精品解析：广东省河源市紫金县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省河源市紫金县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数不是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别把每个选项的数值代入方程，通过计算可得到数值是否满足方程，从而可得答案． 【详解】解：把代入方程： 故不符合题意； 把代入方程： 故不符合题意； 把代入方程： 故符合题意； 把代入方程： 故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的加法，立方根，算术平方根，正确计算是解题的关键． 【详解】解：A、与不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项符合题意； 故选：D． 3. 下列语言叙述是命题的是（　　） A. 画两条相等的线段 B. 等于同一个角的两个角相等吗？ C. 延长线段到，使 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】D 【解析】 【分析】判断某一件事情的语句叫做命题，根据命题的概念判断即可． 【详解】A、画两条相等的线是描述性语言，不是命题，不符合题意； B、等于同一个角的两个角相等吗？为疑问句，不是命题，不符合题意； C、延长线段到，使为描述性语言，不是命题，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意． 故选：D． 4. 如图，直线，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ． 故选：B． 5. 已知点在第四象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．注意第四象限的点的符号特点是．应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断其具体坐标． 【详解】解：∵第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0；点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为4， ∴点P的纵坐标为，横坐标为4， ∴点P的坐标是． 故选：D． 6. 如图，△ABC中，，外角，则的大小是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】由∠BAC，∠ACD的度数，利用三角形的外角等于两不相邻的内角和即可求出∠B的度数． 【详解】解：∵∠BAC=60°，∠ACD=110°， ∴∠B=∠ACD-∠BAC=50°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 7. 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ） A. 13 B. C. 或13 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①a为最长边，，13是正整数，符合题意； ②12为最长边，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； 故选：A． 8. 某班组织了一次读书活动，统计了名同学在一周内累计的读书时间，如表所示，对于这个同学的一周累计读书时间，下列说法错误的是（ ） 一周内累计的读书时间（小时） 人数（个） A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数的定义，众数的定义，方差的求法，根据平均数的定义，中位数的定义，众数的定义，方差公式求解并一一判断即可． 【详解】解：．出现最多的次数是8，则众数是，说法正确，故该选项不符合题意； ．一共10个数，则中位数为，说法正确，故该选项不符合题意； ．平均数数为，说法正确，故该选项不符合题意； ．方差为，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 9. “十一”黄金周期间，乐乐一家自驾游去了离家的某地，下面是他们离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象，乐乐一家出发时，离目的地还有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数的关系式是解决问题的关键，同时要充分了解分段函数的意义． 用待定系数法可求出所对应的函数关系式，再把代入所对应的关系式，可求出y的值，再从总路程260千米减去y的值即可． 【详解】解：设所对应的y与x的关系式为：，把，代入得， ， 解得， 线段所对应的y与x的关系式为：，， 时，代入得，， 千米， 即他们出发小时，离目的地还有22千米． 故选：A． 10. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与系数的关系，由一次函数y＝ax＋b图像分析可得a、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图像是否正确，进而比较可得答案． 【详解】根据一次函数的图像分析可得： A.由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，故此选项正确，符合题意； B. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； C. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； D. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像，注意：一次函数y＝kx＋b的图像有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图像经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图像经过第二、三、四象限． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 11. 比较大小：______． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据实数大小的比较来判断即可，因为，所以 【详解】解：， ． 故答案为 12. 甲乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为，，成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴＞， ∴成绩比较稳定的是乙； 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 如图，已知∠ACB＝100°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵∠ACB=100°， ∴∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=80°， ∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 14. 如图，弹性小球从点出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时接触的点为，第2次碰到正方形的边时接触的点为…，第n次碰到正方形的边时接触的点为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，点的坐标．解题的关键是能够正确找到循环数值，从而得到规律． 按照反弹规律依次画图再长出坐标的变化规律即可． 【详解】解：如图： 根据反射角等于入射角画图，可知小球从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到P点之后，再循环反射，每6次一循环， …3， 点的坐标是 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程的解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：由图象得： 方程的解是， 故答案为：． 16. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解答，即可求解． 详解】解： 由，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 18. 某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）请补全两幅统计图； （2）求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数； （3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？ 【答案】（1）见解析； （2）本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为本； （3）该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数以及样本估计总体，掌握条形统计图、扇形统计图中的数量关系以及加权平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）从两个统计图可知，样本中读书量是1本的学生有4人，占被调查人数的，由频率=频数总数即可求出样本容量，进而求出样本中读书量为3本的学生人数，补全条形统计图，求出样本中读书量为5本的学生占调查人数的百分比即可补全扇形统计图； （2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可； （3）样本估计总体，用样本中读书量为5本的学生所占的百分比估计总体中读书量为5本的学生所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可． 【小问1详解】 解：人，样本中读书量为3本的学生人数为人， 样本中读书量为5本的学生人数占被调查人数的百分比为， 补全的条形统计图、扇形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：本， 答：本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为本； 【小问3详解】 解人， 答：该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）的面积是______； （2）作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； （3）作出关于y轴对称的图形． 【答案】（1）6； （2）点的坐标为，见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据网格即可求出的面积； （2）根据轴对称的性质即可作出关于x轴对称的图形，进而写出点的坐标； （3）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的图形 【小问1详解】 解：的面积， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为； ； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 20. 如图，点D、F在线段上，点E、G分别在线段和上，．， （1）求证：； （2）若是的平分线，，，求． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用，得到，再利用，证明，即可证明； （2）根据角平分线，平行线的性质以及角之间的关系计算即可． 【小问1详解】 证明∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是的平分线， ∴． 由（1）得， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． ∵， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，角度之间的关系，解题的关键是掌握：平行线的判定及性质． 21. 某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元． （1）每支A型口琴和B型口琴各多少元？ （2）若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元； （2）购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元； 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及一次函数的利润问题： （1）设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元，根据费用列方程组求解即可得到答案； （2）设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，根据费用等于单价乘以数量列函数，结合函数的性质求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元； 【小问2详解】 解：设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，则购买支B型口琴， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴w随m增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元． 22. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知中，，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）0.2千米 （3）84 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）作，垂足，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； 【小问2详解】 设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米； 【小问3详解】 作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． （1）求正比例函数与一次函数的解析式； （2）点D是直线上一点，且的面积是的面积的3倍，求点D的坐标； （3）若点E在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到点，当为直角时，同理可解． 【小问1详解】 解：将点C的坐标代入得：，则， ∴正比例函数的表达式为：， 把，代入，得：， 解得：， 故一次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵ 的面积，则的面积， 设点， 面积， 解得：或， 故点或． 【小问3详解】 解：当为直角时，则，过点E作轴于点H， ，， ， ，， ， 则，， 则点 当为直角时， 同理可得，点， 综上，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省河源市紫金县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数不是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列语言叙述是命题的是（　　） A. 画两条相等线段 B. 等于同一个角的两个角相等吗？ C. 延长线段到，使 D. 两直线平行，内错角相等 4 如图，直线，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在第四象限，且点到轴距离为，到轴的距离为，则点坐标为( ) A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，，外角，则的大小是（ ） A 60° B. 50° C. 40° D. 30° 7. 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ） A. 13 B. C. 或13 D. 11 8. 某班组织了一次读书活动，统计了名同学在一周内累计的读书时间，如表所示，对于这个同学的一周累计读书时间，下列说法错误的是（ ） 一周内累计的读书时间（小时） 人数（个） A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是 9. “十一”黄金周期间，乐乐一家自驾游去了离家的某地，下面是他们离家的距离与汽车行驶时间之间的函数图象，乐乐一家出发时，离目的地还有（ ） A. B. C. D. 10. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图像的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 11. 比较大小：______． 12. 甲乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为，，成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”） 13. 如图，已知∠ACB＝100°，OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，则∠AOB＝______°． 14. 如图，弹性小球从点出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时接触的点为，第2次碰到正方形的边时接触的点为…，第n次碰到正方形的边时接触的点为，则点的坐标为______． 三、解答题：本题共9小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解是__________． 16. 化简： （1） （2） 17. 解方程组： 18. 某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）请补全两幅统计图； （2）求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数； （3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？ 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）的面积是______； （2）作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； （3）作出关于y轴对称的图形． 20. 如图，点D、F在线段上，点E、G分别在线段和上，．， （1）求证：； （2）若是的平分线，，，求． 21. 某校口琴社团准备购买A，B两种型号口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元． （1）每支A型口琴和B型口琴各多少元？ （2）若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由． 22. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）已知中，，，，求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． （1）求正比例函数与一次函数的解析式； （2）点D是直线上一点，且的面积是的面积的3倍，求点D的坐标； （3）若点E在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $