精品解析： 福建省泉州市南安市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市南安市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 16的平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：， 的平方根是． 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、0是有理数，故此选项不符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. x B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式的计算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． 4. 小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：A． 5. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小东同学想到这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知内径的长度．此方案中，判定和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，两边和夹角对应相等的两三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：是，的中点， ，， 在和中， ， ， 判定和全等的依据是． 故选：B． 6. 如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据正方形的性质得出，然后在中，利用勾股定理得出，即可得出正方形的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 正方形的面积． 故选：C． 7. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【详解】解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 8. 如图，在中，，垂直平分交于，交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理，求出的度数，根据是的垂直平分线，可知，，结合是的外角，即可算出答案． 【详解】解：， 是的垂直平分线 故选：C． 9. 学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，信息如下： 测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图甲）； 一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米（如图乙）． 设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，在中，由勾股定理可得，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵米，米， ∴根据以上信息，在中，由勾股定理可得， 故选：． 10. 已知，则的值是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将原式变形为，然后利用完全平方公式展开，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 命题“的立方根等于”是______命题填“真”或“假” 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据立方根的概念判断即可． 【详解】解：的立方根等于， 命题“的立方根等于”是真命题， 故答案为：真． 12. 《义务教育劳动课程标准年版》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有45名学生，其中学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有______名． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，根据频数总次数频率进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：名， 该班学会炒菜的学生有18名． 故答案为：． 13. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法直接因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟记因式分解方法是解决问题关键． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．分7是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【详解】解：①7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形， 所以，第三边为7； ②7是底边时，三角形的三边分别为3、3、7， ， 不能组成三角形， 综上所述，第三边为7． 故答案为：7． 15. 已知：如图，直线l及其外一点求作：直线的垂线，使它经过点小刚的作法如下： 在直线上任取一点，连结 以为圆心，线段的长度为半径作弧，交直线于点 分别以，为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点 作直线．直线即为所求作的垂线如图 若，，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作法-复杂作图，菱形的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息．判断出四边形是菱形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设与交于点 由作图可知， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的周长为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据算术平方根、立方根、绝对值的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：   19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 本题考查的是整式的化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 20. 如图，已知，且，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中运用斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用“”判定，即可求解． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 21. 为了解学生“防诈骗意识”情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果将“防诈骗意识”按A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）分为五个等级．将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表． 等级 人数 A（很强） a B（强） b C（一般） 20 D（弱） 19 E（很弱） 16 （1）本次调查的学生共_________人； （2）已知，请将条形统计图补充完整； （3）若将A，B，C三个等级定为“防诈骗意识”合格，请估计该校2000名学生中"防诈骗意识”合格的学生有多少人？ 【答案】（1）共100人 （2）见解析 （3）估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有1300人 【解析】 【分析】（1）根据统计图可进行求解； （2）由（1）及可求出a、b的值，然后问题可求解； （3）根据统计图及题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知：（人）； 故答案为100； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：由题意得： （人）． ∴估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有1300人． 【点睛】本题主要考查条形统计图及扇形统计图，解题的关键是理清统计图中的各个数据． 22. 为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近． （1）按照以上方法，可知，此时______； （2）某数学兴趣小组提出以下求的方法： 解：，即， 设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 请任选一种方法求的近似值精确到． 【答案】（1）25 （2）5.8 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方数． （1）根据最接近26的完全平方数25解答； （2）仿照题目给出的方法计算即可． 【小问1详解】 解：最接近26的完全平方数25， ， 故答案为：25； 【小问2详解】 解：方法1：； 方法2：，即， 设，其中，则，即， 当时，可忽略， 所以， 解得，即． 23. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理． （1）如图1，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为． ①请写出勾股定理的表达式：______． ②如图2，正方形边长为c，请你在图2中，将图1的四个三角形拼成一个能证明勾股定理的图形． （2）如图3，将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，使点B、E、C在同一直线上，三角形的短直角边记为a，长直角边记为b，斜边记为c，请连结，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 【答案】（1）① ；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查全等三角形的性质，勾股定理，四边形面积，解决本题的关键是掌握勾股定理． （1）①根据勾股定理即可解决问题；②结合①画出图形即可； （2）连结、，证明，根据四边形的面积列出等式即可解决问题． 【小问1详解】 解：①勾股定理的表达式：， 故答案为：； ②如图2，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图3，连结、， 由题意可知：， ，，，， ， ， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ． 24. 【问题背景】 (1)如图1，在中，，过直角顶点作直线，于点， 于点，求证： 【尝试应用】 (2)如图2，在中，，点在外部，，面积为12且的长为6，求的面积． 【拓展创新】 (3)如图3，，点为内的一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上， 为等腰直角三角形，若，，直接写出的长用、的代数式表示 【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）的长为或或 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的面积等知识，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用一线三垂直模型证明即可； （2）如图2，过作于，过作交DA的延长线于，根据三角形的面积公式可得，证明是等腰直角三角形，则，由同理得： ，则，最后根据三角形的面积公式即可解答； （3）分点为直角顶点，点为直角顶点，点为直角顶点，三种情况画出对应的示意图，通过作出辅助线构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）证明：中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）解：如图2，过作于，过作交DA的延长线于， 面积为12，且的长为6， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由同理得：， ， ； （3）解：分三种情况： ①如图3，当点为直角顶点时，过点作于， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②如图4所示，当点为直角顶点时，延长交射线于，过点作于， 同理可得， ，， 同理可证明是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， ； ③如图5所示，当点为直角顶点时，过点作于， 交的延长线于点， ，， ， ， 又， ， ，， ，，， （平行线之间的距离处处相等）， 设，则， 同理可得是等腰直角三角形， ， ， 解得， ； 综上所述，的长为或或． 25. 八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【答案】（1）4；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、规律型：图形的变化、几何体的展开图，找到规律是解题的关键． （1）①根据已知条件即可得出答案；②根据已知条件即可得出答案； （2）当时，，当时，，进而得出答案； （3）先找到规律，再变形，进而得出答案． 【详解】解：（1）①根据已知可得，展开式中的系数是4；     ②根据已知可得，展开式中所有项的系数和为， 的展开式中所有项的系数之和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， ⋯， 则展开式中所有项的系数和为． 故答案为：4；  （2）   ， 当时，， 当时，， ． （3）由题意可得：，，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省泉州市南安市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 16的平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 3. 计算的结果是（ ） A. x B. C. D. 4. 小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（ ） A. B. C. D. 5. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小东同学想到这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知内径的长度．此方案中，判定和全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，垂直平分交于，交于，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，信息如下： 测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图甲）； 一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米（如图乙）． 设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则的值是(  ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 命题“的立方根等于”是______命题填“真”或“假” 12. 《义务教育劳动课程标准年版》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有45名学生，其中学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有______名． 13. 因式分解： ______． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是______． 15. 已知：如图，直线l及其外一点求作：直线的垂线，使它经过点小刚的作法如下： 在直线上任取一点，连结 以为圆心，线段的长度为半径作弧，交直线于点 分别以，为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点 作直线．直线即为所求作的垂线如图 若，，则四边形的周长为______． 16. 如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 计算： 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图，已知，且，，求证：． 21. 为了解学生“防诈骗意识”情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果将“防诈骗意识”按A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）分为五个等级．将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表． 等级 人数 A（很强） a B（强） b C（一般） 20 D（弱） 19 E（很弱） 16 （1）本次调查的学生共_________人； （2）已知，请将条形统计图补充完整； （3）若将A，B，C三个等级定为“防诈骗意识”合格，请估计该校2000名学生中"防诈骗意识”合格的学生有多少人？ 22. 为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近． （1）按照以上方法，可知，此时______； （2）某数学兴趣小组提出以下求的方法： 解：，即， 设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 请任选一种方法求的近似值精确到． 23. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理． （1）如图1，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为． ①请写出勾股定理的表达式：______． ②如图2，正方形边长为c，请你在图2中，将图1的四个三角形拼成一个能证明勾股定理的图形． （2）如图3，将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，使点B、E、C在同一直线上，三角形的短直角边记为a，长直角边记为b，斜边记为c，请连结，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 24. 【问题背景】 (1)如图1，在中，，过直角顶点作直线，于点， 于点，求证： 【尝试应用】 (2)如图2，在中，，点在外部，，面积为12且的长为6，求的面积． 【拓展创新】 (3)如图3，，点为内的一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上， 为等腰直角三角形，若，，直接写出的长用、的代数式表示 25. 八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $