精品解析：广东省汕头市金平区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年广东省汕头市金平区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 下列图形中，为轴对称的图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形． 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】A．2+5<8，不能组成三角形，故此选项符合题意； B．2+4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； C．3+4＞5，，能组成三角形，故此选项不符合题意； D．8+7＞14，，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 点关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，据此求解即可． 【详解】解：根据轴对称的性质得， 点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：D． 4. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查的是分式值为零的条件以及分式有意义的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键． 5. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断． 【详解】解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误； 2a3+3a3=5a3，故选项B错误； 6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确； （-2x2）3=-8x6，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法． 7. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 8. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P度数是( ) A. 60° B. 65° C. 55° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°， ∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°， ∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P， ∴∠PDC+∠PCD（∠BCD+∠CDE）＝120°， ∴∠P＝180°﹣120°＝60°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用． 9. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．将，转化为：，整体代入法，求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：D． 10. 已知，点是等边三角形的边上的一点（点与点、点不重合），则在以线段，，为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形得，则，，由此即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： 是等边三角形， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， 在以线段，，为边的三角形中，最大的内角为． 故选：． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．提公因式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若分式有意义，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，直接求取值范围即可． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母． 即． 故答案为：． 13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 14. 如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 15. 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水经次，倒出的总水量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出每次倒出水量的式子，求和，即可. 【详解】根据题意得： = = =， 故答案是： 【点睛】本题主要考查根据题意列代数式，求和，列出代数式，裂项求和，是解题的关键. 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解． 【详解】解： ． 18. 如图，． （1）用尺规作图边上找一点D，使（保留作图痕迹）． （2）在（1）的情况下，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线与相交于D，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等； （2）根据等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据等腰三角形等边对等角可得，根据三角形内角和定理即可求得． 【小问1详解】 解：如图，． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，三角形外角的性质，等腰三角形的性质定理，三角形内角和定理．（1）中掌握画线段垂直平分线的画法是解决此题的关键；（2）理解等腰三角形等边对等角和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此问的关键． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 （2）该公司原计划最多应安排8名工人施工 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； 【小问2详解】 解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 20. 【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①B；②4 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形判定可得出结论； ②由（1）可知，，进一步则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. 21. 综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 【答案】（）；； （）． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （）根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长； 根据图中大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系； （）设，，依题意得，，根据（）的结论得，由此可得的面积． 【详解】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：， 故答案为：； ∵图2中大正方形的边长为：， ∴图中大正方形的面积为：， ∵图中阴影部分正方形的边长为：， ∴图中阴影部分正方形的面积为：， 由拼图可知：， 故答案为：； （）设，， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知，在中，． （1）【独立思考】如图1，，平分，交于点D，交的延长线于点E，，求的长；（提示：分别延长交于点F） （2）【实践探究】如图2，，点D为边的中点，分别交于点F，E．求的度数； （3）【问题拓展】如图3，分别是上的点，且，当的值最小时，则的度数为 °． 【答案】（1）3 （2） （3）72 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理、外角定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）延长交于点F，利用证，有，由可知，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据三角形的外角性质解答即可； （3）过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出结论． 【小问1详解】 解：延长交于点F，如图1， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，在右侧，过点C作，且，连接． ∵， ∴， ∴， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：72． 23. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，，点M为y轴上一动点（不与点O重合）． 【问题探究】 （1）如图1，为等边三角形，点B在第一象限，连接，以为边，在上方作等边，点M在运动过程中； ①当时， ；（直接写出答案） ②连接，求的最小值； 【问题拓展】 （2）如图2，点P为x轴负半轴上一点，始终保持，且，连接，过点P作于H，直线与y轴交于点K，连接，点M在运动过程中，的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①或；②；（2）不变化， 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②如图1，连接，先证明，则，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即可解答； （2）如图2，过点于E，作于F，则，证明和，即可解答． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴当在内部时， ； 当在外部时， ； 故答案为：或； ②如图1，连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N始终在过点B且与垂直的直线上运动， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵中，， ∴， 即的最小值是； （2）点M在运动过程中，的度数没有发生变化，是定值， 如图2，过点O作于E，作于F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年广东省汕头市金平区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 下列图形中，为轴对称的图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 3. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 5. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A B. C. D. 6. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P度数是( ) A. 60° B. 65° C. 55° D. 50° 9. 已知，则（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 10. 已知，点是等边三角形的边上的一点（点与点、点不重合），则在以线段，，为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 12. 若分式有意义，则实数的取值范围是____． 13. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 14. 如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是______． 15. 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水经次，倒出的总水量为__________. 三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 化简：． 18. 如图，． （1）用尺规作图在边上找一点D，使（保留作图痕迹）． （2）在（1）的情况下，连接，若，，求的度数． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 20. 【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知，求的长． 21. 综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知，在中，． （1）【独立思考】如图1，，平分，交于点D，交的延长线于点E，，求的长；（提示：分别延长交于点F） （2）【实践探究】如图2，，点D为边的中点，分别交于点F，E．求的度数； （3）【问题拓展】如图3，分别是上的点，且，当的值最小时，则的度数为 °． 23. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，，点M为y轴上一动点（不与点O重合）． 【问题探究】 （1）如图1，为等边三角形，点B在第一象限，连接，以为边，在上方作等边，点M在运动过程中； ①当时， ；（直接写出答案） ②连接，求的最小值； 【问题拓展】 （2）如图2，点P为x轴负半轴上一点，始终保持，且，连接，过点P作于H，直线与y轴交于点K，连接，点M在运动过程中，的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $