精品解析：山西省太原市小店区山西大学附属中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

山西大学附中 2024~2025学年初二第二学期3月学情诊断 数学试题 命题人：李翠英 考试时间：60分钟 分值：100分 审核人：徐颖 一、选择题（本大题10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若，则下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 2. 据网络平台最新数据，截止到3月6日07时11分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已超145.80亿元，暂列全球票房第七名．根据美国电影电视工程师协会的规定，最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于，则观影角度应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 3. 中，的对边分别是，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边中线的交点 B. 三边上高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 6. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（ ） A. 一个三角形中有两个内角为钝角 B. 一个三角形中三个内角都是钝角 C. 一个三角形中至少有一个内角为钝角 D. 一个三角形中至少有两个内角为钝角 8. 小南和小凯进行百米赛跑，小南比小凯跑得快，若两人同时起跑，小南肯定赢．现在小南让小凯先跑若干秒，图中，分别表示两人的路程和小凯出发时间的关系．下列说法中错误的是（ ） A. 表示小南的路程和时间的关系 B. 小南的速度为 C. 小凯先跑了11m D. 最终小凯会赢得比赛 9. 某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且相交于点，过点作，垂足为，若，则的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 6 二、填空题（本大题共6个小题，请将答案写在答题卡正确位置） 11. 若二次根式有意义，则x取值范围是___． 12. 若不等式的解集为，则必须满足______________． 13. 如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点，与交于点，则的长度为______________． 14. 一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一题扣两分，不答则不扣分．某同学有一道题未答，如果他要想得到80分以上的成绩，则他至少需答对______________道题目． 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为______________． 16. 如图，在与中，，，与相交于点，若，，则的长为______________． 三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式，并把它解集表示在数轴上． 18. 下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解不等式： 解：去分母，得 ………第一步 去括号，得 ……………第二步 移项，得 ………………第三步 合并同类项， …………………第四步 两边同时除以，得 ……………………第五步 任务： （1）上述过程中，第一步的依据是_____________，从第_____________步出现错误，具体错误是____________________________________； （2）请写出该不等式正确求解过程． （3）请你根据平时的学习经验，就解不等式的过程写出一条注意事项． 19. 2025年，某城市倡导“绿色出行”活动，推出了共享电动滑板车服务．小明每天早上从家出发去上学，选择先步行再使用共享电动滑板车，他家到学校的距离为2400米，若小明步行上学的速度为每分钟50米，使用共享电动滑板车速度为每分钟200米，学校规定到校，为了不迟到，小明至少使用几分钟共享电动滑板车？ 20. 如图，在中，，是的角平分线， （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 21. 光明中学某班级的同学们计划购买智能健康手环，现从两家商场了解到同一款智能健康手环标价都是200元，并且都有一定的优惠．甲商场提出的优惠活动：会员制，会员年费60元，之后购买每个智能健康手环打七五折；乙商场提出的优惠活动：无会员费，购买每个智能健康手环打八折．该班选择哪家商场购买更优惠？ 22. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： 【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半” 请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果_______________________，那么_______________________． 【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程． 已知：如图1，在中，，_______________， 求证：_______________． 证明：延长到点，使，连接． …… 【任务3】模型应用： 动手操作： 第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在上，再把这个正方形展平，连接． 第3步：如图4，延长交于点，连接． 数学思考：（1）图3中的_______________． （2）图3中是什么特殊的三角形？说明理由． （3）图4中，若正方形的边长为，则_______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西大学附中 2024~2025学年初二第二学期3月学情诊断 数学试题 命题人：李翠英 考试时间：60分钟 分值：100分 审核人：徐颖 一、选择题（本大题10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据不等式的性质判断选择即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：B． 2. 据网络平台最新数据，截止到3月6日07时11分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已超145.80亿元，暂列全球票房第七名．根据美国电影电视工程师协会的规定，最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于，则观影角度应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式，解题的关键是正确理解不等式的定义，本题属于基础题型．根据题意列出不等式即可求出答案． 【详解】解：最佳观影角度应确保观众与银幕的视线夹角不低于， 观影角度应满足的不等关系为， 故选：C 3. 中，的对边分别是，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．． 【详解】解：A、，， ， ， 是直角三角形，不符合题意； B、， 设，则，， ，符合勾股定理逆定理， 是直角三角形，不符合题意， C、，， ， 是锐角三角形；符合题意； D、， ， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟练解不等式是解题的关键．数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：解不等式得 ， 在数轴上表示不等式的解集，为 故选：D． 5. 如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边中线的交点 B. 三边上高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等．根据垂直平分线的性质即可进行解答． 【详解】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴应建在三边垂直平分线的交点， 故选：D． 6. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．由一次函数的图象经过，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴，即时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：A． 7. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应先作出的假设是（ ） A. 一个三角形中有两个内角为钝角 B. 一个三角形中三个内角都是钝角 C. 一个三角形中至少有一个内角为钝角 D. 一个三角形中至少有两个内角为钝角 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可． 【详解】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设， ∴证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角． 故选：D． 8. 小南和小凯进行百米赛跑，小南比小凯跑得快，若两人同时起跑，小南肯定赢．现在小南让小凯先跑若干秒，图中，分别表示两人的路程和小凯出发时间的关系．下列说法中错误的是（ ） A. 表示小南的路程和时间的关系 B. 小南的速度为 C. 小凯先跑了11m D. 最终小凯会赢得比赛 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像获取信息，正确读懂函数图像是解题的关键． 根据题意即可判断A；根据速度路程时间计算即可判断B；根据速度路程时间计算小凯的速度，再根据路程速度时间计算小凯先跑的路程即可判断C；分别计算两人到达终点的时间并比较大小即可判断D． 【详解】解：A、现在小南让小凯先跑若干秒，故表示小南的路程和时间的关系，A正确，不符合题意； B、小南的速度为，故B正确，不符合题意； C、小凯先跑了，故C正确，不符合题意； D、小凯到达终点用时：，小南到达终点用时：， ∵，∴小南先到达终点，故小南赢，故D错误，符合题意， 故选：D． 9. 某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了列不等式．打折销售，利润率不能低于，据此列不等式即可． 【详解】解：为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，则 故选：B 10. 如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且相交于点，过点作，垂足为，若，则的长度为（ ） A B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】证明，即可得到，得出，又，即，得到，根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可求出的长，最后由勾股定理求得的长． 详解】证明：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ； ， ，即， ， 在中，， ． 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等，找到对应角相等． 二、填空题（本大题共6个小题，请将答案写在答题卡正确位置） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 若不等式的解集为，则必须满足______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．由不等式的性质结合原不等式的解集，可得，即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点，与交于点，则的长度为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，进而得，即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14. 一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一题扣两分，不答则不扣分．某同学有一道题未答，如果他要想得到80分以上的成绩，则他至少需答对______________道题目． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．设他答对了x道题，则他答错的共有道题，列出不等式即可． 【详解】解：设他答对了x道题，则他答错的共有道题，由题意得 ， 解得． 因为为整数， 所以的最小值为22， 所以他至少答对了22道题． 故答案为：22 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为______________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 16. 如图，在与中，，，与相交于点，若，，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于，过点作，则，先证明，得，进而可知，，得，，再根据勾股定理和含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作，则， ∵， 则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，，则， 在中，，，则， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式的知识；先求得不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：原式去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得：， 把它的解集表示在数轴上如图， 18. 下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解不等式： 解：去分母，得 ………第一步 去括号，得 ……………第二步 移项，得 ………………第三步 合并同类项， …………………第四步 两边同时除以，得 ……………………第五步 任务： （1）上述过程中，第一步依据是_____________，从第_____________步出现错误，具体错误是____________________________________； （2）请写出该不等式正确的求解过程． （3）请你根据平时的学习经验，就解不等式的过程写出一条注意事项． 【答案】（1）不等式的基本性质2；一；去分母时，不等式两边都乘12时，没有乘以12 （2） （3）在系数化为1时，不等式两边都乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键. （1）根据不等式的性质2可得错误的地方与错误的原因； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把系数化为1即可； （3）根据系数化1时，经常出现错误提出注意事项即可. 【小问1详解】 解：上述过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2，从第一步出现错误，具体错误是：去分母时，不等式两边都乘12时，没有乘以12； 【小问2详解】 解不等式： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得； 【小问3详解】 解：在系数化为1时，不等式两边都乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变. 19. 2025年，某城市倡导“绿色出行”活动，推出了共享电动滑板车服务．小明每天早上从家出发去上学，选择先步行再使用共享电动滑板车，他家到学校的距离为2400米，若小明步行上学的速度为每分钟50米，使用共享电动滑板车速度为每分钟200米，学校规定到校，为了不迟到，小明至少使用几分钟共享电动滑板车？ 【答案】小明至少使用6分钟共享电动滑板车 【解析】 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式．设小明使用分钟共享电动滑板车，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设小明使用分钟共享电动滑板车，根据题意，得 解，得， 所以x的最小值为6， 答：小明至少使用6分钟共享电动滑板车 20. 如图，在中，，是的角平分线， （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 证明：由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 21. 光明中学某班级同学们计划购买智能健康手环，现从两家商场了解到同一款智能健康手环标价都是200元，并且都有一定的优惠．甲商场提出的优惠活动：会员制，会员年费60元，之后购买每个智能健康手环打七五折；乙商场提出的优惠活动：无会员费，购买每个智能健康手环打八折．该班选择哪家商场购买更优惠？ 【答案】当购买智能手环个数大于6个时，选择甲商场购买更优惠；当购买智能手环个数小于6个时，选择乙商场购买更优惠；当购买智能手环个数等于6个时，选择两家商场收费相同 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键．设购买个智能健康手环，甲商场的收费为元，乙商场收费为元，根据题意，得，，再分三种情况，求出x的取值范围或x的值，此题得解． 【详解】解：设购买个智能健康手环，甲商场的收费为元，乙商场收费为元， 根据题意，得，． 由得 解得， 由得 解得， 由得 解得， 答：当购买智能手环个数大于6个时，选择甲商场购买更优惠；当购买智能手环个数小于6个时，选择乙商场购买更优惠；当购买智能手环个数等于6个时，选择两家商场收费相同． 22. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： 【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半” 请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果_______________________，那么_______________________． 【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程． 已知：如图1，在中，，_______________， 求证：_______________． 证明：延长到点，使，连接． …… 【任务3】模型应用： 动手操作： 第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在上，再把这个正方形展平，连接． 第3步：如图4，延长交于点，连接． 数学思考：（1）图3中的_______________． （2）图3中的是什么特殊的三角形？说明理由． （3）图4中，若正方形的边长为，则_______________． 【答案】任务1：如果一条直角边等于斜边得一半，那么这条直角边所对的锐角等于；任务2： ，理由见解析；任务3：（1）30；（2）是等边三角形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】[任务1] 根据原命题写出逆命题即可； [任务2] 根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论；延长至，使得，连接，即可证明垂直平分，进一步有△是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明； [任务3]（1）由[任务2]的结论进行求解即可； （2）由对折的性质可知，，，．可得垂直平分，得到，再证得，最后可证得是等边三角形； （3）由对折的性质可知，，，，再证明，可得，再求得，从而得出，，由对折的性质知，，可得，得出，再求得，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：[任务1] 逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边得一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 故答案为：一条直角边等于斜边得一半，这条直角边所对的锐角等于； [任务2] 已知：如图1，在中，，， 求证：． 证明：延长到点，使，连接． 则， ， ， ，且． 垂直平分． ， ， 则是等边三角形． ． ． 故答案为：，； [任务3] （1）如图3，由对折的性质可知，，，． ． ． 故答案为：30； （2）是等边三角形，理由如下： 如图3，由对折的性质可知，，，． 垂直平分， ， ， 是等边三角形； （3）等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， 由对折的性质可知，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 中，， ， ，， 由对折的性质知，， ， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$