精品解析：福建省厦门市第三中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）2025.3.14 考号___________姓名___________座位号___________ 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共8页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ). A. B. C. D. 3. 如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ） A. (5，1) B. (－1，5) C. (，3) D. (－3，) 5. 如图，有一斜坡的长为10，坡角，则斜坡的铅垂高度为（　　） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何?译文为：现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿直线平移后得到，点的对应点落在轴上，则点与其对应点间的距离为（ ）． A. B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为．若，则等于（　　） A. B. C. D. 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知α锐角，如果，那么α＝___． 12. 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________． 13. 如图，在中，，且，则的值为_______． 14. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 15. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______． 16. 如图，点为双曲线在第二象限上动点，的延长线与双曲线的另一个交点为，以为边的矩形满足，对角线，交于点，设的坐标为，则，满足的关系式为_____． 17. 计算：． 18. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：． 19. 先化简，再求值，其中． 20. 如图，在中，的平分线交于点． （1）请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 21. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）已知，，求的半径． 22. 厦门一中数学组为校园“科技节”筹备“数学知识竞赛”活动，计划对获奖同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元． （1）求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？ （2）根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品的数量不超过乙的3倍，求购买两种奖品的总费用的最小值． 23. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字） （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元； ①若该销售商购进一辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该辆车是事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数． 24. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，＝k． （1）求证：AE＝BF； （2）求：tanα与tanβ的数量关系； （3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）2025.3.14 考号___________姓名___________座位号___________ 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共8页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是； 故选：D 2. 如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可． 【详解】解：几何体的主视图为：， 故选：C． 【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图． 3. 如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是． 【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形, ∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE, ∴△DEF的面积是． 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质． 4. 下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ） A. (5，1) B. (－1，5) C. (，3) D. (－3，) 【答案】B 【解析】 【详解】解：，而， 故选B． 5. 如图，有一斜坡的长为10，坡角，则斜坡的铅垂高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义计算，得到答案．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ， 故选：B． 6. 《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何?译文为：现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品价格是多少？设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共同购买该物品有x人，该物品的价格是y元，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元， 依题意，得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意； B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意； C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意； D．平均数为， 方差为，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿直线平移后得到，点的对应点落在轴上，则点与其对应点间的距离为（ ）． A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像可知，点O'是直线上一点，求出O′点的坐标，再由图形平移的性质，BB'=OO'，应用勾股定理即可得出答案． 【详解】∵点的坐标为， ∴O'点的纵坐标是3， 又∵点O'在直线上， ∴O'点的坐标为 由图形平移的性质，BB'=OO'= 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 9. 如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为．若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理和解直角三角形，连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可，熟练用相关性质是解题的关键 【详解】解：如图，连接、、，交于， ，与相切，切点分别为，， ，，，平分， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知α是锐角，如果，那么α＝___． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据是锐角，，可以得到，由此求解即可． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据特殊角的三角函数求角的度数，求特殊角的三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握30度角的三角函数值． 12. 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选中的只有1种可能， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 13. 如图，在中，，且，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得,然后再说明△CED∽△CAB，然后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴△CED∽△CAB ∴． 故填． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，判定△CED∽△CAB是解答本题的关键． 14. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0， ∴实数k的值可以是-5； 故答案为-5（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 15. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质． 16. 如图，点为双曲线在第二象限上的动点，的延长线与双曲线的另一个交点为，以为边的矩形满足，对角线，交于点，设的坐标为，则，满足的关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OP，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，证△AOM∽△OPN，根据面积比等于相似比的平方可求． 【详解】解：连接OP，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足为M、N， ∴∠AMO=∠PNO=90°， ∵四边形是矩形， ∴∠ABC=90°，AP=PC， ∵OA=OB， ∴OP∥BC，BC=2OP， ∴∠AOP=∠ABC=90°， ∠AOM+∠PON=90°， ∵∠AMO =90° ∠AOM+∠MAO=90°， ∴∠MAO =∠PON， ∴△AOM∽△OPN， ∵ ∴， ∵点为双曲线在第二象限上的动点， 设点A的坐标为（a,）, ∵， ∴， ∵的坐标为， ， ， 故答案为：， 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形判断与性质和矩形的性质，恰当的构建相似三角形，利用面积比是相似比的平方是解题关键． 17 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查实数的混合运算及特殊角的三角函数的运算，零次幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 先化简二次根式、绝对值、零次幂及特殊角的三角函数，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形性质等知识，由菱形性质结合条件，利用全等三角形的判定与性质即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】证明：在四边形是菱形，， ， ， 在和中， ， ∴． 19. 先化简，再求值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可． 【详解】原式， 当 时，原式 【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值，熟练掌握因式分解，通分约分是解题的关键． 20. 如图，在中，的平分线交于点． （1）请用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2.5 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于E，点E即为所作的点； （2）证明，所以，再由，不难求得的值． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线交于点E． 点就是所求作的点． 【小问2详解】 解；连接，由（1）知． ， 平分， ， ， ， 又， ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质和判定，角平分线定义及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解相关定义和定理是解本题的关键． 21. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，点在边上，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）已知，，求的半径． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、等边对等角、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等边对等角得出，，求出，进而得出，即可得证； （2）设，则，，求出，则，由勾股定理得出，求出的值即可得解． 【小问1详解】 解：直线与相切， 理由如下：如图，连接， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 由（1）可得：， ， 设，则，， ， ， ， ， 解得：， ， 的半径为． 22. 厦门一中数学组为校园“科技节”筹备“数学知识竞赛”活动，计划对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元． （1）求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？ （2）根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品的数量不超过乙的3倍，求购买两种奖品的总费用的最小值． 【答案】（1）甲、乙两种奖品的单价分别为10和20元； （2）当时，有最小值元． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种奖品的单价分别为、元，根据“3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买甲件，根据“甲种奖品的数量不超过乙的3倍”求得的范围，再根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种奖品的单价分别为、元， 则，， 答：甲、乙两种奖品的单价分别为10和20元； 【小问2详解】 解：设购买甲件，则， 解得：， 由题意得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最小值：（元）． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质和不等式的性质解答问题． 23. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 数量 10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字） （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元； ①若该销售商购进一辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该辆车是事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数． 【答案】（1）平均费用约为元； （2）①为事故车的概率为；②50万元 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，列举法求概率，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据加权平均数计算解题即可； （2）①从辆已满三年该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，可直接得出为事故车的概率； ②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得的平均值，最后求购进100辆车获得利润的平均费用再乘以100即可． 【小问1详解】 解：元， 答：在第四年续保时的平均费用约为元； 【小问2详解】 ①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆， ∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为； ②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元． 24. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G在边BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，连接BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，＝k． （1）求证：AE＝BF； （2）求：tanα与tanβ的数量关系； （3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）tanα＝ktanβ （3）点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧；点F经过的路径是以AB为直径，圆心角为90°的圆弧；所围成的图形的面积为4． 【解析】 【分析】（1）证明，再利用全等三角形的性质求解；（2）)由锐角三角函数的定义可得出，由（1）证明得出，进而可得出结论； （3）根据题意得出∠AED=∠BFA=90°，当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，求出三角形AOB的面积即可得出答案． 【小问1详解】 证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°． ∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED＝∠BFA＝90°， ∴∠ADE+∠DAE＝90°． ∵∠BAF+∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AE＝BF； 【小问2详解】 解：在和中， ，， ∴． 由（1）可知∠ADE＝∠BAG，∠AED＝∠GBA＝90°， ∴△AED∽△GBA， ∴， 由（1）可知，AE＝BF， ∴， ∴． 设，AB＝BC， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED＝∠BFA＝90°， ∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径， 圆心角为90°的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O， 如图． ∵AB＝AD＝4， ∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB＝×4×4＝4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或（3，4） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【小问1详解】 解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． 【小问3详解】 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$