精品解析：山东省泰安市宁阳县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二年级下学期第一次阶段性测试 数 学 试 题 2025.3 注意事项； 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意，知. 故选：C. 2. 若，则实数x的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的定义及组合数的性质即可求解. 【详解】由，得或，解得或， 所以实数x值为2或6. 故选：D. 3. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合计数问题，列式计算即得. 【详解】依题意，从到的最短路径是共行3段，向右2段向上1段，有种方法， 同理从处到达处有种方法， 由分步乘法计数原理得小明可以选择的最短路径条数为. 故选：B 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 6 B. 20 C. 21 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有，则，， 则中含的项为， 则的系数为. 故选：D. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的符号判断函数的单调性，再根据导函数的大小确定函数变化的快慢，即可得到结论. 【详解】由导函数图象可知原函数应是先增后减再增的，故在B、C中选择，随着的增大，导函数越来越大，故原函数增长越来越快，应选C. 故选：C 6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解. 【详解】因为，所以. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，即可 令，则 由函数单调性的性质知，在上减函数， ，即. 所以实数的取值范围为。 故选：A. 7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解. 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解. 8. 已知实数分别满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，即可得出. 【详解】由，则，令，， 则， 则当时，，故在上单调递增， 故， 即，即， 由，则， 令，，则， 令，则当时，恒成立， 故在上单调递增，又，故恒成立， 故在上单调递增，故， 即，即，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数、，从而借助导数求出函数单调性以比较、、的大小. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D. 【详解】， 令解得，令解得或， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 因为，极大值，且极小值， 所以在有一个零点，共1个零点，A错误； 由A知，函数有两个极值点，故B正确； 由A知，函数在单调递增，单调递减，单调递增， 且时，，时，， 所以方程有三个实数根，需，即，故C正确； 因为，所以点在函数图象上， 又点关于点的对称点为，而， 即不是函数图象上的点， 故函数不关于点对称，故D错误. 故选：BC. 10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有120种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有24种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，按照分步乘法原理可计算；对B，从5个盒子中选出4个盒子的排列；对C，先选定两个盒子的编号与球的编号相同的球，再考虑剩下的两个球不放进自己编号的盒子放法有种；对D，即考虑哪个盒子为空的放法有5种. 【详解】对于A，每个球都有5种放法，共有种放法，故A正确； 对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，则有4个盒子每个盒子放1个球，有种放法，故B正确； 对于C，每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种放法，故C错误； 对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有5种，故D正确， 故选：ABD. 11. 设A，B是两个随机事件，，，下列说法正确的是（ ） A. 若A，B相互独立，，，则 B. 若A，B互斥，，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由互斥、对立事件概率公式及相互独立事件乘法公式判断AB；根据条件概率公式判断C,应用条件概率公式、相互独立事件乘法公式判断D. 【详解】对A，A，B相互独立，，，所以，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，若时， 得不出，即得不出，得不出，故C错误； 对D，， ， 所以 ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，且常数项与展开式中的常数项相等，则________，________. 【答案】 ①. 4 ②. 3 【解析】 【分析】首先利用第二项与第四项二项式系数相等得；利用通项公式计算出中常数项的值为24. 在中根据多项式乘法的规律，从组合的角度出发得到常数项为，解得. 【详解】中第二项和第四项的二项式系数分别为和，所以，根据组合数的性质可得. 对于，易得通项公式为，其中令得，所以常数项为. 在中，取得常数的项情况有两种：选2个，1个，0个；或者选0个，0个，3个. 所以常数项为，解得. 故答案为：4；3. 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，故． 故答案为：. 14. 若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法将题给不等式转化为，构造函数，并利用导数研究其单调性，可得不等式成立，再构造函数，利用导数求得其最大值，进而求得的最大值. 【详解】存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 令，则， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 上述问题存在正实数，使得不等式成立， 因为，结合在单调递增， 易得存在正实数使得成立， 存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 存在正实数，使得不等式成立， 令，则， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以，所以，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数处取得极小值． （1）求c的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）的最大值为0 ，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据，解得或，然后分情况讨论即可求解； （2）由（1）判断函数在区间上的单调性，然后根据单调性即可求解. 【小问1详解】 解：， 由得或， 当时，， 令，可得或，令，可得， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得极小值； 当时，， 令，可得或，令，可得， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得极大值，舍去； 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 又因为， 所以的最大值为0 ，最小值为. 16 一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求： (1)第1次取到黑球的概率； (2)第1次和第2次都取到黑球的概率； (3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】试题分析：从袋中不放回地依次取出个球一共有种可能，第1次取到黑球有6中可能，不放回地依次取出2个球，那么第2次可以从剩下的9个球中选取共计种(2) 第次和第次都取到黑球共有种(3) 利用条件概率公式计算可得结果． 解析：设第次取到黑球为事件，第次取到黑球为事件，则第次和第次都取到黑球为事件 从袋中不放回地依次取出个球的事件数为，根据分步乘法计数原理，，于是 (2)因为.所以 (3)由可得，在第次取到黑球的条件下，第次取到黑球的概率为 . 17. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项． 【答案】（1）0 （2） （3）有理项为，， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合组合数的性质可得，令，即可得各项系数之和； （2）根据组合数的性质当时，二项式系数最大，结合展开式的通项公式运算求解； （3）结合展开式的通项公式运算求解，令，运算求解. 【小问1详解】 依题意，由组合数的性质得， 令，得展开式中各项系数之和为. 【小问2详解】 因为二项式的展开式的通项为， 因为， 所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为. 【小问3详解】 由（2）可得：二项式的展开式的通项为， 令，得， 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：二项式展开式中的有理项为，， 18. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字五位数．求： （1）共有多少个五位数？ （2）其中偶数排在一起的有多少个？ （3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻的有多少个？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先计算取5个数字的方法，再根据排列数公式，即可计算结果； （2）（3）根据（1），结合捆绑法，即可求解； （4）根据（1），结合插空法，即可求解. 【小问1详解】 依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数． 【小问2详解】 把选出的偶数捆绑在一起，和奇数进行全排列，故其中偶数排在一起的有（个）． 【小问3详解】 把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）． 【小问4详解】 先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性； （2）参变分离可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由，得，显然，从而恒成立， 令，， 则． 令，，因为在上单调递增，且，， 所以，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为，所以， 所以， 所以，即的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期第一次阶段性测试 数 学 试 题 2025.3 注意事项； 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则实数x的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 3. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 6 B. 20 C. 21 D. 26 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上单调递增，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数分别满足，，且，则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有120种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有24种 D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种 11. 设A，B是两个随机事件，，，下列说法正确的是（ ） A. 若A，B相互独立，，，则 B. 若A，B互斥，，，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，且常数项与展开式中的常数项相等，则________，________. 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______． 14. 若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极小值． （1）求c的值； （2）求在区间上的最值． 16. 一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求： (1)第1次取到黑球的概率； (2)第1次和第2次都取到黑球的概率； (3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率． 17. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项． 18. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数．求： （1）共有多少个五位数？ （2）其中偶数排在一起有多少个？ （3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻有多少个？ 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $