精品解析：江苏省江阴市长泾中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性检测数学试题

2025年春学期3月份阶段性检测 高一数学试卷 命题人：韩健 复核人：周蓉 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若复数，则下列结论中不正确的是（ ） A. z的虚部为-1 B. C. 为纯虚数 D. z的共轭复数为 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的相关概念和性质，逐项分析计算即可得解. 【详解】由， 对A，虚部为，正确； 对B，，正确； 对C，为纯虚数，正确； 对D，z的共轭复数为，故D错误. 故选：D 2. 在中，若，，，则可能是（ ） A. 135° B. 105°或15° C. 45°或135° D. 15° 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正确的选项. 【详解】由正弦定理可得，故， 故，而，故或， 故或， 故选：B. 3. 中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到之间的关系，从而确定出三角形的形状. 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以三角形是等腰三角形， 故选：B. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状. 4. 一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A. 正西方向 B. 南偏西方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 5. 已知单位向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，利用平面向量的数量积的运算求出的长度，并计算，然后利用夹角公式求夹角余弦值，再求解正弦值 【详解】单位向量，满足，且， 所以 ， 所以. 所以 故选:C 6. 在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理，用表示，设，，再用含参的方式用表示，得到关于参数的方程组求得，最后应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意取值条件. 【详解】由题意， 设，， 则， 所以，，得， 所以（当且仅当时等号成立）. 故选：D 7. 已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可 【详解】由，得， 所以，设的中点为，连接，则， 所以，所以点在边上的中线上，同理可得也在的中线上， 所以点是的重心， 由，得，所以到的三个顶点的距离相等，所以为的外心， 由，得，所以， 所以，所以，同理得，所以为的垂心， 故选：A 8. 如图，在梯形中，且为以为圆心为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解. 【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，，，，设， 得，，， 则 由，当时，有最小值. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的模为10 C. 若，则复平面内的虚部为 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数乘方运算及概念判断AC；求出复数的模判断B；由复数的几何意义判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，复数的模，B错误； 对于C，，则的虚部为，C错误； 对于D，由，得在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确. 故选：AD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 已知，且，则 C. 若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 D. 若 .则△ABC为钝角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积，线性运算，坐标运算逐个选项求解即可. 【详解】利用，可得与共线且反向，判断A；，时，（）.可判断B；∠ABC为锐角，则，与不共线，得，即，可判断C；由，得（），可得.可判断D． 【解答】对于A：若两个非零向量，，满足，则与共线且反向，故A正确； 对于B：由，得（），已知，时，（）， 故，时满足.故B错误. 对于C：，， 由于∠ABC为锐角，则，解得， 与不共线，得，即，故C错误； 对于D：由 .得（）， ∴ ，∴，， ∴，∵，∴ ，∴△ABC为钝角三角形，故D正确． 故选：AD． 11. 已知中，，．下列说法中正确的是（ ） A. 若是钝角三角形，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据为钝角时即可判断A，根据正弦定理结合三角函数的性质即可判断BCD. 【详解】对于A,若为钝角，则,故，A错误， 对于B,由正弦定理可得， 由于是锐角三角形，所以且，故， 故，进而，故B正确， 对于C, ,由于，所以时，取最大值，故最大值为，C正确， 对于D，由正弦定理可得 当时，，故D错误， 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知虚数满足：为实数，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】设，再根据复数的运算以及实数的概念求出，然后由共轭复数的概念以及复数的乘法运算即可求出答案． 【详解】设，则，为实数， 于是，即，故． 故答案为：． 13. 已知点是所在平面内的一点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设为的中点，为的中点，为的中点，由得到，再进一步分析即得解. 【详解】如图，设为的中点，为的中点，为的中点， 因为， 所以可得， 整理得.又， 所以，所以， 又，所以． 故答案为 【点睛】本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题. 14. 在边长为的等边中，在边上，延长到，使得，若（其中为常数），则______. 【答案】##1.5；## 【解析】 【分析】结合与三点共线，可求得，再根据根据余弦定理建立方程即可求解. 【详解】因为，所以， 又在边上，即三点共线，所以，即， 所以，又，所以，， 设，，则，. 根据余弦定理可得，， 因为，所以，即，解得， 所以长度为. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量，且， （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解； （2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可. 【小问1详解】 解：设，， ，又， ， 或， 或. 【小问2详解】 解：，，设与的夹角为. 故， 在上的投影向量为. 16. 已知，复数在复平面上对应点分别为为坐标原点. （1）求的取值范围； （2）当三点共线时，求三角形的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）易得，再由，利用基本不等式求解； （2）根据三点共线，由得到，再利用数量积求得夹角，利用三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 当且仅当时取得等号， 所以； 【小问2详解】 因为， 且三点共线时，有， 即， 解得 此时，， 所以， 所以. 17. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及三角形中即可求解. （2）可设,则，利用余弦定理及正弦定理求解三者的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 解：∵，由正弦定理得：，即， 则， 又在中，，，故， 故. 【小问2详解】 由题可知，设,则， 由正弦定理得：，即， 解得， 由余弦定理得，解得； 又，故. 由余弦定理得，即， 解得，则，. 的面积为. 18. 已知梯形中，，，，E为的中点，连接AE. （1）若，求证：B，F，D三点共线； （2）求与所成角的余弦值； （3）若P为以B为圆心、BA为半径的圆弧（包含A，C）上的任意一点，当点在圆弧（包含A，C）上运动时，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）由题意可得，，从而，即可证得结论； （2）结合数量积的运算求得，，进而得，然后向量夹角公式求解即可； （3）设，结合数量积的运算和三角变换求得，由三角函数的性质求得最小值. 【小问1详解】 如图1，∵ ∴，∴B，F，D三点共线. 【小问2详解】 如图1，∵ ∴ ∵ ∴ ∴ . 【小问3详解】 如图2，∵， ∴ 设，则， ∵，， ∴当，即时，取最小值. 19. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，. （1）已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. （2）已知，且，求AC最大值. 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；（ii）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答. （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【小问1详解】 （i）设，在中，由余弦定理得，解得， 在中，，则底边上的高， 所以的面积. （ii）设，依题意，， 则，，即，而， 所以. 【小问2详解】 连接，中，，， 由余弦定理得， 则，，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期3月份阶段性检测 高一数学试卷 命题人：韩健 复核人：周蓉 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若复数，则下列结论中不正确是（ ） A. z的虚部为-1 B. C. 为纯虚数 D. z的共轭复数为 2. 在中，若，，，则可能是（ ） A. 135° B. 105°或15° C. 45°或135° D. 15° 3. 中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 4. 一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A. 正西方向 B. 南偏西方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向 5. 已知单位向量，满足，且，则（ ） A B. C. D. 6. 在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 8. 如图，在梯形中，且为以为圆心为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的模为10 C. 若，则复平面内的虚部为 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 已知，且，则 C. 若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是 D. 若 .则△ABC为钝角三角形 11. 已知中，，．下列说法中正确的是（ ） A. 若是钝角三角形，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 的最大值是 D. 的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知虚数满足：为实数，则_________. 13. 已知点是所在平面内的一点，若，则__________． 14. 在边长为的等边中，在边上，延长到，使得，若（其中为常数），则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量，且， （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）. 16. 已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点. （1）求的取值范围； （2）当三点共线时，求三角形面积. 17. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若D点在线段上，且平分，若，且，求的面积. 18. 已知梯形中，，，，E为中点，连接AE. （1）若，求证：B，F，D三点共线； （2）求与所成角的余弦值； （3）若P为以B为圆心、BA为半径的圆弧（包含A，C）上的任意一点，当点在圆弧（包含A，C）上运动时，求的最小值． 19. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC两侧，. （1）已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. （2）已知，且，求AC的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$