精品解析：重庆市渝北中学2024-2025学年度高三下学期3月月考质量检测数学试题

渝北中学2024—2025学年高三3月月考质量检测 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出集合，再求交集运算即可． 【详解】 ， 故选：． 2. 已知为非负实数，复数，则（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将复数变成标准形式，然后根据复数的模的计算公式求解即可. 【详解】 ，解得． 为非负实数，， 故选：C． 3. 已知数列满足，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推式子可求出前几项的值，进而可知数列 的规律. 【详解】且 数列 的周期为 ， 故选： ． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二倍角公式与配凑法即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选： 5. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可． 【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B， 事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则， 又，则， 即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为． 故选：D． 7. 棱长为4的正方体中，在平面上，在棱上，且，则的最小值是（） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由等式可知，当最小时，最小，故点为的连线与弧相交时，最小，由此可求的最小值. 【详解】∵在底面上， 点在以为圆心，半径为3的圆上，设该圆分别与交于两点， 取的四等分点F且靠近点E为的四等分点且靠近点， 易知，连接，交弧于点， 在直角三角形中，易求得，所以 所以． 故选：A. 【点睛】 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，在同一坐标系内画出函数与函数的图象，确定两个图象的交点个数并求得所有根之和即可． 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 由，得，则函数的图象关于直线对称， 且有，则，于是是以4为周期的周期函数， 又当时，，即函数在上单调递增， 又，根据对称性可知，函数在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由，得， 则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标， 而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示. 观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点， 由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点， 因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为， 所以方程所有根之和为13． 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（） A. 经验回归方程为，则变量每增加1个单位时，平均增加2个单位 B. 已知随机变量，若，则 C. 两组样本数据和，若已知，则 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于，由经验回归方程的斜率即可判断；对于，根据正态分布的对称性计算概率即可；对于C，根据平均数的计算公式计算即可；对于D，根据残差的计算公式列等式即可求解. 【详解】对于变量每增加1个单位时，平均减少2个单位，故错； 对子 ，故对； 对于 ，故对； 对于，样本点的残差为 样本点的残差为 依题意，整理得，故错. 故选：BC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可． 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确； 由，知， 因为，所以，所以，，即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确． 故选：ACD． 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解选项A；联立 ,再根据对称性得，即可求解选项B；设点，则，所以，根据二次函数单调性和最值求解选项C；开口向上的抛物线上一点，求得到直线的距离，求出，则阴影部分的面积，即可求解选项D. 【详解】对A，根据题意，开口向右的抛物线的方程为，焦点为， 所以开口向上的抛物线的焦点为，则对应的抛物线方程为，A错误； 对B，联立，解得或，所以, 根据对称性可知，, 所以,B正确； 对C， 如图，直线与开口向右、向上的抛物线在第一象限的交点为， 因为关于直线对称，所以设点，则， 因为，所以， 所以， 因为二次函数在单调递减，单调递增， 且， 所以时，有最大值，最大值为，C正确； 对D，由于对称性，每个象限的花瓣形状相同， 故可以先求部分面积近似值， 如图， 取开口向上的抛物线上一点， 则点到直线的距离等于， 所以， 所以阴影部分的面积，D正确； 故选:BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 13. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】设，则， 设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， 所以，解得， 所以，所以， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推式子即可求通项公式； （2）易知周期为4，故构造构数列，易证数列为常数列，故题目所求可化为. 【小问1详解】 ① 当时，，即； 当时，② ①－②得 因为时，也满足上式， 故． 【小问2详解】 记， 则 （常数） 数到为常数列， 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分与讨论求出的单调区间. （2）由（1）得的最小值为，构造函数，转化为的最小值大于等于零，即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间是，无递增区间； 当时，函数的递减区间是，递增区间是. 【小问2详解】 由（1）知当时，的最小值为， ，设， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 则，所以. 17. 如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥. （1）若棱的中点为，求的长； （2）当四棱锥的体积取最大值时，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，则，在直角三角形中利用勾股定理计算即可； （2）易知当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时可求出点P到底面的距离，进而可建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用空间向量求空间角即可. 【小问1详解】 【小问1详解】 取中点，连接， 因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，则， 当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值， 此时平面，且， 过点D作z轴平行于，以、分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以， 设平面的一个法向量为 则，令，则，所以 易知平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则, 故平面和平面夹角的余弦值为. 18. 已知中，是角所对的边，. （1）求角的大小； （2）已知. （i）如图①，在的边上分别取两点，若，求长度的最小值； （ii）如图②，分别在边上，，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用诱导公式及二倍角公式求解. （2）①设，在中，利用余弦定理建立函数关系，再利用基本不等式求出最小值；②设，在中，利用正弦定理，结合相似三角形性质将表示为的三角函数，再列出面积关系并求出最小值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，即，又， 因此，解得，所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，，而，则正三角形，设， 当时，与重合，为的中点，；当时，与重合，， 当时，在中，， 由余弦定理，得， 即，因此 ，当且仅当时取等号， 而，所以长度的最小值. ②设，则， 在中，由正弦定理得， 则，在中，， 则，，又， 于是∽，，则， 由，得，解得， 因此的面积 ，其中锐角由确定， 而，则当时，，， 所以面积的最小值为. 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为是椭圆上不与顶点重合的动点. ①若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标： ②若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中分别为直线和直线的斜率）. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率、的面积为以及，联立方程即可求解，得到椭圆的标准方程； （2）①由题得出点坐标，解设点坐标，得到直线的方程，即可得到点坐标，表示出和的面积，即可联立方程组，得到点坐标；②设出直线的方程，与直线方程联立，求出点坐标，将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，求出直线的方程，并得到点的坐标，求出的斜率，进而得到结论. 【小问1详解】 由题知，椭圆离心率为， 又的面积为，， 所以解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，椭圆的标准方程为， 所以点，，设， 则直线为， 所以， 所以面积即， 且面积即， 则①， 又②， 联立方程①②，解得或（舍去）， 所以坐标为. ②设直线的斜率为，则， 所以直线的方程为， 又， 所以直线方程为， 由，解得， 即， 由消去得，， 则， 所以，， 所以， 由题知，不重合， 所以，即， 所以， 所以直线方程为， 令，即，解得， 所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学2024—2025学年高三3月月考质量检测 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（） A. B. C. D. 2. 已知非负实数，复数，则（） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 已知数列满足，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 棱长为4的正方体中，在平面上，在棱上，且，则的最小值是（） A. B. 5 C. D. 6 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（） A. 经验回归方程为，则变量每增加1个单位时，平均增加2个单位 B. 已知随机变量，若，则 C. 两组样本数据和，若已知，则 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 13. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为__________． 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 17. 如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥. （1）若棱的中点为，求的长； （2）当四棱锥的体积取最大值时，求平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知中，是角所对的边，. （1）求角的大小； （2）已知 （i）如图①，在的边上分别取两点，若，求长度的最小值； （ii）如图②，分别在边上，，求面积的最小值. 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为是椭圆上不与顶点重合的动点. ①若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标： ②若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中分别为直线和直线的斜率）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $