3.2频率的稳定性（第2课时）教学设计2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第三章 概率初步 2 频率的稳定性（第2课时） 一、学习任务分析 学生在本节课的第1课时从抛瓶盖试验入手，经历了“猜测─试验和收集试验数据─分析试验结果─验证猜测”的过程，初步感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性。 本课时作为频率的稳定性的第2课时，让学生类比第1课时抛瓶盖试验，开展掷硬币试验，继续经历“猜测─试验和收集试验数据─分析试验结果─验证猜测”的过程，进一步感受随机事件发生的频率具有稳定性；在此基础上，了解概率的意义，体会频率与概率的关系。同时，让学生体会在掷硬币的试验中，正面朝上和正面朝下的可能性是相同的，为下一节学习古典概型做准备。 二、学生起点分析 在本章第一节，学生学习了必然事件、不可能事件及随机事件，知道了随机事件发生的可能性有大有小，并能定性描述简单随机现象发生可能性的大小。在本节第1课时，学生通过抛瓶盖试验，初步了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，为本节课的学习奠定了知识基础。 在第1课时的抛瓶盖试验中，学生经历了“猜测—试验和收集试验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，积累了基本活动经验，具备了一定的合作与交流能力，但七年级学生的数据观念、概括能力、抽象能力相对比较弱。 三、教学目标 1.通过掷硬币活动，经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等过程，发展数据观念。 2.通过试验，感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性。 3.了解概率的意义，体会频率与概率的关系。 教学重点：感受频率的稳定性，了解概率的意义。 教学难点：体会频率与概率的关系。 四、教学过程设计 本节课设计七个教学环节：【第一环节】知识回顾，经验总结；【第二环节】新知引入，类比探究；【第三环节】归纳提炼，生成新知；【第四环节】尝试思考，提升认知；【第五环节】思考交流，加深理解；【第六环节】回顾反思，总结提升；【第七环节】布置作业，落实新知。 【第一环节】知识回顾，经验总结 1.活动内容 在上节课，我们是怎样研究抛一个瓶盖，落地后盖口向上和盖口向下的可能性的大小的？ 2.活动目的 掷瓶盖和掷硬币两个试验在研究方法和思路上具有高度的一致性，均需要学生经历“猜测—试验和收集试验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程。通过回顾，引导学生总结活动经验，为本节课通过类比的方式自主探究掷硬币试验奠定基础。 3.实际效果 学生对活动经验的总结可能不够全面，教师可引导学生从分工合作、数据的收集与整理、数据的呈现方式、数据的分析等方面进行经验总结，形成同类问题可借鉴、可推广的活动经验。 【第二环节】新知引入，类比探究 1.活动内容 掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况（如图所示）： 你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？ （1）同桌两人一组做20次掷硬币的试验，并记录在下表中。 试验总次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 正面朝下的次数 正面朝下的频率 （2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表。 试验总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 正面朝上的次数 正面朝上的频率 正面朝下的次数 正面朝下的频率 注：利用数学软件也可以模拟掷硬币试验。 （3）根据表格，完成折线统计图。 （4）观察折线统计图，你发现了什么规律？ （5）下表列出了历史上一些数学家所做的掷硬币试验数据： 表中的数据支持你发现的规律吗？ 2.活动目的 活动（1）～（3）引导学生借助掷硬币试验，再次经历“猜测—试验和收集试验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程。通过同桌两人一组，分工合作进行试验，收集试验数据，并将数据汇总在表格中。再通过累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总在表格中，培养学生的合作意识。活动（3）（4）通过绘制折线统计图，将表格中的数据进行直观呈现，以便观察频率随试验次数的变化趋势，引导学生观察折线统计图，并尝试用自己的语言阐述自己的发现，发展学生的几何直观。活动（5）通过数学家所做的试验数据，让学生再次体会试验次数很大时，正面朝上的频率会稳定在0.5附近，并让学生进一步确信频率的稳定性是一种普遍规律。 3.实际效果 （1）掷硬币时，要从一定的高度任意地掷出，以保证试验的随机性。 （2）在累计试验结果时，为保证科学性，应做到每组数据不重复累计。在教学过程中，也可以鼓励学生利用数学软件模拟掷硬币试验，增大试验次数，获得更为精确的试验结果。 （3）根据表格中的数据，学生可独立完成折线统计图的绘制，为后续学习坐标系做好铺垫。教师应引导学生画出两条线，一条是正面朝上的频率折线图，另一条是正面朝下的频率折线图，以便让学生发现正面朝上的频率和正面朝下的频率都稳定在，为下一节学习古典概型做铺垫。 （4）尽管学生通过“抛瓶盖”试验，有了一定的研究基础和概括能力，但作为初学者，学生的语言表达可能不够规范，总结不够全面，教师应予以鼓励，引导学生发现：当试验的次数较小时，折线上下摆动的幅度可能比较大；但当试验次数很大时，无论是正面朝上的频率还是正面朝下的频率，都会稳定在一个常数（）的附近。需要说明的是，随着试验次数的增加，频率在这个常数附近的摆动幅度未必一定越来越小，有时候也可能出现试验频率偏离这个常数较大的情形，这正是随机现象的特点，但只要试验次数充分大，发生这种较大偏离的可能性就很小。 （5）观察表格中提供的罗曼诺夫斯基和维尼的试验数据，可以发现罗曼诺夫斯基的试验次数较多，正面朝上的频率相较维尼反而远离，说明随着试验次数的增加，频率在这个常数附近的摆动幅度未必一定越来越小。 【第三环节】归纳提炼，生成新知 1.活动内容 请你归纳总结抛瓶盖和掷硬币两个试验的共同规律。 在一次试验中，一个随机事件是否发生是无法预测的，是随机的，但在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率又呈现出一定的规律性。无论是掷质地均匀的硬币还是抛瓶盖，在试验次数很大时，正面朝上 ( 盖口向上 ) 的频率都会在一个常数附近摆动。 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的概率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。 我们常用大写字母A，B，C表示事件，用P(A)表示事件A发生的概率。 一般地，在大量重复的试验中，我们可以用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。 2.活动目的 引导学生概括两个试验的共同特点，归纳总结一般规律，抽象数学概念，实现从定性描述随机事件发生可能性的大小到定量描述的转变。 3.实际效果 学生经历了抛瓶盖和掷硬币两个试验，对频率的稳定性有了较为深刻的体会。频率反映随机事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，该事件发生的可能性也越大，在频率具备稳定性的基础上引入概率，并注意引导学生说出频率与概率的关系。 【第四环节】尝试思考，提升认知 1.活动内容 尝试·思考 随机事件A发生的概率P（A）的取值范围是多少？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少？ 2.活动目的 引导学生利用频数与总次数的大小关系确定频率的取值范围，从而推导概率的取值范围，发展代数推理能力。例如：假设事件A是随机事件，因为在n次重复试验中，事件A发生的次数m满足0≤m≤n，所以0≤≤1，从而可知所稳定到的常数p也满足0≤p≤1。因此0≤P（A）≤1。 3.实际效果 有的学生根据已有的知识经验能够直接说出这三个问题的答案，教师应引导学生进行代数推理。 【第五环节】思考交流，加深理解 1.活动内容 思考·交流 （1）小明做了4次抛瓶盖的试验，其中3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率为，你同意他的想法吗？与同伴进行交流。 （2）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，那么掷10次硬币，一定会有5次正面朝上吗？如何理解正面朝上的概率为？与同伴进行交流。 2.活动目的 （1）引导学生与同伴交流，体会试验的频率不等同于概率，尤其是当试验次数不多时，用频率来估计概率误差一般较大。所以，小明估计盖口向上的概率为是不合适的。可以多做一些试验，再用频率估计概率，结果相对精确些。 （2）引导学生与同伴交流，体会概率是针对大量试验而言的，大量试验中所存在的规律并不一定在一次试验中存在，正面朝上的概率是，不能保证在2次试验中恰好发生1次，也不能保证在10次试验中恰好发生5次，只是当试验的次数越来越大时，正面朝上的频率会稳定到。 3.实际效果 “思考·交流”的设置旨在进一步引导学生体会频率与概率的关系。在问题（1）中，学生往往会忽略试验次数与频率稳定性的关系，错误地认为频率就是概率，应组织学生充分发表自己的意见，充分暴露学生的问题。在问题（2）中，虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率的一个近似值，两者存在着一定的偏差，而且偏差的存在是正常的、经常的。 【第六环节】回顾反思，总结提升 1.活动内容 回顾·反思 回顾你做过的抛瓶盖和掷硬币试验，你对事件发生的频率与概率的关系有怎样的理解？ 2.活动目的 鼓励学生回顾所经历的概率试验活动，反思自己对频率与概率关系的理解和认识。 3.实际效果 鼓励学生发表自己的见解，只要学生能用自己的语言表达清楚即可。在学生发表意见后，教师应加以总结，概括频率与概率的关系。 【第七环节】布置作业，落实新知 1.活动内容 （1）习题3.2第1，2，3题。 （2）习题3.2第4，5题。 （3）实践性作业：请同学们利用骰子进行投掷试验，并分别统计出现点数1~6的次数。 2.活动目的 作业（1）旨在加深对本节课双基知识的落实。作业（2）中的第4题目的是引导学生体会不同规格的瓶盖，因其本身的特质不同，盖口向上的概率也不同；第5题可以帮助开阔学生的视野，增强学生学习数学的兴趣。作业（3）是实践性作业，类比课上探究频率的稳定性的试验过程，探究投掷骰子的试验，帮助学生进一步理解概率与频率的关系，培养科学严谨的态度。 3.实际效果 建议学生通过合作的形式完成作业（2）中的第4题。 五、教学反思 1.注重方法迁移 本教学设计基于学生已有的活动经验，通过类比的方式将上一节的经验方法迁移到本节课中，同时，为学生提供了用频率估计概率的一般方法，方便学生理解随机现象。 2.核心素养导向 本教学设计关注学生对频率和概率关系的本质理解，注重学生在合作交流中完成对数据收集、整理和分析的过程，在培养“四基”“四能”的同时，发展数据观念。例如，在第五环节，设置两个“思考·交流”的问题，借助反例的形式，帮助学生准确把握频率与概率的关系。 3.重视立德树人 本教学设计引入数学家的试验数据，有利于学生感悟数学家严谨的治学态度，培养学生重证据、讲道理的科学态度。 ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$