过抛物线第一象限内一点M作直线，交抛物线于点设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，判断的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，顶点坐标为．由抛物线的顶点坐标式可求得答案． 【详解】解：二次函数 顶点坐标为． 故选：D． 3. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 4. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可． 【详解】解：根据题意， 把一元二次方程配方得，， ∴化成的形式为． 故选B． 【点睛】考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5. 如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 令圆锥的底面半径为r， 则， 解得， 所以圆锥的底面半径为 故选： 6. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，她的最后得分为分， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键． 7. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：D 8. 如图，与位似，位似中心为点O， ，的面积为18，则面积为（ ） A. 54 B. 24 C. 32 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ， ， 的面积为18， 面积为32， 故选：C． 9. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 10. 如图，四边形中，，，，，点M在折线段上运动，令，点D到的距离为y，则y的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，反比例函数的图象与性质，巧用分类讨论的数学思想是解题关键．根据题意，对点M在和上的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：当点M在上时， ，且， 点D到的距离为定值5，即； 当点M在上时， 过点M作于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， 连接， 则， 点M在上， ， 则当时，y的值最小为 综上所述，y的最小值为 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据题意，得到，列出不等式进行求解即可，熟练掌握根的判别式与根的情况，进行判断即可． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域，分别标有字母A和B，标有A的扇形圆心角的度数为，自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=这个事件所占有的面积与总面积之比．根据几何概率的求法，用标有A的扇形的面积除以转盘的面积，根据扇形的面积公式，标有A的扇形的面积与转盘的面积之比等于标有A的扇形圆心角的度数与之比． 【详解】解：自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率， 故答案为：． 13. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则cosA=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：从图形可知：AE=4，CE=2， 由勾股定理得：AC= ＝2， cosA=== 故答案为.． 【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：35． 15. 如图，已知等边的边长6，点D、E分别在、边上且，，作交边于点F，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，而，，所以，，因为，所以，则，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：是边长为6的等边三角形， ，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 16. 平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】解： 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法． 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：， ， ，， ， 19. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本． （1）小明抽取到《周髀算经》这本书的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】此题考查是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接用概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3本书，每本书被小明抽到的概率相同， ∴小明抽到《周髀算经》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种， ∴小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 20. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，9，； （2）见解析； （3）变大． 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据众数的定义确定a的值，根据方差公式计算甲的方差得到c的值，然后根据中位数的定义确定b的值； （2）利用方差的意义得甲的成绩比较稳定，从而决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大，数据的波动性变大，所以方差变大． 【小问1详解】 解：甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， 甲选手的成绩众数为8，即， ， 即； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， 乙选手的成绩的中位数为9； 故答案为：8，9，； 【小问2详解】 解：教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； 【小问3详解】 第6次5环，与平均数相差比较大， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． 故答案为：变大． 21. 如图，在和中，的延长线经过点C，且， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽； （2）由相似三角形的性质得，而，，，则 【小问1详解】 证明： ， ，， ， ， ∽； 【小问2详解】 解：∵， ， ，，， ， 的长是 22. 已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点 （1）求b的值及点B的坐标； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）若直线l：（、n为常数且）经过B、C两点，则关于x不等式的解集为______． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，掌握待定系数法和函数与不等式的关系是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据描点法作图； （3）根据函数与不等式的关系求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得：，， ， 令，则， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线， 图象如图所示： ； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， 直线l的图象如图示： 由图象得：当时，， 故答案为：． 23. 如图，已知是的直径，点是的中点，弦交于，过点的直线交延长线于点且． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求阴影部分的面积（结果保留． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据切线的判断方法，利用等腰三角形的性质，圆周角定理得出即可； （2）根据扇形面积，三角形面积的计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 证明：连接、， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：中，， ， 在中，，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，切线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 24. 在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： （1）观察图①图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是______； （2）如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由；（参考数据：，） （3）在（2）的条件下，若以点B为圆心，r为半径的与所在的直线有唯一的公共点，则r的值为______． 【答案】（1）③④； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系——相切，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． （1）根据直角三角形的边角关系以及锐角三角函数即可判断； （2）过点C作出三角形的一条高，然后利用直角三角形的边角关系以及锐角三角函数即可解决； （3）根据直线与相切时有唯一公共点可知：高，利用面积法即可解答． 【小问1详解】 解：图①已知一个角及它所对的边，而另外两个角可以任意变动，故图①不能求出其余未知元素； 图②已知三个角，而三个边可以任意变动，故图②不能求出其余未知元素； 图③已知两个角及其夹边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出图③其余未知元素； 图④已知两角及其中一个角的对边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出图④其余未知元素； 故答案为：③④； 【小问2详解】 解：如图1，过点C作于点D， 中，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，过点B作于E，过点C作于点D， 当与直线相切时，与所在的直线有唯一的公共点， 此时， ， ， ， 故答案为： 25. 图1、图2、图3、图4、图5均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点． （1）如图1，连接交于点E，则的值为______； （2）仅用无刻度的直尺在给定的网格中，按下列要求作图（保留作图痕迹并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，不写作法）． ①如图2，在线段上确定一点P，使； ②如图3，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，在线段BF上确定一点Q，使； ③如图4，在上确定一点H，使∽； ④如图5，在上确定一点M，使的面积为 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，作图复杂作图，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）①根据相似三角形的性质作出图形即可； ②根据相似三角形的性质作出图形即可； ③根据相似三角形的性质作出图形即可； ④根据相似三角形的性质作出图形即可； ⑤根据相似三角形的性质作出图形即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①如图2，点P即为所求； ②如图3，点Q即为所求； ③如图4，点H即为所求； ④如图5，点M即为所求； 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：与x轴交于，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点，是抛物线上不同的两个点，设，求w关于k的函数表达式并证明； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴交于B、C两点（在C的左侧）． ①若A、B是线段的三等分点，则t的值为______； ②若A、B两点重合，则抛物线的函数表达式为______； ③在②的条件下，过抛物线第一象限内一点M作直线，交抛物线于点设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，判断的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2），见解析； （3）①3或12；②；③的值是定值，1． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）①点、点，则或，即可求解； ②若A、B两点重合，则，即可求解； ③证明，则，即，即可求解． 【小问1详解】 解∶ 把，代入，得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， 由，则 ， ； 【小问3详解】 解：①平移后的抛物线表达式为：， 则点、点， 则或， 即或， 解得：或12， 故答案为：3或12； ②若A、B两点重合，则， 则抛物线表达式为：， 故答案为：； ③值是定值，理由： 由题意得：，， 分别过M、N作轴于G，轴于H， ∵， ∴， ，即， 整理得：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $