专题04 函数的概念与性质讲义-2026届高三数学一轮复习

专题04 函数的概念与性质 　　　　 ►考点01 函数的概念与表示 8 ►考点02 求函数的定义域 12 ►考点03 求函数的值域 14 ►考点04 函数的单调性与最值 16 ►考点05 函数的奇偶性 20 ►考点06 函数的周期性 23 　►备考指南 了解函数的含义、分段函数，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值；掌握函数单调性的简单应用；了解函数奇偶性、周期性；会依据函数的性质进行简单的应用． 　►知识梳理 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f（x）|x∈A} 2．函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增，特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减，特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 3．函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 （1）∀x∈I，都有f（x）≤M； （2）∃x0∈I，使得f（x0）＝M （1）∀x∈I，都有f（x）≥M； （2）∃x0∈I，使得f（x0）＝M 结论 M为最大值 M为最小值 4．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数 关于原点对称 5．函数的周期性 周期函数：对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期． 　►知识拓展&二级结论◄　 函数周期性常用结论 （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>0）． （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a>0）． 　►真题类编 一、选择题（共8小题） 1．（2025•天津）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式可能为（　　） A．f（x） B．f（x） C．f（x） D．f（x） 2．（2025•新高考Ⅰ）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 3．（2024•新高考Ⅰ）已知函数为f（x）在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞） 4．（2024•全国）已知偶函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，当0≤x≤1时，f（x）＝x2+2x，则当2≤x≤3时，f（x）＝（　　） A．x2+2x B．x2﹣2x C．﹣x2+2x D．﹣x2﹣2x 5．（2024•新高考Ⅰ）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（　　） A．f（10）＞100 B．f（20）＞1000 C．f（10）＜1000 D．f（20）＜10000 6．（2024•全国）已知函数，则（　　） A．f（x）是奇函数，不是增函数 B．f（x）是增函数，不是奇函数 C．f（x）既是奇函数，也是增函数 D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数 7．（2024•天津）下列函数是偶函数的为（　　） A．y B．y C．y D．y 8．（2023•新高考Ⅱ）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【答案】B 二、填空题（共4小题） 9．（2025•天津）若a，b∈R，对∀x∈[﹣2，2]，均有（2a+b）x2+bx﹣a﹣1≤0恒成立，则2a+b的最小值为　﹣4　 ． 10．（2024•上海）已知，则f（3）＝　　 ． 11．（2024•全国）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x﹣1）f（x+1）＝x2+4x+3，f（1）＝3，则f（9）＝　11　 ． 12．（2024•上海）已知f（x）＝x3+a，x∈R，且f（x）是奇函数，则a＝　0　 ． 　►考点精讲 ►考点01 函数的概念与表示 解法指导 1．函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【例1】　（2025秋•石家庄月考）如图所示各图中反映了变量y是x的函数是（　　） A． B． C． D． （多选）【例2】　（2025•五华区校级模拟）已知集合A＝（0，4），B＝（﹣2，2），下列对应关系能构成函数的是（　　） A．A→B，y＝x﹣2 B．A→B，y＝log2x C．B→A，y＝x2 D．B→A， 【例3】　（2021•奉贤区二模）下列选项中，y可表示为x的函数是（　　） A．3|y|﹣x2＝0 B．x C．sin（arcsinx）＝siny D．lny＝x2 【例4】　（2025•香坊区校级模拟）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．f（x）＝x与g（x） B．f（x）与g（x）＝x﹣1 C．f（x）＝lgx与g（x） D．f（x）与g（x）＝|x﹣1| 【例5】　（2025•南京模拟）下列各组函数是同一函数的是（　　） A．f（x）＝x2与g（x）＝（x+1）2 B．与 C．与 D．与 ►考点02 求函数的定义域 解法指导 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组． （1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）． （3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在． （4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 【例6】　（2025•枣庄校级模拟）函数f（x）的定义域为（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣2，3） C．[﹣2，1）∪（1，2] D．（﹣2，1）∪（1，2） 【例7】　（2025•山西模拟）已知函数y＝f（2x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，则的定义域是（　　） A．（﹣2，5] B．（﹣2，3] C．[﹣1，3] D．[﹣2，5] 【例8】　（2025•无锡模拟）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【例9】　（2025•汉川市校级模拟）已知函数y＝f（x+1）的定义域为[﹣1，4]，则的定义域为（　　） A．（1，2] B．[﹣1，9] C．（1，9] D．[﹣1，2] 【例10】　（2025•广东模拟）函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，3）∪（3，+∞） B．[1，3）∪（3，+∞） C．[1，+∞） D．[3，+∞） ►考点03 求函数的值域 解法指导 求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等． 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． 【例11】　（2025•重庆模拟）函数的值域为（　　） A．[0，1] B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【例12】　（2025•五华区校级模拟）函数的值域为（　　） A． B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，+∞） D． 【例13】　（2025•临清市校级模拟）已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy，则f（x）的值域为 　　 ． 【例14】　（2025•绵阳校级模拟）已知函数f（x）＝4x﹣2x+2﹣1，x∈[0，2]，则其值域为 　　 ． 【例15】　（2024•怀柔区校级模拟）已知函数，则对任意实数x，函数f（x）的值域是（　　） A．（0，2） B．（0，2] C．[0，2） D．[0，2] ►考点04 函数的单调性与最值 解法指导 1．函数的单调性 （1）∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0（<0）或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0（<0）⇔f（x）在区间I上单调递增（减）． （2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． （3）y＝f（x）（f（x）>0或f（x）<0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反． （4）复合函数的单调性：同增异减． 2．确定函数单调性的四种方法 （1）定义法． （2）导数法． （3）图象法． （4）性质法． 3．函数单调性的应用 （1）比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决． （2）求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． （3）利用单调性求参数的取值（范围）．根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 【例16】　（2025•新蔡县校级模拟）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．f（x）＝﹣lnx B． C． D．f（x）＝3|x﹣1| 【例17】　（2025•河北三模）若函数，在（﹣2，+∞）上单调递增，则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．[0，1] D．[0，+∞） 【例18】　（2025秋•杭锦后旗校级月考）函数的单调递增区间为（　　） A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0） 【例19】　（2025•海淀区校级三模）下列函数中，在（﹣∞，0）上时单调递增函数的是（　　） A． B．f（x）＝ex+e﹣x C． D．f（x）＝sin|x| 【例20】　（2025•汕尾模拟）已知函数则f（x）的最小值是 　　 ． ►考点05 函数的奇偶性 解法指导 1．函数的奇偶性 （1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性． （2）偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数奇偶性的判断 （1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立． 3．函数奇偶性的应用 （1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． （2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 【例21】　（2025•绵阳模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，若函数f（x）﹣g（x）的值域为[﹣4，1]，则函数f（2x）+g（2x）的最小值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．﹣1 D．0 【例22】　（2025•思明区校级模拟）已知是偶函数，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【例23】　（2025•河北一模）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 【例24】　（2025•江岸区校级模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3﹣8，则不等式（x﹣1）f（x）≤0的解集为（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] C．[﹣2，0]∪[1，2] D．[﹣2，1]∪[2，+∞） 【例25】　（2025•河南模拟）已知函数f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a是偶函数，则实数a＝（　　） A．e B．1 C．2 D．4 ►考点06 函数的周期性 解法指导 函数的周期性 （1）求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． （2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 【例26】　（2025•麦积区模拟）函数f（x）满足：f（x+1）＝f（x）+f（x+2），若f（1）＝2，f（11）＝3，则f（2025）＝（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【例27】　（2025•南通模拟）设f（x）是定义在R上的函数，对∀x，y∈R，有f（x+y）﹣f（x﹣y）＝f（x+1）f（y﹣1），且f（2）＝﹣2，则f（f（2025））＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【例28】　（2025•河南校级模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（2﹣x），f（3）＝2，则（　　） A．0 B．﹣1012 C．﹣2 D．1010 【例29】　（2025•泉州模拟）已知定义在Z上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，且f（2）＝7，则（　　） A．f（1）＝4 B．方程f（x）＝0有解 C．f（x﹣1）＝f（﹣x） D．f（x+1）＝f（x） 【例30】　（2025•青岛模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+y）﹣f（x﹣y）＝2f（1﹣x）f（y），f（1）＝1，则f（2025）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念与性质 　　　　 ►考点01 函数的概念与表示 8 ►考点02 求函数的定义域 12 ►考点03 求函数的值域 14 ►考点04 函数的单调性与最值 16 ►考点05 函数的奇偶性 20 ►考点06 函数的周期性 23 　►备考指南 了解函数的含义、分段函数，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值；掌握函数单调性的简单应用；了解函数奇偶性、周期性；会依据函数的性质进行简单的应用． 　►知识梳理 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f（x）|x∈A} 2．函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增，特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减，特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 3．函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 （1）∀x∈I，都有f（x）≤M； （2）∃x0∈I，使得f（x0）＝M （1）∀x∈I，都有f（x）≥M； （2）∃x0∈I，使得f（x0）＝M 结论 M为最大值 M为最小值 4．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数 关于原点对称 5．函数的周期性 周期函数：对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期． 　►知识拓展&二级结论◄　 函数周期性常用结论 （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>0）． （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a>0）． 　►真题类编 一、选择题（共8小题） 1．（2025•天津）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的解析式可能为（　　） A．f（x） B．f（x） C．f（x） D．f（x） 【答案】D 【分析】由函数的性质和特殊值法排除即可． 【解答】解：由图象可得f（x）为偶函数， 因为A，B选项的函数为奇函数，故排除A，B； 因为C，D选项的函数为偶函数，且对于C，，不满足图象，故排除C． 故选：D． 2．（2025•新高考Ⅰ）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性与周期性，化归转化，即可求解． 【解答】解：根据题意可得f（）＝f（）＝f（2）＝f（）＝5﹣2． 故选：A． 3．（2024•新高考Ⅰ）已知函数为f（x）在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞） 【答案】B 【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可． 【解答】解：函数为f（x）在R上单调递增， 可知：， 可得a∈[﹣1，0]． 故选：B． 4．（2024•全国）已知偶函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，当0≤x≤1时，f（x）＝x2+2x，则当2≤x≤3时，f（x）＝（　　） A．x2+2x B．x2﹣2x C．﹣x2+2x D．﹣x2﹣2x 【答案】B 【分析】根据题意，分析可得f（x+2）＝f（x），当2≤x≤3时，有0≤x﹣2≤1，结合函数的解析式分析可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）， 又由f（x）的图像关于直线x＝1对称，则f（﹣x）＝f（2+x）， 则有f（x+2）＝f（x）， 当2≤x≤3时，有0≤x﹣2≤1，则f（x﹣2）＝（x﹣2）2+2（x﹣2）＝x2﹣2x， 则有f（x）＝f（x﹣2）＝x2﹣2x． 故选：B． 5．（2024•新高考Ⅰ）已知函数为f（x）的定义域为R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下列结论中一定正确的是（　　） A．f（10）＞100 B．f（20）＞1000 C．f（10）＜1000 D．f（20）＜10000 【答案】B 【分析】设an＝f（n），n∈N，则a1＝1，a2＝2，an＞an﹣1+an﹣2（n≥3），观察数列{an}的前16项即可得出答案． 【解答】解：设an＝f（n），n∈N，则a1＝1，a2＝2，an＞an﹣1+an﹣2（n≥3）， 故a3＞3，a4＞a3+a2＞5，a5＞a4+a3＞5+3＝8， 观察可知，a6＞13，a7＞21，a8＞34，a9＞55，a10＞89，a11＞144，a12＞233，a13＞377，a14＞610，a15＞987，a16＞1597， 则a20＞1000，即f（20）＞1000． 故选：B． 6．（2024•全国）已知函数，则（　　） A．f（x）是奇函数，不是增函数 B．f（x）是增函数，不是奇函数 C．f（x）既是奇函数，也是增函数 D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数 【答案】C 【分析】结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断． 【解答】解：函数的定义域为R， f（﹣x）+f（x）＝ln（x）+ln（x）＝ln（1+x2﹣x2）＝0， 所以f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（x）为奇函数，B，D错误； 当x≥0时，tx单调递增， 根据奇函数的单调性可知，tx在R上单调递增， 根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确． 故选：C． 7．（2024•天津）下列函数是偶函数的为（　　） A．y B．y C．y D．y 【答案】B 【分析】由已知结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断． 【解答】解：A，设f（x），定义域为R， f（1），f（﹣1），则f（﹣1）≠f（1），A不符合题意； B，设g（x），定义域为R，g（﹣x）g（x），即g（x）为偶函数，B符合题意； C，设h（x），h（﹣1），h（1），h（1）≠h（﹣1），则h（x）不是偶函数，C不符合题意； D，设m（x），定义域为R，m（﹣x）m（x），且m（x）≠0， 所以m（x）不是偶函数，D不符合题意． 故选：B． 8．（2023•新高考Ⅱ）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可． 【解答】解：由0，得x或x， 由f（x）是偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x）， 得（﹣x+a）ln（x+a）， 即（﹣x+a）ln（x+a）， 即（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x+a）， 则（x﹣a）ln（x+a）， ∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a， 得a＝0． 故选：B． 二、填空题（共4小题） 9．（2025•天津）若a，b∈R，对∀x∈[﹣2，2]，均有（2a+b）x2+bx﹣a﹣1≤0恒成立，则2a+b的最小值为　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】先设t＝2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取，得到t≥﹣4，验证t＝﹣4时，a，b是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案． 【解答】解：设t＝2a+b，原题即求t的最小值， 原不等式可化为对任意的x∈[﹣2，2]，tx2+（t﹣2a）x﹣a﹣1≤0， 为了消去a，不妨取，得，得t≥﹣4， 当t＝﹣4时，原不等式可化为﹣4x2+（﹣4﹣2a）x﹣a﹣1≤0，即， 观察可知，当a＝0时，﹣（2x+1）2≤0对x∈[﹣2，2]恒成立，当且仅当取等号， 此时a＝0，b＝﹣4，说明当t＝﹣4时，a，b均可取到，满足题意， 所以t＝2a+b的最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 10．（2024•上海）已知，则f（3）＝　　 ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，将x＝3代入函数解析式，即可求解． 【解答】解：， 则f（3）． 故答案为：． 11．（2024•全国）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x﹣1）f（x+1）＝x2+4x+3，f（1）＝3，则f（9）＝　11　 ． 【答案】11． 【分析】利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值． 【解答】解：函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）f（x+1）＝x2+4x+3，f（1）＝3， ∴f（1）f（3）＝4+8+3＝15，∴f（3）＝5， f（3）f（5）＝16+16+3＝35，∴f（5）＝7， f（5）（7）＝36+24+3＝63，∴f（7）＝9， f（7）f（9）＝64+32+3＝99， 则f（9）＝11． 故答案为：11． 12．（2024•上海）已知f（x）＝x3+a，x∈R，且f（x）是奇函数，则a＝　0　 ． 【答案】0． 【分析】首先根据f（0）＝0，解得a＝0，再根据奇函数的定义进行验证即可． 【解答】解：由题意，可得f（0）＝0+a＝0，解得a＝0， 当a＝0时，f（x）＝x3，满足f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x）， 即f（x）是奇函数，故a＝0符合题意． 故答案为：0． 　►考点精讲 ►考点01 函数的概念与表示 解法指导 1．函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【例1】　（2025秋•石家庄月考）如图所示各图中反映了变量y是x的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念，对于任意的x都有唯一的y与之对应，逐一验证即可． 【解答】解：根据函数的概念，对于任意的x都有唯一的y与之对应，故A，B，C错误，D正确． 故选：D． （多选）【例2】　（2025•五华区校级模拟）已知集合A＝（0，4），B＝（﹣2，2），下列对应关系能构成函数的是（　　） A．A→B，y＝x﹣2 B．A→B，y＝log2x C．B→A，y＝x2 D．B→A， 【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐一判断即可． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，x∈（0，4），则y∈（﹣2，2），按照对应关系y＝x﹣2，集合A中每个元素，在集合B中都有唯一元素与之对应，故A正确； 对于B，取，则y＝﹣3∉B，故B错误； 对于C，取x＝0，则y＝0∉A，故C错误； 对于D，x∈（﹣2，2），，按照对应关系y＝（）x，集合B中每个元素，在集合A中都有唯一元素与之对应，故D正确． 故选：AD． 【例3】　（2021•奉贤区二模）下列选项中，y可表示为x的函数是（　　） A．3|y|﹣x2＝0 B．x C．sin（arcsinx）＝siny D．lny＝x2 【答案】D 【分析】根据函数的定义，对各个选项进行判断即可． 【解答】解：对于A：令x＝0，没有y的值与之对应，故A错误， 对于B：令x＝4，y可以取±8，故B错误， 对于C：sin（arcsinx）＝x＝siny，令x＝1，则y＝2kπ，故C错误， 对于D：y，是一一对应的关系，符合函数的定义，故D正确， 故选：D． 【例4】　（2025•香坊区校级模拟）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．f（x）＝x与g（x） B．f（x）与g（x）＝x﹣1 C．f（x）＝lgx与g（x） D．f（x）与g（x）＝|x﹣1| 【答案】D 【分析】由两个函数是同一个函数的充要条件，分别判断出所给命题的真假． 【解答】解：A中，因为f（x）＝x，g（x）|x|，两个函数的对应关系不同，所以这两个函数表示同一个函数，所以A不正确； B中，f（x）x﹣1，定义域为{x|x≠﹣1}，而g（x）＝x﹣1的定义域为R，所以这两个函数的定义域不同，所以这两个函数表示同一个函数，所以B不正确； C中，f（x）＝lgx的定义域为{x|x＞0}，而g（x）的定义域{x|x≠0}，所以这两个函数的定义域不同，所以表示同一个函数，所以C不正确； D中，因为g（x）＝|x﹣1|，这两个函数的定义域和对应关系都相同，所以这两个函数为同一个函数，所以D正确． 故选：D． 【例5】　（2025•南京模拟）下列各组函数是同一函数的是（　　） A．f（x）＝x2与g（x）＝（x+1）2 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 【解答】解：对于A，f（x）＝x2，x∈R，g（x）＝（x+1）2，x∈R，两函数的对应关系不同，不是同一函数； 对于B，f（x）x，x∈（﹣∞，0]，g（x）＝x，x∈（﹣∞，0]，两函数的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，f（x）1，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（x）1，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于D，f（x）•，x∈[3，+∞），g（x），x∈（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数． 故选：C． ►考点02 求函数的定义域 解法指导 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组． （1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）． （3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在． （4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围． 【例6】　（2025•枣庄校级模拟）函数f（x）的定义域为（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣2，3） C．[﹣2，1）∪（1，2] D．（﹣2，1）∪（1，2） 【答案】C 【分析】要使函数有意义，只要满足即可． 【解答】解：要使函数有意义，须满足，解得﹣2≤x≤2，且x≠1， 故函数f（x）的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]， 故选：C． 【例7】　（2025•山西模拟）已知函数y＝f（2x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，则的定义域是（　　） A．（﹣2，5] B．（﹣2，3] C．[﹣1，3] D．[﹣2，5] 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得． 【解答】解：由函数y＝f（2x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，得﹣3≤2x﹣1≤5， 因此在函数中，，解得﹣2＜x≤5． 所以函数的定义域为（﹣2，5]． 故选：A． 【例8】　（2025•无锡模拟）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得sinx﹣cosx≥0，结合正弦函数及余弦函数的性质即可求解． 【解答】解：由题意可得sinx﹣cosx≥0， 所以，k∈Z． 故选：D． 【例9】　（2025•汉川市校级模拟）已知函数y＝f（x+1）的定义域为[﹣1，4]，则的定义域为（　　） A．（1，2] B．[﹣1，9] C．（1，9] D．[﹣1，2] 【答案】A 【分析】求出函数f（x）的定义域，对于，可得出关于实数x的不等式组，即可解得函数的定义域． 【解答】解：函数y＝f（x+1）的定义域为[﹣1，4]， 则﹣1≤x≤4， 故0≤x+1≤5， 故函数f（x）的定义域为[0，5]， 令，解得1＜x≤2， 故函数的定义域为（1，2]． 故选：A． 【例10】　（2025•广东模拟）函数的定义域为（　　） A．（﹣∞，3）∪（3，+∞） B．[1，3）∪（3，+∞） C．[1，+∞） D．[3，+∞） 【答案】B 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解． 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得x≥1且x≠3． ∴函数的定义域为[1，3）∪（3，+∞）． 故选：B． ►考点03 求函数的值域 解法指导 求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等． 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． 【例11】　（2025•重庆模拟）函数的值域为（　　） A．[0，1] B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】D 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域． 【解答】解：函数的定义域为[0，+∞）， 又f（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）＝1， 故f（x）的值域为[1，+∞）． 故选：D． 【例12】　（2025•五华区校级模拟）函数的值域为（　　） A． B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，+∞） D． 【答案】B 【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数 的值域． 【解答】解：当x＜﹣2时，f（x）＝2x﹣1，因为函数y＝2x在（﹣∞，﹣2）上单调递增， 所以函数y＝2x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递增， 又2x＞0，所以， 当x≥﹣2时，f（x）＝x2﹣1，f（x）∈[﹣1，+∞），所以f（x）的值域为[﹣1，+∞）． 故选：B． 【例13】　（2025•临清市校级模拟）已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy，则f（x）的值域为 　　 ． 【答案】[0，+∞）． 【分析】由已知求导函数解析式，即可求解函数f（x）的值域． 【解答】解：令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0， 令y＝﹣x代入f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy， 得f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣2x2， 又函数f（x）为偶函数，∴f（x）＝x2， 则f（x）的值域为[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）． 【例14】　（2025•绵阳校级模拟）已知函数f（x）＝4x﹣2x+2﹣1，x∈[0，2]，则其值域为 　　 ． 【答案】[﹣5，﹣1]． 【分析】设2x＝t（t∈[1，4]），然后将原函数转化为二次函数，配方即可求出原函数的值域． 【解答】解：∵x∈[0，2]， ∴2x∈[1，4]， 设2x＝t（t∈[1，4]），原函数变成y＝t2﹣4t﹣1＝（t﹣2）2﹣5，（t∈[1，4]）， ∴﹣5≤y≤﹣1， ∴原函数的值域为[﹣5，﹣1]． 故答案为：[﹣5，﹣1]． 【例15】　（2024•怀柔区校级模拟）已知函数，则对任意实数x，函数f（x）的值域是（　　） A．（0，2） B．（0，2] C．[0，2） D．[0，2] 【答案】C 【分析】分x＝0和x≠0两种情况讨论，可得f（x）的值域． 【解答】解：当x＝0时，f（0）＝0， 当x≠0时，f（x），因为0，所以22， 所以0， 所以f（x）∈（0，2）， 综上所述：f（x）的值域为[0，2）． 故选：C． ►考点04 函数的单调性与最值 解法指导 1．函数的单调性 （1）∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0（<0）或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0（<0）⇔f（x）在区间I上单调递增（减）． （2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． （3）y＝f（x）（f（x）>0或f（x）<0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反． （4）复合函数的单调性：同增异减． 2．确定函数单调性的四种方法 （1）定义法． （2）导数法． （3）图象法． （4）性质法． 3．函数单调性的应用 （1）比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决． （2）求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． （3）利用单调性求参数的取值（范围）．根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 【例16】　（2025•新蔡县校级模拟）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．f（x）＝﹣lnx B． C． D．f（x）＝3|x﹣1| 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可． 【解答】解：对于A，因为y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，y＝﹣x在（0，+∞）上单调递减， 所以f（x）＝﹣lnx在（0，+∞）上单调递减，故A错误； 对于B，因为y＝2x在（0，+∞）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 所以在（0，+∞）上单调递减，故B错误； 对于C，因为在（0，+∞）上单调递减，y＝﹣x在（0，+∞）上单调递减， 所以在（0，+∞）上单调递增，故C正确； 对于D，因为，f（1）＝3|1﹣1|＝30＝1，f（2）＝3|2﹣1|＝3， 显然f（x）＝3|x﹣1|在（0，+∞）上不单调，D错误． 故选：C． 【例17】　（2025•河北三模）若函数，在（﹣2，+∞）上单调递增，则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．[0，1] D．[0，+∞） 【答案】C 【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当﹣2＜x≤1，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当x＞1，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于m的不等式①并得出f（x）在（1，+∞）上的最小值，再利用x＞1时的最小值不小于﹣2＜x≤1时的最大值，列出关于m的不等式②，合并求出m的取值范围． 【解答】解：因为当﹣2＜x≤1，f（x）＝log3（x+2）， 由对数函数的性质可知，此时f（x）为单调递增， 且f（x）在（﹣2，1]上的最大值为f（1）＝log3（2+1）＝1， 若x＞1，，求导得， 要使f（x）单调递增，则需满足①对所有x＞1恒成立， 解得m≤x2， 因为x＞1，则x2＞1，所以m≤1， 若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，则1+m≥1②，解得m≥0， 所以0≤m≤1， 所以实数m的取值范围为[0，1]． 故选：C． 【例18】　（2025秋•杭锦后旗校级月考）函数的单调递增区间为（　　） A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0） 【答案】A 【分析】根据题意，先求函数的定义域，再求函数y＝x2﹣2x在定义域上的增区间即可． 【解答】解：根据题意，函数， 有x2﹣2x＞0，解得x＜0或x＞2，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）， 设t＝x2﹣2x，x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），则y＝log2t， 因为y＝log2t总为增函数，要求函数的单调递增区间， 需要求出函数t＝x2﹣2x的递增区间，易得t＝x2﹣2x的递增区间t＝x2﹣2x的递增区间． 故函数的单调递增区间是（2，+∞）． 故选：A． 【例19】　（2025•海淀区校级三模）下列函数中，在（﹣∞，0）上时单调递增函数的是（　　） A． B．f（x）＝ex+e﹣x C． D．f（x）＝sin|x| 【答案】A 【分析】结合基本初等函数的单调性检验各选项即可求解． 【解答】解：A，当x＜0时，f（x）在（﹣∞，0）上时单调递增，A正确； B，f（﹣1）＝e+e﹣1，f（2）＝e2+e﹣2，f（﹣1）＜f（﹣2），显然函数在x＜0时不是增函数，B错误； C，根据幂函数性质可得，当x＜0时，f（x）单调递减，C错误； D，当x＞0时，f（x）＝sinx不单调，D错误． 故选：A． 【例20】　（2025•汕尾模拟）已知函数则f（x）的最小值是 　　 ． 【答案】﹣5． 【分析】由已知结合指数函数，二次函数的性质及分段函数的性质即可求解． 【解答】解：当x＜1时，f（x）＝2﹣x+1， 当x≥1时，f（x）＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5≥﹣5， 综上，函数的最小值为﹣5． 故答案为：﹣5． ►考点05 函数的奇偶性 解法指导 1．函数的奇偶性 （1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性． （2）偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数奇偶性的判断 （1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立． 3．函数奇偶性的应用 （1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． （2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 【例21】　（2025•绵阳模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，若函数f（x）﹣g（x）的值域为[﹣4，1]，则函数f（2x）+g（2x）的最小值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．﹣1 D．0 【答案】C 【分析】根据题意，设F（x）＝f（x）﹣g（x），由函数图象变换规律分析F（﹣2x）的值域，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣g（x）， 函数f（x）﹣g（x）的值域为[﹣4，1]，即﹣4≤F（x）≤1， 又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数， 则F（﹣x）＝f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）＝﹣[f（x）+g（x）]， F（﹣x）与F（x）的图象关于y轴对称，则有﹣4≤F（x）≤1，即﹣4≤﹣[f（x）+g（x）]≤1， 将F（﹣x）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，可得F（﹣2x）的图象， 故F（﹣2x）与F（﹣x）的值域相同，则有﹣4≤F（﹣2x）≤1，即﹣4≤﹣[f（2x）+g（2x）]≤1， 变形可得：﹣1≤f（2x）+g（2x）≤4． 故函数f（2x）+g（2x）的最小值为﹣1． 故选：C． 【例22】　（2025•思明区校级模拟）已知是偶函数，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性，即可求解． 【解答】解：的定义域为{x|x≠0}， f（x）为偶函数， 则f（﹣x）＝f（x）， 故，即，即ax﹣x＝x，解得a＝2． 故选：D． 【例23】　（2025•河北一模）设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性与周期性，化归转化，即可求解． 【解答】解：根据题意可得f（）＝f（）＝f（2）＝f（）＝5﹣2． 故选：A． 【例24】　（2025•江岸区校级模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3﹣8，则不等式（x﹣1）f（x）≤0的解集为（　　） A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] C．[﹣2，0]∪[1，2] D．[﹣2，1]∪[2，+∞） 【答案】C 【分析】分析函数f（x）的单调性，然后解不等式f（x）≤0、f（x）≥0，分x≤1、x≥1两种情况解不等式（x﹣1）f（x）≤0即可． 【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x3﹣8，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）＝0， 由于函数f（x）为R上的增函数，故函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（0）＝0， 当x＞0时，由f（x）≤0＝f（2），可得0＜x≤2；由f（x）≥0＝f（2），可得x≥2； 当x＜0时，由f（x）≤0＝f（﹣2），可得x≤﹣2；由f（x）≥0＝f（﹣2），可得﹣2≤x＜0． 当x≤1时，则f（x）≥0可得﹣2≤x≤0或x≥2，可得﹣2≤x≤0； 当x≥1时，则f（x）≤0可得0≤x≤2或x≤﹣2，可得1≤x≤2． 综上所述，不等式（x﹣1）f（x）≤0的解集为[﹣2，0]∪[1，2]． 故选：C． 【例25】　（2025•河南模拟）已知函数f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a是偶函数，则实数a＝（　　） A．e B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】直接由偶函数得到f（﹣x）＝f（x），化简求解即可． 【解答】解：因为f（x）＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）恒成立， 所以ln（ae﹣2x+2）+x﹣a＝ln（ae2x+2）﹣x﹣a， ln（ae2x+2）﹣ln（ae﹣2x+2）＝2x， ，， ae2x+2＝e2x（ae﹣2x+2），ae2x+2＝a+2e2x， （a﹣2）e2x＝a﹣2，所以a＝2． 故选：C． ►考点06 函数的周期性 解法指导 函数的周期性 （1）求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． （2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 【例26】　（2025•麦积区模拟）函数f（x）满足：f（x+1）＝f（x）+f（x+2），若f（1）＝2，f（11）＝3，则f（2025）＝（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【答案】D 【分析】根据f（x+1）＝f（x）+f（x+2），利用赋值法可得函数周期，从而可解． 【解答】解：已知函数f（x）满足：f（x+1）＝f（x）+f（x+2）， 令x＝x+1，则f（x+2）＝f（x+1）+f（x+3），则f（x+3）＝﹣f（x）， 再令x＝x+3，则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x）， 则f（x）是以6为周期的周期函数， 若f（1）＝2，f（11）＝3，则f（5）＝3， 进而可得f（2）＝﹣3，f（3）＝﹣5， 又f（2025）＝f（3+337×6）＝f（3）＝﹣5． 故选：D． 【例27】　（2025•南通模拟）设f（x）是定义在R上的函数，对∀x，y∈R，有f（x+y）﹣f（x﹣y）＝f（x+1）f（y﹣1），且f（2）＝﹣2，则f（f（2025））＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】A 【分析】根据题意，利用特殊值法分析可得f（x）的对称性和周期以及f（0）＝2，由此分析可得有f（2025）＝f（1），进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，对∀x，y∈R，有f（x+y）﹣f（x﹣y）＝f（x+1）f（y﹣1）， 令x＝1，y＝1，有f（2）﹣f（0）＝f（2）f（0），即﹣2﹣f（0）＝﹣2f（0），变形可得f（0）＝2， 再令y＝1，有f（x+1）﹣f（x﹣1）＝f（x+1）f（0）＝0，即f（x+1）﹣f（x﹣1）＝2f（x+1）， 即f（x+1）＝﹣f（x﹣1），变形可得f（x+2）＝﹣f（x）， 则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 故f（x）是周期为4的周期函数，则有f（2025）＝f（1）， 令x＝1，y＝0可得：f（1）﹣f（1）＝f（2）f（﹣1），即﹣2f（﹣1）＝0，则有f（﹣1）＝0， 而f（2025）＝f（1）且f（﹣1）＝﹣f（1）， 故f（2025）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝0， 故f（f（2025））＝f（0）＝2． 故选：A． 【例28】　（2025•河南校级模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（2﹣x），f（3）＝2，则（　　） A．0 B．﹣1012 C．﹣2 D．1010 【答案】C 【分析】由题意知f（﹣x）＝﹣f（x）且f（0）＝0，再根据题中所给等式求出函数的周期及一个周期内的函数值之和，2025项的和包含506个周期之和及f（2025），分别求值相加即可． 【解答】解：因为f（x）为奇函数， 所以f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0，又f（x）＝f（2﹣x）， 所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期为4， 又f（3）＝2＝﹣f（1），f（1）＝﹣2，f（2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0， 所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣2+0+2+0＝0， 又2025＝4×506+1，f（2025）＝f（1）＝﹣2， 所以． 故选：C． 【例29】　（2025•泉州模拟）已知定义在Z上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，且f（2）＝7，则（　　） A．f（1）＝4 B．方程f（x）＝0有解 C．f（x﹣1）＝f（﹣x） D．f（x+1）＝f（x） 【答案】C 【分析】根据题意，利用赋值法，即可求解． 【解答】解：因为定义在Z上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy﹣1，且f（2）＝7， 所以f（2）＝2f（1）+1＝7，所以f（1）＝3，所以A选项错误； 又f（0）＝2f（0）﹣1，所以f（0）＝1， 又f（3）＝f（1）+f（2）+3＝13，f（4）＝2f（2）+7＝21，…， 因为1＝f（0）＝f（1）+f（﹣1）﹣3＝3+f（﹣1）﹣3所以f（﹣1）＝1， 所以f（﹣2）＝2f（﹣1）+1＝3， 所以f（﹣3）＝f（﹣1）+f（﹣2）+3＝7， 所以f（﹣4）＝2f（﹣2）+7＝13， 所以f（﹣5）＝f（﹣2）+f（﹣3）+11＝21，…， 所以方程f（x）＝0无解，f（x﹣1）＝f（﹣x），f（x+1）≠f（x）， 所以B，D选项错误，C选项正确． 故选：C． 【例30】　（2025•青岛模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+y）﹣f（x﹣y）＝2f（1﹣x）f（y），f（1）＝1，则f（2025）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】抽象函数问题，需要根据已知等式，通过赋值法，得到f（0）＝0，令x＝0，可得f（﹣y）＝﹣f（y），即f（x）是定义在R上的奇函数，考虑到条件中出现了f（1﹣x），所以令y＝1，f得到（x+1）＝f（1﹣x），即f（x）关于x＝1对称，通过对称性和周期性得到f（x+1）＝﹣f（x﹣1），进一步利用赋值法推导出f（x+4）＝f（x），得到函数f（x）的周期为4，即可计算出f（2025）的值． 【解答】解：令x＝y＝0，原方程变为f（0）﹣f（0）＝2f（1）f（0），因为f（1）＝1，所以可得f（0）＝0． 令x＝0，原方程变为f（y）﹣f（﹣y）＝2f（1）f（y），因为f（1）＝1，所以整理可得f（﹣y）＝﹣f（y），即f（x）是定义在R上的奇函数． 令y＝1，原方程变为f（x+1）﹣f（x﹣1）＝2f（1﹣x）f（1），因为f（1）＝1，所以整理可得f（x+1）﹣f（x﹣1）＝2f（1﹣x）①， 又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x）②，将①代入②可得，f（x+1）+f（1﹣x）＝2f（1﹣x）， 即f（x+1）＝f（1﹣x），说明f（x）关于x＝1对称． （推导周期性）因为f（x）是定义在R上的奇函数，并且f（x+1）＝f（1﹣x），所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1）③． 令x+1＝x代入③可得f（x+1+1）＝﹣f（x+1﹣1），即f（x+2）＝﹣f（x）④， 令x+2＝x代入④可得f（x+2+2）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]，即f（x+4）＝f（x），即函数f（x）的周期为4，f（2025）＝f（506×4+1）＝f（1）＝1． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $