精品解析：河南省信阳市淮滨县2024-2025学年下学期开学入学学情调研测试九年级数学试卷

河南省信阳市淮滨县2024-2025学年度(下)开学入学学情调研测试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离为1的是（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入“地月转移”轨道，由此开启世界首次“月背挖宝”之旅．该探测器近地点高度约200千米，远地点高度约38万千米．数据“38万”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A. B. C. D. 5. 若，则下列各式成立的是（ ） A. B. C D. 6. 小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 7. 《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中鸟巢共有（ ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 世界是物质的，物质都是由化学元素组成的，其中化合物是由两种或两种以上不同元素组成的纯净物．在化学元素“”“”“”“”中，任意选择两种化学元素，可以组成化合物(氯化钠)的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个边长为的等边三角形的高与的直径相等．与相切于点，与相交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（　　） A. 草莓的光合作用产氧速率先增大后减小 B. 当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C. 草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D. 草莓中有机物积累最快时的温度约为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个含有字母、的五次单项式：_______． 12. 为了解学生对郑州科技馆四种游玩项目的喜爱情况，某校八年级开展了一次问卷调查活动（每人选一个喜爱的项目），并将调查结果绘制成如图所示的统计图．已知喜爱“高压放电演示”的有人，则喜爱“科普表演剧”的有____________人． 13. 若抛物线与x轴有且只有一个公共点，收k的值为___________． 14. 如图，在中，已知点，，点A在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为______． 15. 如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解分式方程：． 17. 为了推进“优学课堂”．王老师选择程度相当甲、乙两班进行教改实验，甲班采用原来的教学方法，乙班实施新的教学方法．实验开始前，进行一次能力测试(前测，满分20分)，经过一段时间的教改实验后，再用难度、题型、总分相当的试卷进行测试(后测)，得到前测和后测的成绩，并将相应数据整理成如下统计图表．(成绩共分为4组：A．；B．；C．；D．，其中15分以上为“优秀”) 后测成绩中甲班在这一组对应的数据是．甲、乙两班测试成绩的统计量分析如下表： 班级 平均数 中位数 优秀率 前测 甲班 6.5 5 乙班 6.4 5.5 后测 甲班 9.1 乙班 12.9 14 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______． （2）分析以上统计量，你认为王老师的教改实验是否有效果，请说明理由．(从两个方面进行说明) 18. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，且，反比例函数的图象与边，分别交于点M，N．连接，． （1）若，，求反比例函数的表达式． （2）判断 (填“”“”或“”)． （3）小颖说“若M是边的中点，则N是边的中点”，你认为小颖的说法正确吗？请说明理由． 19. 如图，，且． （1）请用直尺和圆规作出的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)． （2）连接，若，求的长． 20. 某数学兴趣小组计划在摩天轮上用自制的测高仪测量一座写字楼的高度．如图1，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，最高高度为128，半径为60，圆心O到写字楼的水平距离为142.3（写字楼与摩天轮在同一平面内，学生身高和轿厢大小忽略不计），图2为用直角三角板和铅锤自制的测高仪，当1号轿厢A位于最低点时，小组成员在4号轿厢B点测得写字楼最高处D点的观测数据如图3所示（观测误差忽略不计）．请根据观测数据计算写字楼的实际高度（结果取整数．参考数据：）． 21. 高铁站候车厅的饮水机（图1）上有温水、开水两个按钮，示意图如图2所示．小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水，求需再接开水的时间． （2）设接温水的时间为，水杯中水的温度为． ①求关于的函数表达式； ②求水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接多少的温水? 22. 如图1，是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图，光点从屏边缘点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到屏底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x，测得如下数据： （1）观察表格，直接写出抛物线的顶点坐标． （2）求满足条件的抛物线的表达式． （3）如图2，电子屏长为6，中间位置为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘时，挡板就会发光．如果只改变光点P的初始高度 (光点的运行轨迹只发生上下平移)，当光点既能跨过挡板，又能击中边缘时，请计算的取值范围． 23. 下面是某数学兴趣小组“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 任务： （1）在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是 ， (填序号)． ①；②；③；④；⑤． （2）如图3，在中，，是两条角平分线，且交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图4，在四边形中，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点，若，，当有一个内角是时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳市淮滨县2024-2025学年度(下)开学入学学情调研测试 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离为1的是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，， ∴与原点距离的是． 故选：B． 2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入“地月转移”轨道，由此开启世界首次“月背挖宝”之旅．该探测器近地点高度约200千米，远地点高度约38万千米．数据“38万”用科学记数法可以表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：38万用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形， 即的左视图是； 故选：B． 4. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 若，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．分别解不等式，由题意可得，进而分别判断，即可求解． 【详解】解：， 解得：， A、解不等式得：，故该选项不符合题意； B、解不等式得：，故该选项不符合题意； C、解不等式得：，故该选项符合题意； D、解不等式，解得：，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 小英在商店买了一块漂亮的丝巾(四边形)，为判断丝巾的形状，小英将丝巾沿一条对角线对折后摊开，又沿另一条对角线对折，如图所示，两次对折后两组对角都能分别对齐，那么可以确定这块丝巾的形状一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理以及折叠的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 利用菱形的判定定理即可判定丝巾的形状． 【详解】解：由题意可知，这块丝巾的两组对角分别相等，且邻边相等，故这块丝巾的形状一定是菱形． 故选：B． 7. 《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方．由题意得出算式，求解即可． 【详解】解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：C． 8. 世界是物质的，物质都是由化学元素组成的，其中化合物是由两种或两种以上不同元素组成的纯净物．在化学元素“”“”“”“”中，任意选择两种化学元素，可以组成化合物(氯化钠)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，根据题意作出列表是解题关键．根据题意作出列表，结合列表即可获得答案． 【详解】解：根据题意，列表如下， － － － － 由表格，可知共有12种等可能的结果，其中可以组成化合物（氯化钠）的结果有2种， 所以，可以组成化合物的概率． 故选：A． 9. 如图，一个边长为的等边三角形的高与的直径相等．与相切于点，与相交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的性质、扇形面积计算等知识点，解题的关键是构造辅助线，求得扇形面积和三角形面积．利用等边三角形的边长，求出等边三角形的高，即可知道圆的半径，利用垂径定理构造条件，求出的面积和扇形的面积，利用扇形和三角形的面积差即可求得答案． 【详解】解：如解图所示．连接，，过点作于点，过点作于点， 在中，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ， ， ． 故选:D． 10. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（　　） A. 草莓的光合作用产氧速率先增大后减小 B. 当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C. 草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D. 草莓中有机物积累最快时的温度约为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息． 根据统计图获得相应的信息，进行计算即可得． 【详解】由图象，可知草莓的光合作用产氧速率曲线先升后降，故选项A正确； 当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，故选项B正确； 由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确； 当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时有机物积累最快，故选项D正确， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个含有字母、的五次单项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查的是单项式的概念，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，次数与单项式的数字因数没有关系，写的只要符合要求即可． 【详解】解：答案不唯一，含字母的五次单项式是； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 为了解学生对郑州科技馆四种游玩项目的喜爱情况，某校八年级开展了一次问卷调查活动（每人选一个喜爱的项目），并将调查结果绘制成如图所示的统计图．已知喜爱“高压放电演示”的有人，则喜爱“科普表演剧”的有____________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，先求出总人数，再根据统计图求得喜爱“科普表演剧”的占比，即可求解． 【详解】解：， 所以，喜爱“科普表演剧”的有（人） 故答案为：． 13. 若抛物线与x轴有且只有一个公共点，收k的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由抛物线与x轴只有一个公共点可知，对应一元二次方程，根的判别式，由此即可得到关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系，属于中考常考题型． 14. 如图，在中，已知点，，点A在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，连接交于点，过点作轴于点，由勾股定理得出，由折叠的性质，可知，，．推出，由勾股定理得出，推出，再由勾股定理的出，证明，求出，即可得解． 【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如解图所示． ∵，， ∴， 由折叠的性质，可知，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形中位线、旋转变换、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在的延长线上截取，连接，易知是的中位线，即，再由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，当点在线段与的交点处时，最小，即最小；当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，然后求解即可． 【详解】解：如图1，在的延长线上截取（即是的中点），连接， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上， 如图2，当点在线段与的交点处时，最小，即最小， 此时，， ∴，即的最小值为； 如图3，当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大， 此时， ∴，即的最大值为， 综上所述，的最小值为，最大值为． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、负整数指数幂、零指数幂、解分式方程等知识，熟练掌握相关运算法则和解分式方程的方法是解题关键． （1）首先进行二次根式运算、负整数指数幂和零指数幂，再进行乘法运算，然后进行减法运算即可； （2）首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，再验证是否为增根，即可获得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 系数化为1，得. 检验：当时，， 故原分式方程的解为． 17. 为了推进“优学课堂”．王老师选择程度相当的甲、乙两班进行教改实验，甲班采用原来的教学方法，乙班实施新的教学方法．实验开始前，进行一次能力测试(前测，满分20分)，经过一段时间的教改实验后，再用难度、题型、总分相当的试卷进行测试(后测)，得到前测和后测的成绩，并将相应数据整理成如下统计图表．(成绩共分为4组：A．；B．；C．；D．，其中15分以上为“优秀”) 后测成绩中甲班在这一组对应的数据是．甲、乙两班测试成绩的统计量分析如下表： 班级 平均数 中位数 优秀率 前测 甲班 6.5 5 乙班 6.4 5.5 后测 甲班 91 乙班 12.9 14 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______． （2）分析以上统计量，你认为王老师的教改实验是否有效果，请说明理由．(从两个方面进行说明) 【答案】（1）8.5，44% （2）王老师的教改实验有效果．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，中位数，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据中位数和优秀率的定义进行计算即可； （2）从中位数、平均数或优秀率等角度进行分析即可． 【小问1详解】 解：由图可知，甲班测试的总人数是：(人， 后测成绩中甲班的、组总人数为：(人， 中位数落在组， 根据后测成绩中甲班在这一组对应的数据，可知：， ， 故答案为：8.5，． 【小问2详解】 王老师的教改实验有效果． 理由：从平均数看，后测的乙班的平均数大于乙班前测的平均数成绩； 从优秀率看，后测的乙班的成绩显著高于乙班前测的成绩．(答案不唯一，合理即可) 18. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，且，反比例函数的图象与边，分别交于点M，N．连接，． （1）若，，求反比例函数的表达式． （2）判断 (填“”“”或“”)． （3）小颖说“若M是边的中点，则N是边的中点”，你认为小颖的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）正确，见解析 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到 ，得到， 求得，把， 代入函数解析式即可得到结论； （2）根据反比例函数系数的几何意义即可得到结论； （3）根据矩形的性质得到 ， 由是边的中点，得到求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴. ∴． ∵， ∴. ∴点N的坐标为． ∵点N在反比例函数的图象上， ∴. ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象与边，分别交于点， ， ， 故答案为：=； 【小问3详解】 解：小颖的说法正确，理由： ∵四边形是矩形， ， ∵是边的中点， ， ， ， ∵反比例函数的图象与边，分别交于点，， ， ，， ∴是边的中点． 19. 如图，，且． （1）请用直尺和圆规作出的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了作三角形外接圆、勾股定理、圆周角定理等知识，添加辅助线是关键． （1）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径画圆即可； （2）过点C作于点E，如解图所示，则等腰直角三角形．求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如解图所示，即为所求．(作法不唯一) 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴为的直径． ∵， ∴点B也在上， 又∵， ∴， ∴ 过点C作于点E，如解图所示，则为等腰直角三角形． ∴ 又∵， ∴ ∴． 20. 某数学兴趣小组计划在摩天轮上用自制的测高仪测量一座写字楼的高度．如图1，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，最高高度为128，半径为60，圆心O到写字楼的水平距离为142.3（写字楼与摩天轮在同一平面内，学生身高和轿厢大小忽略不计），图2为用直角三角板和铅锤自制的测高仪，当1号轿厢A位于最低点时，小组成员在4号轿厢B点测得写字楼最高处D点的观测数据如图3所示（观测误差忽略不计）．请根据观测数据计算写字楼的实际高度（结果取整数．参考数据：）． 【答案】写字楼的实际高度约为66 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．连接，过点作的垂线交于点C，交于点E，首先解得，进而可得，再在中，由三角形函数解得，然后即可． 【详解】解：连接，过点作的垂线交于点C，交于点E，如图所示， 根据题意，可知，，，且， ∴， ∵圆心到写字楼的水平距离为，，， ∴， ∴， 在中，， 由图3，可知， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：写字楼的实际高度约为． 21. 高铁站候车厅的饮水机（图1）上有温水、开水两个按钮，示意图如图2所示．小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水，求需再接开水的时间． （2）设接温水的时间为，水杯中水的温度为． ①求关于的函数表达式； ②求水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接多少的温水? 【答案】（1）需再接开水的时间为 （2）①；②当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接温水 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，根据等量关系列式，即可求解；②由题意知，求出，得出的最小值为20，再计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． 【小问2详解】 解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， ∴． 化简，得． ∴关于的函数表达式为． ②由题意，知， ∴， 解得． ∴的最小值为20． ． ∴当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接温水． 22. 如图1，是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图，光点从屏边缘点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到屏底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x，测得如下数据： （1）观察表格，直接写出抛物线的顶点坐标． （2）求满足条件的抛物线的表达式． （3）如图2，电子屏长为6，中间位置为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘时，挡板就会发光．如果只改变光点P的初始高度 (光点的运行轨迹只发生上下平移)，当光点既能跨过挡板，又能击中边缘时，请计算的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）3<OA≤9 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数应用，二次函数的图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数图象的对称性可得对称轴以及抛物线的顶点坐标； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设满足题意的抛物线的解析式为，根据题意可得时，，时，，据此求出h的取值范围，进而求出当时，y的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察表格数据，可知当时和时的函数值相等， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：设抛物线解析式为， 将代入得得， 解得：， 抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：设满足题意的抛物线的解析式为， 由题意得， ∵光点能跨过挡板， ∴当时，，解得， 在中，当时，， ∴此时； ∵光点能击中边缘， ∴当时，，解得， 在中，当时，， ∴； 的取值范围为． 23. 下面是某数学兴趣小组“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 任务： （1）在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是 ， (填序号)． ①；②；③；④；⑤． （2）如图3，在中，，是的两条角平分线，且交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图4，在四边形中，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点，若，，当有一个内角是时，直接写出的长． 【答案】（1）④，① （2），见解析 （3）15或12 【解析】 【分析】（1）结合尺规作图的方法，结合三角形的判定定理，即可获得答案； （2）过点分别作的垂线，垂足依次为，证明，由全等三角形的性质即可获得答案； （3）在上截取，连接，分别证明，，并结合三角函数以及勾股定理可得，；分、和三种情况讨论，即可获得答案． 【小问1详解】 解：在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是，． 故答案为：④，①； 【小问2详解】 ，理由如下： 过点分别作的垂线，垂足依次为，如图1， ∵， ∴， ∵是的两条角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 在上截取，连接，如图3，4所示， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴，， 分情况讨论：①若，则， ∴，这与矛盾，故； ②若，则，过点作于点，如图3所示， 在中，， 设，，则，， ∴， ∴； ③若时，则， 过点作，交的延长线于点，如图4所示， 在中，， 设，，则，， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为15或12． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形函数、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$