专题04 指数函数与对数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

专题04 指数函数与对数函数 一、学习目标（100%） 1、了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2、了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 3、能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； 4、理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数 5、了解对数函数的概念； 6、能用描点法画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；； 7、知道对数函数与指数函数互为反函数（且） 二、课前热身（20%） 1. 已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 2. 已知，，化简： ． 3. 函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4. 已知.若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 三、知识梳理 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 【即时演练】（30%） 1. （多选）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2. 设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2. 若代数式有意义，则 ． 3. 计算： (1)； (2)（，）. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 【即时演练】（40%） 1. 若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 2. 已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 3. 在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 4. 已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 5. 已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6. 设函数（且）， 满足. (1)求的值； (2)若，求使不等式对任意实数恒成立的的取值范围． 5、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数. （3）对数式与指数式的互化：. 6、对数的性质、运算性质与换底公式 （1）对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： ①负数和零没有对数，即； ②1的对数等于0，即； ③底数的对数等于1，即；④对数恒等式. （2）对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③. （3）对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①； ②； 7、对数函数及其性质 （1）对数函数的定义 形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 【即时演练】（50%） 1. 若，，则等于（    ） A． B． C． D． 2. 计算 计算： . 3. （多选）若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 4. 若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 5. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6. 已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 8、函数的零点: 对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注意函数的零点不是点，是一个数. 9、函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标.即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 10、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 11、常见函数模型 （1）指数函数模型（且，） （2）对数函数模型（且，） 【即时演练】（60%） 1. （多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 2. 已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 3. 若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 4. 已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为 ．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为 ． 5. 已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 四、综合检验（70%，建议倒序） 1. 已知，则.（    ） A． B． C． D． 2. 心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（   ） A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661 3. 若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 4. 函数的单调增区间为 ． 5. 若是奇函数，当时， ． 6. 已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 7. 已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 五、课后作业（80%） 1. 已知是函数的零点，则m为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2. 函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3. 下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 函数的定义域是 （用区间表示） 6. 函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 7. 已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 六、巩固复习第一轮（85%） 1. 下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 2. 已知函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3. 函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 4. 如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6. 已知，, (1) = ；(2) = (用含a，b的代数式表示) 7. 已知函数，且. (1)求实数的值， (2)在图中直接作出的图象，并求函数有个不同的零点时实数的取值范围； (3)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围. 七、巩固复习第二轮（90%） 1. 某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：       横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 2. (多选) 下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4. 有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 5. 函数的单调增区间为 ． 6. 若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 7. 某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142万元. (1)求：k的值； (2)若每吨产品出厂价为48万元，求：引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大 八、错题回顾（95%） 页码+题号： 九、巩固复习第三轮（100%） 1. 已知，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 3. 已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4. 已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 5. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为， 再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（    ）（结果精确到个位） A． B． C． D． 6. 已知函数且，则等于（    ） A． B． C． D． 7. 三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8. 已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 【课后作业答案】1A 2D 3B 4C 5 6 7 (1)， (2) 学科网（北京）股份有限公司 $$