精品解析：四川省绵阳南山中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

绵阳南山中学高2024级高一下期3月月考试题 数学 命题人：杜晓英 审题人：周莉莎 王秀容 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､班级､准考证号填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，仅将答题卡交回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：B 2. 已知为平面上的单位向量，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】两边平方，结合是单位向量，求出，从而得到，故“”是“”的充分必要条件. 【详解】两边平方得，， 因为为平面上的单位向量，所以， 解得， 由于为平面上的单位向量，所以， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C 3. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量在方向上的投影向量为. 故选：B 4. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接计算. 【详解】 由已知对角线与交于点，， 则， 所以， 故选：A. 5. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式及正切和角公式得，即可求值. 【详解】由，且， 所以， 则. 故选：A 6. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】拆角后由诱导公式和余弦二倍角公式计算即可； 【详解】. 故选：A. 7. 已知向量满足：，若，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，数形结合后可得的最小值为点到射线的距离，再结合正弦定义计算即可得. 【详解】令，，则，故， 则，故的最小值为点到射线的距离， 即. 故选：B. 8. 中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及向量共线的推论得，进而求的最大值即可. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，的最大值为1. 故选：C 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，根据相等向量的定义，即可做出判断；对于选项B，根据零向量与任意向量平行即可做出判断；对于选项C，根据向量与共线的充要条件即可做出判断；对于选项D，根据向量加法的三角形法则即可做出判断. 【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同. 当时，和的长度相等； 当时，和的方向不一定相同，故A不正确； 对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确； 对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得； 当，时，则不存在实数，使得，故C不正确； 对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确. 故选：ABC. 10. 如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）． A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的，纵坐标不变 C. 把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据图象求函数解析式，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求，再借助图象变换规则即可得出结果. 【详解】由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+）， 向左平移，得．然后各点的横坐标缩短到原来的，得．故A正确． 各点的横坐标缩短到原来的，得．然后向左平移个单位，得．故C正确． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为，属于中档题. 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值不可能为 D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，求得即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C，由题意可得，函数与的图象在共9个交点，计算可判断D. . 【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 因为，所以，所以， 所以，故A错误； 对于B：因为图象关于点对称，则， 即，因为，所以， 当时，，则在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，，因为， 所以，所以在上的最小值小于，故C正确． 对于D：因为的图象关于直线对称，则， 即，又，所以，所以， 令函数根即为函数与的交点的横坐标， 作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则， 由，得， 函数与的图象在共9个交点， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是不共线的两个平面向量，已知，．若，，三点共线，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量共线定理可得，进而可得结果. 【详解】\三点共线，则 所以 故答案为： 点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 13. 已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知可得，结合图象平移及对称中心得，即可求参数最大值. 【详解】函数的最小正周期，则，得，则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 要使该图象关于对称，则，所以， 又，当时，取得最大值，为. 故答案为： 14. 已知函数，设，则等于__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用诱导公式及辅助角公式得，结合题设有，即可求函数值. 【详解】， ， ， ， ， . 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知，，的夹角是60°，计算 （1）计算，； （2）求和的夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出； （2）先求出，根据向量夹角关系即可求出. 【小问1详解】 由题可得， ，所以； 【小问2详解】 ， 设和的夹角为， 所以. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由值求值，即可求出； （2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值. 【小问1详解】 由，可得， . 【小问2详解】 由 ，可得， 又， ， ， 由，可得. 17. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案. 已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P，Q分别在弧AB、线段OA上. （1）若，求此红旗图案的面积； （2）求组成的红旗图案的最大面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由可得,,再根据可得,则,代入求解即可； （2）设,则,,,代入中,根据三角函数性质求得最值. 【详解】（1）因为,所以,则, 因为,所以, 因为, 所以, 所以此红旗图案的面积为 （2）设,则,, 因为,所以, 则, 所以 , 因为,所以, 则当,即时, 取得最大值为 所以组成的红旗图案的最大面积为. 【点睛】本题考查三角函数在几何中的应用,考查正弦型函数的最值,考查运算能力. 18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值. （3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 【答案】（1）,图象如图所示 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得； （2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值； （3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为，由题意，， 且，解得，则，即有， 将点代入，化简可得，则， 即，因，故得，即. 取函数在一个周期上的五点列表如下： 0 2 0 0 在直角坐标系中作图如下： 【小问2详解】 依题意，是偶函数， 故，解得，即， 因，则得，则时，取得最小值为 . 【小问3详解】 由（2）分析可得，因，则， 结合余弦函数的图象性质可得，故得， 因对任意的，恒有成立，故得， 解得或，即的取值范围为. 19. 已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同． （1）求的对称中心， （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正切函数图像特征得出函数的周期，进而根据正弦型函数对称性求解即可. （2）根据正弦型函数图象结构特征进行推理即可. （3）将函数零点问题转化成方程问题，然后对进行合理地分类讨论. 【小问1详解】 因为函数的周期为，所以由题，所以， 又由图象关于直线对称，所以，即，所以， 所以，令，， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 当时，令，解得， 所以由图象特征可知， 若函数在上恰有8个零点，的最小值应为： 首尾均应是零点， 则的最小值为， 【小问3详解】 由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故上有且只有一个零点. ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时, 因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且. 因为， 所以， 所以， 在上单调递减， ，所以. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角函数型函数的图像特征，运用数形结合思想方法是灵活解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绵阳南山中学高2024级高一下期3月月考试题 数学 命题人：杜晓英 审题人：周莉莎 王秀容 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､班级､准考证号填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，仅将答题卡交回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知为平面上单位向量，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 3. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C D. 5. （ ） A. B. C. 1 D. 6 已知，则（    ） A B. C. D. 7. 已知向量满足：，若，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 10. 如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）． A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的，纵坐标不变 C. 把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值不可能为 D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是不共线的两个平面向量，已知，．若，，三点共线，则实数的值为______． 13. 已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为__________. 14. 已知函数，设，则等于__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 已知，，的夹角是60°，计算 （1）计算，； （2）求和的夹角的余弦值. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案. 已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P，Q分别在弧AB、线段OA上. （1）若，求此红旗图案的面积； （2）求组成的红旗图案的最大面积. 18. 已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为. （1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； （2）将函数图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值. （3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围. 19. 已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同． （1）求的对称中心， （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$