精品解析：山东省德州市齐河县2024-2025学年上学期期末检测九年级数学试题

2024-2025学年第一学期期末检测 九年级数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 第I卷 选择题（共48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 如图，下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中不是随机事件的是（ ） A. 从一个装有蓝球、白球的不透明的袋子里摸出一个球，摸出的球是白球 B. 小红经过十字路口恰好遇到红灯 C. 从班里选择一个同学参加学校座谈会，选到的是女生 D. 将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上 4. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 5. 下面的三个问题中都有两个变量： ①边长为的正方形纸片中间剪去一个边长为的正方形纸片，剩下纸片的面积与； ②用长为的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③某种商品的价格为6元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格与．其中变量与之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 6. 如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．若，，则的边长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 24 8. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 数学课上，邱老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于． 求作：弧的中点D． 同学们分享了如下四种方案： ①如图1，连接，作的垂直平分线，交于点D． ②如图2，过点O作的平行线，交于点D． ③如图3，作的平分线，交于点D． ④如图4，射线上截取，使，连接，交于点D． 上述四种方案中，正确的方案的序号是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 11. 如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（　　） A. 7 B. C. D. 12. 已知抛物线，且．判断下列结论：①；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当时，；⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷 非选择题（共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果．） 13. 一元二次方程的根是________． 14. 如图：M为反比例函数y= 图象上一点，MA⊥y轴于A，S△MAO=2时，k=__． 15. 烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________. 16. 如图，，，分别是内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若的半径为4，下面四个结论中，①；②点为的中点；③的长为；④平分．其中所有正确结论的序号是________． 17. 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 18. 二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为________． 三、解答题（7个大题，共计78分．解答题要写出必要的文字说明、证明或演算步骤） 19 解方程： （1） （2）． 20. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）函数中自变量x的取值范围是______； （2）下表是y与x的几组对应值，请直接写出m的值______； … －2 －1 0 1 3 4 5 6 … … 0 m … （3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）根据画出函数图象，发现下列特征： ①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是_____； ②该函数的图象与直线x＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_____越来越靠近而永不相交． 21. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． （1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是______，其中红球的个数是______； （2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大加工方案． 23. 如图，与AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径． （1）求证：AB是的切线； （2）若求AC的长． 24. 设二次函数（，是常数）． （1）判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； （2）若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； （3）若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 25. （1）已知为等边三角形，点是线段上的动点，连接． ①如图，，，连接，延长交于点E.则和的数量关系是______，和所夹的钝角______； ②如图，点是上任意一点，点在点的左侧，作，，连接，当点运动到的中点时，求的值和的度数； （2）如图，已知为等腰直角三角形，，，点，分别是线段，的中点，连接，点是线段上任意一点，点在点的左侧，作，，连接，，当取最小值时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末检测 九年级数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 第I卷 选择题（共48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1. 如图，下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形概念，根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键． 3. 下列事件中不是随机事件的是（ ） A. 从一个装有蓝球、白球的不透明的袋子里摸出一个球，摸出的球是白球 B. 小红经过十字路口恰好遇到红灯 C. 从班里选择一个同学参加学校座谈会，选到的是女生 D. 将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．关键是理解随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：．从一个装有蓝球、白球的不透明的袋子里摸出一个球，摸出的球是白球是随机事件，故该选项不符合题意； ．小红经过十字路口恰好遇到红灯是随机事件，故该选项不符合题意； ．从班里选择一个同学参加学校座谈会，选到的是女生是随机事件，故该选项不符合题意； ．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（　　） A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 【答案】A 【解析】 【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案． 【详解】由旋转的性质可知，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB 5. 下面的三个问题中都有两个变量： ①边长为的正方形纸片中间剪去一个边长为的正方形纸片，剩下纸片的面积与； ②用长为的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③某种商品的价格为6元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格与．其中变量与之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系．根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：①由题意得， 变量y是x的二次函数，函数图象开口向下，在内为减小的，但是图象弯曲弧度不对，则不可以利用题图所示的图象表示； ②由题意得， 变量y是x的二次函数，函数图象开口向下，在是增大的，则不可以利用题图所示的图象表示； ③由题意得， 变量y是x的二次函数，函数图象开口向上，以为对称轴，可以利用题图所示的图象表示； 综上，③符合题意， 故选：C． 6. 如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，由在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，可求得OH的长，由在Rt△O4H中，OA=3，即可求得AH的长，继而求得答案. 【详解】 解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA， ∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4， ∴ ∵在Rt△OAH中，OA=3， ∴ 故选． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键. 7. 如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．若，，则的边长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：设的边长为，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为18， 故选：C． 8. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 从18和72两个点可以看出对称轴， 所以最终对称轴的范围是， 即对称轴位于直线与直线之间， 所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为． 故选：D． 9. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意，当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 10. 数学课上，邱老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于． 求作：弧的中点D． 同学们分享了如下四种方案： ①如图1，连接，作的垂直平分线，交于点D． ②如图2，过点O作的平行线，交于点D． ③如图3，作的平分线，交于点D． ④如图4，在射线上截取，使，连接，交于点D． 上述四种方案中，正确的方案的序号是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图方法，逐个推理证明即可． 【详解】解：①如图1， 由作图可知，的垂直平分线经过圆心O，因为，所以，点D是弧的中点； ②如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 所以，点D是弧的中点； ③如图3， ∵， 所以，点D是弧的中点； ④如图4，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 所以，点D是弧的中点； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行证明推理． 11. 如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（　　） A. 7 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作EG⊥AC于点G，EJ⊥CB于J，连接OD．证明OD⊥AB，再证明＝＝，求出AE，OE，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作EG⊥AC于点G，EJ⊥CB于J，连接OD． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝8， ∵CD平分∠ACB，EG⊥AC，EJ⊥CB， ∴EG＝EJ， ∴＝＝＝， ∴AE＝×10＝， ∵OA＝5， ∴OE＝OA﹣AE＝5﹣＝， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴＝， ∴OD⊥AB， ∴DE＝＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理、角平分线的性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形，利用勾股定理求解． 12. 已知抛物线，且．判断下列结论：①；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当时，；⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，则有，进而可判定①②，当x=1时，则，当x=-1时，则有，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线，则有当时，y随x的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴两式相减得，两式相加得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵当x=1时，则，当x=-1时，则有， ∴当时，则方程的两个根一个小于-1，一个根大于1， ∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确； 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，即为，故④正确； 联立抛物线及直线可得：，整理得：， ∴， ∴该抛物线与直线有两个交点，故⑤正确； ∴正确的个数有5个； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第II卷 非选择题（共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果．） 13. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接把方程化为两个一次方程求解即可. 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：， 14. 如图：M为反比例函数y= 图象上一点，MA⊥y轴于A，S△MAO=2时，k=__． 【答案】﹣4　． 【解析】 【详解】试题分析：对于反比例函数，过函数图像上任意一点作y轴的垂线，连接坐标原点所得到的三角形的面积为，则本题中，因为图像在第二象限，则k=－4． 15. 烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________. 【答案】4s 【解析】 【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点． 【详解】解： =（t-4）2+41， ∵＜0， ∴这个二次函数图象开口向下， ∴当t=4时，升到最高点， ∴从点火升空到引爆需要的时间为4s． 故答案为：4s． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的相互转化，以及二次函数的性质，二次函数的表达式有三种形式，一般式，顶点式，交点式．要求最高（低）点，或者最大（小）值，需要先写成顶点式． 烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 16. 如图，，，分别是内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若的半径为4，下面四个结论中，①；②点为的中点；③的长为；④平分．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、弧长公式．设圆的圆心是，连接，，，，应用圆内接正多边形的性质、圆周角定理、弧长计算公式、等边三角形的判定与性质，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：如图，设圆的圆心是，连接，，，， 是圆内接正六边形的一边， 的度数为， ， ， 为等边三角形， 的半径为4， ，故①错误，不符合题意； 是圆内接正方形一边， 的度数为， ， ，故②说法正确，符合题意； 是圆内接等边三角形的一边， 的度数为， ， ， ， ， ， 点为的中点，故③正确，符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， 平分，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④． 17. 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，设l交于点D， 由翻折的性质得：，，， ， ， 即是等边三角形， ，由勾股定理得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边三角形是解题的关键． 18. 二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点问题．令，（表示与轴平行的直线）结合二次函数的图象即可求解． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，（表示与轴平行的直线）， 与有两个交点， ， ， 是整数， 整数的最小值为2 故答案为：2． 三、解答题（7个大题，共计78分．解答题要写出必要的文字说明、证明或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴，． 20. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小亮的探究过程，请补充完整： （1）函数中自变量x的取值范围是______； （2）下表是y与x的几组对应值，请直接写出m的值______； … －2 －1 0 1 3 4 5 6 … … 0 m … （3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （4）根据画出的函数图象，发现下列特征： ①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是_____； ②该函数的图象与直线x＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_____越来越靠近而永不相交． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①（2，2）；② ． 【解析】 【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）将x=3代入函数解析式中求出m值即可； （3）连点成线即可画出函数图象； （4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解； ②观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：x-2≠0， 解得：x≠2． 故答案为：x≠2； （2）当x=3时，m=+3=1+3=4， 故答案为4； （3）图象如图所示： （4）观察函数图象发现： ①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）． 故答案为（2，2）； ②该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=x越来越靠近而永不相交． 故答案为y=x． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键． 21. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． （1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是______，其中红球的个数是______； （2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率． 【答案】（1）0.75，3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数； （2）列出表格，利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：由图表可知：摸出红球的频率分布在0.75上下， 则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75， 红球的个数是：， 故答案为：0.75，3； 【小问2详解】 由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球． 列表如下： 白 红1 红2 红3 白 白，红1 白，红2 白，红3 红1 红1，红2 红1，红3 红2 红2，红3 红3 可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即 （白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3）， 所以． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了利用频率估计概率． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 23. 如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径． （1）求证：AB是切线； （2）若求AC的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）易证△BED∽△BDC，求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】证明：连接OD、CD， ∵CE是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴OA垂直平分CD， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵AC是切线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵OD是半径， ∴AB是的切线； （2）解：∵BD是切线，易证△BED∽△BDC， ∴， 设，∵ ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵AD、AC是的切线， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故AC的长为6． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24. 设二次函数（，是常数）． （1）判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； （2）若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； （3）若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 【答案】（1）二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，见解析 （2）， （3）或且 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图像和性质等知识． （1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式求解即可． （2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，必的值即可得到函数图象与x轴交点的坐标； （3）由已知可知二次函数与x轴交点为、，根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合．得，在分类讨论，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设 ∴， ∵ ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个． 【小问2详解】 解：∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得，， ∴这个函数图象与轴交点的坐标为， 【小问3详解】 解：∵，在这个函数的图象上，且． ∴，即， 当时，，得二次函数与轴交点为、， ∴ 当时，由，得，即，即． 当时，由，得，即，即． ∴或且． 25. （1）已知为等边三角形，点是线段上的动点，连接． ①如图，，，连接，延长交于点E.则和的数量关系是______，和所夹的钝角______； ②如图，点是上任意一点，点在点的左侧，作，，连接，当点运动到的中点时，求的值和的度数； （2）如图，已知为等腰直角三角形，，，点，分别是线段，的中点，连接，点是线段上任意一点，点在点的左侧，作，，连接，，当取最小值时，直接写出的长． 【答案】（）；；（），；（）． 【解析】 【分析】（）由为等边三角形，得，，证明，然后根据全等三角形的性质即可； 由等边三角形的性质可以得出，，，从而证明，再根据相似三角形的性质即可； （）当时，最小，设与的交点为，证明和，再根据相似三角形的性质即可． 【详解】（）∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为:， ； （）∵为等边三角形， ∴，， ∵为的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （）， 由（）得，点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，最小， 设与交点为， 此时， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，垂线段最短等知识，熟练掌握正以上知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$