专题12 因式分解（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题12 因式分解 真题重现 （2024八年级下·江苏无锡·竞赛）求证：是一个完全平方数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．设，将原式整理成，再利用完全平方公式进行因式分解即可证明． 【详解】解：设，则， 原式 ， 是一个完全平方数． 考点突破 一、十字相乘 【学霸笔记】 利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类： 1. 二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法 对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解. 对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数. 技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号； 技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）. 2. 二次项系数不为1的十字相乘 在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列： 按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即. PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号. 【典例】若能分解成两个一次因式的积，则的值为 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【解答】C 【解析】，可分解成或，分以下两种情况考虑： 由①可得m＝1，由②可得，故选C. 【巩固】下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 二、利用因式分解计算求值 【典例】计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【巩固】简便计算： (1)； (2)． 三、利用因式分解证明 【典例】求证：当n为整数时，多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除． 【解答】证明：原式＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2•4n＝8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除，即多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除． 【巩固】 （2024八年级·全国·竞赛）已知：是11的倍数，其中a，b是整数，求证：能被121整除． 模拟演练 1．一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是（    ）． A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知，则的值（    ）． A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定 3．已知a+b=1，ab=108，则a2b+ab2的值为 ． 4．已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为 ． 5．已知多项式分解因式后能够变成两个含有的一次因式的乘积，则实数的值为 ． 6．已知a为无理数，且，则 ． 7．设，试将分解因式： ． 8．在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 9．求证：是一个完全平方数（n为正整数）． 10．已知，且，求的值． 11．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件： ① ， 是否存在以，，为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角． 12．设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根、， (1)若，求m值； (2)求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题12 因式分解 真题重现 （2024八年级下·江苏无锡·竞赛）求证：是一个完全平方数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．设，将原式整理成，再利用完全平方公式进行因式分解即可证明． 【详解】解：设，则， 原式 ， 是一个完全平方数． 考点突破 一、十字相乘 【学霸笔记】 利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类： 1. 二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法 对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解. 对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数. 技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号； 技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）. 2. 二次项系数不为1的十字相乘 在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列： 按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即. PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号. 【典例】若能分解成两个一次因式的积，则的值为 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【解答】C 【解析】，可分解成或，分以下两种情况考虑： 由①可得m＝1，由②可得，故选C. 【巩固】下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 二、利用因式分解计算求值 【典例】计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【巩固】简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用， （1）先提出公因式数，然后在进行计算即可； （2）先将分子和分母分别进行因式分解，再进行计算即可； 利用提公因式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 三、利用因式分解证明 【典例】求证：当n为整数时，多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除． 【解答】证明：原式＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝2•4n＝8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除，即多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除． 【巩固】 （2024八年级·全国·竞赛）已知：是11的倍数，其中a，b是整数，求证：能被121整除． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了因式分解，整数的整除性，熟练掌握因式分解是解答本题的关键．设，则，先将代数式因式分解，再将b的值代入并化简得，即能证明结论． 【详解】设，则， ． 故能被121整除． 模拟演练 1．一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是（    ）． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设任意两个奇数分别为，可得，设为偶数．可得中一定含有因数8，但不一定含有因数16，即可求解． 【详解】解：设任意两个奇数分别为， ， ∵与奇偶性相反， ∴可设为偶数． ∵偶数的最小为2， ∴中一定含有因数8，但不一定含有因数16， ∴一定能够被8整除，但不一定能被16整除． 即一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是8． 故选：C 2．已知，则的值（    ）． A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式．此题可直接用多项式M减去多项式N，然后化简，最后把得出的结果与零比较确定的正负． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B 3．已知a+b=1，ab=108，则a2b+ab2的值为 ． 【答案】108 【分析】先提取公因式ab，再整体代入求值即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴当a+b=1，ab=108时， 原式= =108． 故答案为：108 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式求值的方法是解决问题的关键． 4．已知的三边为a、b、c，且满足，则的形状为 ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的判定，先将分式变形得出，得出，再进行因式分解，进而得出或，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴或． 故答案为：等腰三角形． 5．已知多项式分解因式后能够变成两个含有的一次因式的乘积，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，二元一次方程组的求解，根据因式分解结合多项式乘以多项式可得①，②，③，利用加减消元法求解二元一次方程组得到m，n的值，即可求出最后结果． 【详解】解：可分解为， ， ， ①，②，③， 得：，解得：， 将代入①得：， ， 故答案为：． 6．已知a为无理数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的含义，解题关键是因式分解．根据a为无理数，结合因式分解可得：，再进一步即可解题． 【详解】解：∵a为无理数，且， ∴， ∴， ∵是无理数，不为0， ∴0， ∴． 故答案为：． 7．设，试将分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方和公式以及平方差公式的综合运用，熟练掌握公式，并灵活地对式子进行构造和化简是解题的关键； 先利用立方和公式将展开，再结合已知条件进行代换和变形，通过化简即可． 【详解】， 再次代入 提取公因式得 继续变形： ． 8．在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）先提取公式因，再利用完全平方公式的方法进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式的方法进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式的方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 9．求证：是一个完全平方数（n为正整数）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．根据完全平方公式变形即可． 【详解】证明：原式 ． 又n为正整数， 所以是一个完全平方数． 10．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：依题意得：， 原式 ． 11．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件： ① ， 是否存在以，，为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角． 【答案】以 ,, 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90° 【分析】两个方程，有三个未知量，不能解出具体数值，但是能求出a，b，c关系，本题利用代入，因式分解，求出a，b，c关系． 【详解】解法1：将①②两式相乘，得． 即：， 即 ， 即 ， 即 , 所以或或， 即或或． 因此，以， ，为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°． 解法2：结合①式，由②式可得得 ③， 又由①式得，即， 代入③式，得 ， 即． ， 所以或或． 结合①式可得或或． 因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式及平方差公式，关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三边的关系． 12．设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根、， (1)若，求m值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先根据根的判别式求出，再根据根与系数的关系化简求解即可； （2）根据根与系数的关系化简为，再转化为二次函数求最值问题即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根、， ∴， 解得：， ∴， ∵方程， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴； （2）解：， ∴ ∴， ∵对称轴为直线，， ∴当时，式子取得最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$