精品解析：河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试题

焦作市普通高中2024—2025学年高三第二次模拟考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知向量，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 20 4. 如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（ ） A. 两组数据的极差一定相等 B. 两组数据的平均数一定相等 C. 两组数据的中位数可能相等 D. 两组数据的方差不可能相等 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点， 在第一象限，且，则（ ） A. 点到的渐近线的距离为 B. C. 的离心率为2 D. 分别以为直径的圆的公共弦长为 11. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为 ，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 方程的所有实根之和为1 D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为___________． 13. 在 中，内角的对边分别为，若的平分线交 于点 ，且，则___________． 14. 记表示不超过的最大整数．若正项数列满足，则数列的前101项和为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列． （1）求的通项公式； （2）探究的单调性，并求其最值． 16. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 17. 已知函数． （1）当时，证明；； （2）当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程． （2）若上的两点满足，则称点为上的一对伴点，设 为上位于第一象限的一点，且点 的横坐标为1． （i）证明：点 在上共有两个伴点； （ii）设（i）中的两个伴点分别为，若斜率为的动直线与交于点，点组成四边形，求四边形的面积的最大值． 19. 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球 的半径为球 的球面上的四点. （1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. （2）在球 的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 焦作市普通高中2024—2025学年高三第二次模拟考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出满足集合的不等式，再去求两集合的交集. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2. 若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和几何意义，计算即可. 【详解】因为在复平面内对应的点位于轴上， 所以，此时满足题设. 故选：C. 3. 已知向量，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积公式及投影向量长度公式计算即可. 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量的长度为. 故选：B 4. 如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程和图象的对称性可得焦点坐标和点的坐标，即可求距离. 【详解】由抛物线的标准方程可知：焦点为，又，则点， 所以点到的焦点的距离为. 故选：C. 5. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用最值求，再结合范围求出，再利用二倍角公式求即可. 【详解】由题意可知，得， 解得，因，则， 因，解得或（舍） 故 故选：D 6. 在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由外接球表面积得到球的半径，进而求得，即可求解. 【详解】因直三棱柱中，， 则两个底面三角形的外接圆圆心分别为的中点， 如图所示，. 设棱柱的外接球的半径为 ，圆心为， 由，可得，由对称性知，O为中点， 由图，解得. 因侧面绕直线旋转一周后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱， 其体积为. 故选：B 7. 为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列，求出六个节目演出的方法数和曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出方法数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有种排法， 又六个节目演出，共有种排法， 由古典概率公式可知，所求概率为， 故选：A. 8. 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可求解；对求导，利用导数和指数函数的性质即可判定. 【详解】由题可知， 因为在区间上单调递增，所以，即， 当时，有，即，不成立， 当时，有，则成立，所以； 又在区间上都单调递增， 所以在，时恒成立， 所以在时恒成立， 因为，所以， 所以或， 又，所以， 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（ ） A. 两组数据的极差一定相等 B. 两组数据的平均数一定相等 C. 两组数据的中位数可能相等 D. 两组数据的方差不可能相等 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例，如数据为判断A、C；如数据为判断D，根据平均数的定义判断B． 【详解】A．假设原样本数据为，则新样本数据为，两组数据的极差不相等，错误； B．因为，所以两组数据的平均数一定相等，正确； C．由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，正确； D．假设原样本数据为，则新样本数据为，这两组数据一样，故方差可能相等，错误． 故选：BC． 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点， 在第一象限，且，则（ ） A. 点到的渐近线的距离为 B. C. 的离心率为2 D. 分别以为直径的圆的公共弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及余弦定理可求得，从而可求得，即可判断选项A，C；用余弦定理和双曲线的定义可求得判断选项B；点作于点 ，易知分别以为直径的圆的公共弦为，勾股定理可求公共弦长，即可求解选项D. 【详解】 因为双曲线，所以， 又因为，可得，， 又因为，所以，， 则在中由余弦定理有， 即，解得或（舍）， 则，则，所以，即点到点渐近线的距离等于，正确； 的离心率为，正确； 在中，由余弦定理可得有，则，解得，所以，错误； 过点作于点 ，因为,则点 在为直径的圆上， 所以以为直径的圆的公共弦为，且，所以，正确. 故选： 11. 塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为 ，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. 方程的所有实根之和为1 D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式，结合分式型函数的性质判断、的值域判断A；首先得到，再对其求和判断B；由、都关于对称即可判断C；根据函数的单调性有恒成立，再应用基本不等式求左侧最小值，即可求参数范围判断D. 【详解】对于A，因为， 所以在上为增函数，且的值域为， 又，所以，故正确； 对于B，因为， 所以，故正确； 对于C，因为，所以， 由B知图象关于点对称，又图象也关于点对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， 则方程的所有实根之和为0，故错误； 对于D，易知为增函数， 由题得， 即，而，当且仅当时等号成立， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是，故正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：对于C选项，根据函数的图象和的图象关于点对称进行求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥底面半径、母线长，然后得到底面积与表面积，从而得到母线与半径的比值，进而得到母线与底面所成角. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，母线与底面所成的角为 . 由题可知，则，所以， 因为，所以， 故答案为：. 13. 在 中，内角的对边分别为，若的平分线交 于点 ，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积相等结合半角公式求出，再根据余弦定理可求解. 【详解】由面积相等，可得， 即， 化简得， 又. 由余弦定理可得. 故答案为：. 14. 记表示不超过的最大整数．若正项数列满足，则数列的前101项和为___________． 【答案】10101 【解析】 【分析】解方程得，用放缩法和裂项相消法求出，得到，从而求出前101项的和． 【详解】因为，所以， 因为为正项数列，所以，则， 当时，， 故， 又对于，都有， 故， 所以， 故当时，，又， 所以的前101项和为． 故答案为：10101． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列． （1）求的通项公式； （2）探究的单调性，并求其最值． 【答案】（1） （2）先单调递减后单调递增，有最小值，无最大值 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，利用方程组解出和，进而得通项公式； （2）利用等比数列的通项公式求得，再利用数列单调性的定义判断单调性即可. 【小问1详解】 设的公差为， 由题可得，解得， 所以， 即的通项公式为. 【小问2详解】 由题意得，又是公比为2的等比数列， 所以，则． 所以， 因此，当时，，当时，， 所以， 所以数列先单调递减后单调递增，且有最小值，最小值为，无最大值． 16. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【小问1详解】 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件 ，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 【小问2详解】 由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 17. 已知函数． （1）当时，证明；； （2）当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） 要证，即证． 当时，，∴我们可以考虑证明， 令，则， 易知在上单调递增，且， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴是的极小值点，也是最小值点， 故当时，，即， 因此，当时，． （2） 【解析】 【分析】（1）先结合将放缩，再构造函数证明函数的最小值大于等于零. （2）将在区间内有且仅有一个极值点，转化成导函数在区间内有且仅有一个变号零点，再结合不同的值去看是否满足. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，则． 若，当时，，∴， 则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去． 若，设，则在区间上恒成立， ∴在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又，∴在区间上有唯一的零点， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴在区间内有唯一的极值点，符合题意． 综上，实数的取值范围是． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程． （2）若上的两点满足，则称点为上的一对伴点，设 为上位于第一象限的一点，且点 的横坐标为1． （i）证明：点 在上共有两个伴点； （ii）设（i）中的两个伴点分别为，若斜率为的动直线与交于点，点组成四边形，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）由题可知点 的坐标为． 设点 在上的伴点的坐标为，则，即， 所以点 在上的伴点在直线上． 联立方程得解得或 所以点 在上所有伴点的坐标分别为， 即点 在上共有两个伴点． （ii） 【解析】 【分析】（1）由题目条件列的方程组，即可得的方程； （2）结合伴点的定义，结合A的坐标列出另一个伴点满足的条件，再结合直线与椭圆的位置关系求解即可得A的伴点，由斜率为的动直线与交于点，结合问可求出的长度，再结合的特征，再求出 到 的距离的最大值即可求解四边形的面积的最大值． 【小问1详解】 设的半焦距为．由题可知，解得 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii） 设，则 两式相减得，由题可知， 则，所以线段的中点在直线上，则线段被直线平分．四边形的面积， 由（i）可知直线的方程为． 设点 到直线的距离为，则， 又，所以， 设过点 且与直线平行的直线的方程为， 则当与相切时，取得最大值， 由可得， 令，解得， 故的最大值为直线和直线（或）的距离，即为， 所以， 即四边形的面积的最大值为． 19. 球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点. （1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. （2）在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意易得四面体为正四面体，取的中点 ，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合余弦定理求解即可； （2）（i）设，先证明平面，可得，结合题设易得，可得，建立空间直角坐标系，结合空间向量求解即可； （ii）设，设平面与平面的夹角为 ，利用空间向量表示出，令，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为球面三角形的三条边长均为， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体. 取的中点 ，连接，则，且， 则为二面角的平面角. 由余弦定理可得. 所以此球面三角形一个内角的余弦值为. 【小问2详解】 因为平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边 的中点到点的距离相等，即 为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则取，可得. 设平面的一个法向量为， 则取，可得. 设平面与平面的夹角为 . 因为 ， 令，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $