精品解析：山西省吕梁市汾阳市2024—2025学年上学期期末考试八年级数学试卷

汾阳市2024-2025学年度第一学期期末试卷八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，考试结束后交回答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 已知分式的值为0，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．如图2是从图1冰裂纹铺装的路面图案中提取的多边形，则这个多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片（ ） A. 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张 6. 如图，已知的周长是，且，，的垂直平分线与、分别交于点E、D，的垂直平分线与、分别交于点G、F，且点D在点F的左侧，则的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正六边形的边长是5，点P是对角线上一个动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图和均为等腰三角形，为公共顶角顶点，，连接，交于点，并连接．则的度数可表示为（ ） A. B. C. D. 9. 我市南关新村网红街某商店用2000元购进了一批胶囊遮阳伞，这种伞颜值高，防晒效果好，购进后很快就销售一空．面对即将到来的国庆小长假，大家对小遮阳伞的需求量增大．该商店瞄准商机，又用3750元购进了第二批这款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了．求第一批每把胶囊遮阳伞的进价．设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是x元，依题意可得到的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中的横线上） 11. 计算：______． 12. 已知，则的值为______． 13. 若等腰三角形的一个内角为，则底角为__________． 14. 在中，，于点D，E在上，，，则______． 15. 如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算； （2）解方程． 17. 先化简，，其中m为满足的整数，请选出一个合适的数作为m的值代入求值． 18. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：____________； （2）写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； （3）证明（2）中的等式． 19. 规定：有一对相对的角互补的四边形叫做智慧四边形．例如，在四边形中，若或，则四边形是智慧四边形． （1）如图1，已知四边形是智慧四边形，其中三个内角、、的比是，则的度数为______． （2）如图2，D为内一点，且，的两个外角、的角平分线交于点E，判断四边形是否为智慧四边形，并说明理由． 20. 如图，D为中边上一点． （1）过D点作的平行线，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （2）若中，，求证：． 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 22. 某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． （1）求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 23. 问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是____________． A． B． C． D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点， ①若四边形的面积为m，求证：的面积为． ②若，则、、三者之间的数量关系为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汾阳市2024-2025学年度第一学期期末试卷八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，考试结束后交回答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 已知分式的值为0，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件值是解题关键．直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不等于0，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得：． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 3. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 4. 冰裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，并被广泛应用于建筑装饰和瓷器．如图2是从图1冰裂纹铺装的路面图案中提取的多边形，则这个多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和公式，根据题意得到多边形是六边形，利用n边形内角和公式进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，多边形是六边形， ∴这个多边形的内角和是， 故选D． 5. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片（ ） A. 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：（a+2b）（a+b）=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2， 则需要C类卡片张数为3． 故选：B． 点睛：此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 如图，已知的周长是，且，，的垂直平分线与、分别交于点E、D，的垂直平分线与、分别交于点G、F，且点D在点F的左侧，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可知，，再根据的周长，结合题意即可求解． 【详解】解：∵的周长是，且，， ∴， ∵，分别垂直平分， ∴，， ∴的周长， 故选：A． 7. 如图，已知正六边形的边长是5，点P是对角线上一个动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正多边形的性质及轴对称最短路线问题．易知点关于的对称点为点，连接交于点，那么有，，点为与的交点时最小，根据轴对称的性质结合正六边形的性质进行解答即可． 【详解】解：利用正多边形的性质可得，点关于的对称点为点，连接交于点，那么有，，点为与的交点时最小． ∵六边形是正六边形，对角线、交于， ∴、都是等边三角形， 所以， 可得：， ∴的最小值是10， 故选：D． 8. 如图和均为等腰三角形，为公共顶角顶点，，连接，交于点，并连接．则的度数可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质．过点作，，根据等腰三角形的性质可得，，又因为，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，从而可证，可得，根据全等三角形的面积相等可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可知是的平分线，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，， 和均为等腰三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ，，， 又， ， ， ， ， 是的平分线， ．   故选： ． 9. 我市南关新村网红街某商店用2000元购进了一批胶囊遮阳伞，这种伞颜值高，防晒效果好，购进后很快就销售一空．面对即将到来的国庆小长假，大家对小遮阳伞的需求量增大．该商店瞄准商机，又用3750元购进了第二批这款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了．求第一批每把胶囊遮阳伞的进价．设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是x元，依题意可得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是x元，根据“用3750元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了”列方程即可． 【详解】解：设第一批每把胶囊遮阳伞的进价是x元，则第一批每把胶囊遮阳伞的进价是元， 依题意可得： 故选：C． 10. 如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于轴对称点的性质，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得点的坐标，在根据关于轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中的横线上） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算即可．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，则的值为______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．根据平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：21． 13. 若等腰三角形的一个内角为，则底角为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的底角为时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的角为底角时，它的底角为：， 当等腰三角形的顶角为时，它的底角为：； 综上所述：则它的底角为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 14. 在中，，于点D，E在上，，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点作，交于点，可证得，得，由，得，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 故答案为：10． 15. 如图，已知中，D为边上一点，E为边上一点，连接，，，，若，，，则______． 【答案】1.8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，先根据，，证明，令点到的距离为，点到，的距离为，，则，再由等面积法可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，则平分， 令点到的距离为，点到，的距离为，，则， ∴， 则，即：， ∴， 故答案为：1.8． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解分式方程； （1）先根据零指数幂，负整数指数幂，立方根化简各个数字，再计算加减即可； （2）先去分母化成整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：（1）； （2）， 方程两边同时乘以得，， 解得， 当时，， ∴原方程无解． 17. 先化简，，其中m为满足的整数，请选出一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先把括号内通分，再把分子、分母分解因式约分化简，然后从中取一个使分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴且， 又∵m为满足的整数， ∴或1， 当时，原式， 当时，原式． 18. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：____________； （2）写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； （3）证明（2）中的等式． 【答案】（1） （2） （3） 证明：∵等式右边 ； ∴左边右边． 即：． 【解析】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，分式加法运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． （1）观察前几个等式即可写出第7个等式； （2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第个等式； （3）计算等式右边，验证其结果等于左边即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：，即：， 第2个等式：，即：， 第3个等式：，即：， 第4个等式：，即：， 第5个等式：，即：， …… 按照以上规律， 第6个等式：，即：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据（1）可知，第个等式：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 19. 规定：有一对相对的角互补的四边形叫做智慧四边形．例如，在四边形中，若或，则四边形是智慧四边形． （1）如图1，已知四边形是智慧四边形，其中三个内角、、的比是，则的度数为______． （2）如图2，D为内一点，且，的两个外角、的角平分线交于点E，判断四边形是否为智慧四边形，并说明理由． 【答案】（1） （2） 四边形为智慧四边形，理由如下： ∵的两个外角、的角平分线交于点E， ∴，， 则 ， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为智慧四边形． 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，理解相关定义是解决问题的关键． （1）设，则，，由四边形是智慧四边形得，则，即可求得，则； （2）由题意可得，，进而可知，再结合三角形内角和定理可得，即可证明结论． 【小问1详解】 设， ∵， ∴，， ∵四边形是智慧四边形， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 20. 如图，D为中边上一点． （1）过D点作的平行线，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （2）若中，，求证：． 【答案】（1） 如图，为所求， （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴也是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，等边三角形的判定与性质； （1）尺规作即可； （2）由平行可得，得到是等边三角形，即可得到也是等边三角形，再据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 【答案】（1） （2）①，②25 【解析】 【分析】本题考查了因式分解及其应用，完全平方公式变形的应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）①把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解； ②由题意得，，则根据即可求解． 【小问1详解】 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 故答案为：； 【小问2详解】 ①把“”看成一个整体，令． ； ②∵，， ∴， 则 ． 22. 某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． （1）求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1） （2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； 【小问2详解】 设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 23. 问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是____________． A． B． C． D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点， ①若四边形的面积为m，求证：的面积为． ②若，则、、三者之间的数量关系为______． 【答案】（1）①B；②（2）27（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，垂直平分线的性质． （1）①由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ②由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此； （2）延长至，使得，可证得，得，，，可知，得，结合，可证，即可证得，再由即可求解； （3）①延长交于，证明，得，，可知，再结合，即可证明结论； ②由①可知，则，，结合题意可知，可得垂直平分，进而可得． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； ②解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）①延长交于， ∵， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； ②由①可知，则，， ∵， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $