精品解析：江苏省灌南高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

灌南高级中学2024-2025学年第二学期第一次月考 高一年级数学学科试卷 考试时间长度：120分钟 满分：150分 命题人：李磊磊 做卷人：汤湾湾 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示，数量积的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，则，， 由，得， 所以. 故选：B 2. 化简，得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】. 故选：C. 3. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据向量数量积的定义，即可得答案； 【详解】， 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的定义，考查运算求解能力，属于基础题. 4 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和差公式，对已知条件进行平方处理，然后通过变形得到的值． 【详解】解：对两边平方，， 即①， 对两边平方，， 即②， ① +②得，， 即， 即， 则，解得 故选：C 5. 已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ） A B. C. (3，2) D. (1，3) 【答案】A 【解析】 【分析】先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，由横坐标和纵坐标分别相等，得到结果． 【详解】设顶点的坐标为 ，， 且， 故选：． 6. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的范围确定，然后使用正切差公式. 【详解】由，知，故，从而. 所以. 故选：D. 7. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理和平面向量基本定理得到方程组，求解即可. 【详解】∵与是共线向量， ∴存在实数，使得，即， 已知是两个不共线的向量， 则有，解得. 故选：A. 8. 矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的加法公式，可得，再根据数量积公式化简可得，结合三角函数的性质，即可求出结果. 【详解】记，则，， ，， 所以当，时，取最小值. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，根据相等向量的定义，即可做出判断；对于选项B，根据零向量与任意向量平行即可做出判断；对于选项C，根据向量与共线的充要条件即可做出判断；对于选项D，根据向量加法的三角形法则即可做出判断. 【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同. 当时，和的长度相等； 当时，和的方向不一定相同，故A不正确； 对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确； 对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得； 当，时，则不存在实数，使得，故C不正确； 对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确. 故选：ABC. 10. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 都是锐角，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用商数关系和正弦的和差公式，即可求解；对于B和C，取特殊角，即可求解；对于D，根据条件，利用平方关系，求得，，再通过构角，利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，正确， 对于B，当时，，错误， 对于C，当时，，错误， 对于D，因为都是锐角，则，又，则，， 所以，正确， 故选：AD. 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若为非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，取，即可求解；对于B，取，即可求解；对于C，利用向量的运算，即可求解；对于D，根据条件，利用向量的运算，可得，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，若，则有， 此时与垂直，所以选项A错误， 对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误， 对于选项C，因为，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为分别是与同向的单位向量， 又，且为的中点，知，即， 所以是在上的投影向量，故选项D正确， 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______． 【答案】 【解析】 【分析】由数乘向量模的性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为为实数，已知为单位向量，向量的模为，， 则，解得. 故答案为：. 13. 计算＝________. 【答案】1 【解析】 【分析】 将式中用代换，然后利用两角差的正切公式可得答案 【详解】解：＝＝tan 45°＝1. 故答案为：1 【点睛】此题考查两角差的正切公式的应用，属于基础题. 14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】如图，为圆心，连接，则, 因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值. 所以，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，． （1）若，方向相反，求k的值； （2）若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，方向相反，则存在负数使得，再根据向量相等即可求出k的值； （2）由A，C，D三点共线，则存在使得，再根据向量相等即可求出k的值． 【小问1详解】 由，方向相反，则存在负数使得， 所以， 所以，解得或(舍去)， 故k的值为． 【小问2详解】 由A，C，D三点共线，则存在使得， 又， 所以， 所以，解得或， 故k的值为或． 16. （1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2）-1 【解析】 【分析】（1）通过联立方程组求解的值，再结合角的范围确定，进而求出和；（2）先对原式进行切化弦化简，利用三角函数差角公式逐步变形，最终得出结果. 【详解】（1）由可得. 解得或， 由，故. 所以. 于是. （2）原式 . 17 已知向量，． （1）若，求实数k的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 【答案】（1）k＝ （2）． 【解析】 【分析】（1）先求出，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 解得：. 【小问2详解】 若与的夹角是钝角， 则且与方向不相反， 即，且 解得：且， 故实数k的取值范围是. 18. 已知函数. （1）求该函数的单调递增区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解； （2）由得到，根据，得到，则由求解. 【小问1详解】 ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； 【小问2详解】 对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 19. 在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示． （1）求AB弧的长及扇形AOB的面积； （2）若，求、和； （3）在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？ 【答案】（1）;. （2）;； （3）当，矩形面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）先由公式求弧AB长，再由扇形的面积公式求出扇形AOB的面积； （2）由两角差的正切公式可得的值，进而求出的大小，再求出的大小，由两角差的余弦公式可求出的值. （3）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形MNPQ面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件. 【小问1详解】 解：AB弧的长为， 根据扇形的面积公式可得. 【小问2详解】 因为，， 所以, ，因为，所以， ， . 【小问3详解】 设，则，， 所以， 所以矩形的面积 ， ，所以当时，取得最大值， 所以，矩形面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 灌南高级中学2024-2025学年第二学期第一次月考 高一年级数学学科试卷 考试时间长度：120分钟 满分：150分 命题人：李磊磊 做卷人：汤湾湾 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 化简，得（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. (3，2) D. (1，3) 6. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中错误有（ ） A. 充要条件是且 B. 若，，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 10. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 都是锐角，，则 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为中点，若，则是在上的投影向量 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______． 13. 计算＝________. 14. 圆是中华民族传统文化形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，． （1）若，方向相反，求k的值； （2）若A，C，D三点共线，求k的值． 16. （1）已知，求的值； （2）化简：. 17. 已知向量，． （1）若，求实数k的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 18. 已知函数. （1）求该函数的单调递增区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 19. 在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示． （1）求AB弧的长及扇形AOB的面积； （2）若，求、和； （3）在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$