专题03 函数的概念与性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题03 函数的概念与性质 一、学习目标（100%） 1、体会集合语言和对应关系刻画函数的概念； 2、了解构成函数要素，能求简单的函数定义域； 3、会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用； 4、了解简单的分段函数，并能简单应用； 5、会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值； 6、了解奇偶性的概念； 7、了解周期性的概念 二、课前热身（20%） 1. 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2. 已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 3. 已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数，若的图像关于原点对称，则实数 . 5. 已知函数（表示不超过的最大整数），则 . 三、知识梳理 1、函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、同一（相等）函数 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 【即时演练】（30%） 1. 已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 2. 下列各组函数中为同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3. 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4. 已知函数满足，则（    ） A． B．1 C．4 D．7 5. 已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 6. 函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 5、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有；②存在，使得，则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有；②存在，使得， 则为最小值 【即时演练】（40%） 1. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2. 已知则 ；的最大值为 ． 3. 若在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 4. 已知函数．(1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若，求实数的取值范围． 6、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 7、函数对称性 （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①；②；③ （2）点对称：若函数关于点对称，则 ①；②；③ （2）点对称：若函数关于点对称，则 ①；②；③ 【即时演练】（50%） 1. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．1 2. 已知函数为偶函数，则实数 ． 3. 已知函数是上的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式，并画出具体函数图象； (2)若，求实数m的取值范围. 4. 已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 8、幂函数定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． 9、五种常见幂函数 函数 图象 性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 10、常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 【即时演练】（60%） 1. 已知幂函数的图象过点，则 2. 已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 3. 已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 4. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5. 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 四、综合检验（70%，建议倒序） 1. 若，，则（    ） A．55 B．190 C．210 D．231 2. 若函数的部分图象如图所示，则（    ）   A． B． C． D． 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4. 已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 五、课后作业（80%） 1. 下列选项中与是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2. 已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 3. 已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 5. 已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6. 函数在上是增函数，则的取值范围是 7. 若函数，，若的最小值为2，则 8. 已知函数. (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 六、巩固复习第一轮（85%） 1. 函数的图象是（   ） A．  B．  C．  D．  2. (多选)如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 3. (多选)下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 5. 最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 七、巩固复习第二轮（90%） 1. 若，，则（    ） A．55 B．190 C．210 D．231 2. 已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3. 已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是 ；若，比较大小： 4. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 八、错题回顾（95%） 页码+题号： 九、巩固复习第三轮（100%） 1. 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 2. 某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 3. 如图是周老师散步时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象，则周老师散步的路线可能是（    ）     A．      B．  C．   D．   4. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6. 已知函数的定义域为，且，则下列选项不正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．在区间上单调递减 7. 函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)解关于的不等式． 【课后作业答案】 1C 2C 3A 4B 5D 6. 7. 2 8. 学科网（北京）股份有限公司 $$